Polnaya_uynya_shpora_po_sopromatu

2.5 Определение перемещения при растяжении-сжатии. Закон Гука для участка бруса.

Для расчета перемещений сечения бруса используют Закон Гука, для этого его преобразовывают следующим образом:

Формула (2.5) позволяет определить изменение длины бруса под действием внешних сил, она описывает свойства участка бруса и её называют Закон Гука для участка бруса. Произведение (А*Е) называют жесткостью стержня при растяжении-сжатии.

2.6 Определение механических характеристик материала.

При расчете элементов конструкции необходимо знать характеристики материалов, из которых изготовлен элемент. Механические характеристики материала определяются опытным путем, посредством испытания образцов материала на растяжение и сжатие.

2.7 Методы расчета инженерных конструкции

После определения значений и характера распределения внутренних силовых факторов переходят к решению главного вопроса о прочности и надежности всей конструкции и ее отдельных элементов, т.е определению необходимых параметров, гарантирующих конструкцию от разрушения на весь периодэксплуатации, причем при минимальном расходе материала. В настоящее время существуют 2 основных метода расчета инженерных конструкций: 1) метод допустимых напряжений и 2) метод предльных состояний. Причем 1) используется в машиностроении, а 2) в строительстве. Изучим эти методы на примере деформации растяжения (сжатия).

§ 2.7.1 Метод допускаемых напряжений

Суть метода состоит в том, что максимальные напряжения, возникающие от внешних нагрузок, не должны превышать допустимых для материала, из которого выполнена

предельного напряжения для данного материала на коэффициент запаса прочности n; за предельное значение для хрупкого материала принят предел прочности σпр., для пластичного материала – σт. (текучести), т.к при напряжениях, равных σт возникают значительные пластич. деформации, которые недопустимы. Тогда для хрупких материалов

прочности хрупкого материала на растяжение и сжатие соответственно.Для пластических материалов допустимое напряжение на растяжение и сжатие принимаются одинаковыми

т , - предел текучести, коэфф. n1, n2, n3 определены нормами проектирования. n3 т

Величины их назначаются из опыта эксплуатации машин. Зависимость (2.7) наз. условием прочности при растяжении (сжатии). Используя эту зависимость, как правило, решают задачу по подбору требуемого сечения под заданную нагрузку, предполагая, что

N

действительное напряжение равно допустимому. Aтр max , где Nmax – max значение

продольной силы (берут из эпюры). Или в случае, когда сечение задано, определяют оптимальную нагрузку.

Когда зависимость (2.7) используют для проверки прочности уже заданного сечения и заданной нагрузки, полученное max напряжение (σmax) не должно отличаться от допускаемого напряжения ([σ]) более чем на 5 %. Перенапряжения более этого значения недопустимы с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2.7.2 Метод предельных состояний

В отличие от метода расчета по допускаемым напряжениям, где используется только один общий коэффициент запаса, в методе расчета по предельным состояниям используются несколько различных коэфф. с запасом: на нагрузки, на прочностные характеристики материала и на условия эксплуатации сооружения.

Предельным состоянием наз. такое состояние конструкции, при кот. она перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям. Существует 3 вида предельных состояний:

1)такое состояние, при кот. наступает исчерпание несущей способности конструкции. На это предельное состояние рассчитываются все конструкции.

2)такое состояние, при кот. возникают затруднения в эксплуатации вследствие больших общих деформаций.

3)считается в том случае, когда возникают чрезмерные местные деформации: образование трещин в железобетонных конструкциях.

1)расчет конструкций по первому предельному состоянию (на прочность) При использовании для расчета элементов конструкции метода предельных

состояний, условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид:

max N рас R н у , где σmax – max напряжение, возникающее от нагрузки,

A

Nрас – расчетная предельная сила, возникающая от расчетных внешних нагрузок (Fрас). Расчетная нагрузка получена путем умножения нормативной нагрузки Fн на коэфф. перегрузки n.

Fрас=Fн*n

Коэфф. перегрузки n учитывает возможные отклонения нормативной нагрузки в сторону увеличения. Нормативная нагрузка Fн – это наибольшая нагрузка от веса оборудования, людей и т.д., при нормальной эксплуатации сооружения.

A – площадь поперечного сечения

R – расчетное сопротивление материала при растяжении (сжатии), определяется аналогично доп. напряжению [σ] в методе расчета по допустимым напряжениям.

R Rн , где γ – коэфф. надежности по материалу, зависит от типа материала и берется

из справочной литературы.

Rн – нормативное сопротивление материала. Для пластических материалов оно равно пределу текучести, а для хрупких материалов – пределу прочности.

γу – коэфф. условий работы, учитывающий условия эксплуатации (на воздухе, либо под водой; в агрессивной среде, либо в нормальной).

γн – коэфф. надежности, учитывает значимость сооружения (жилой дом, либо склад). Применение в расчетах на прочность целого ряда коэфф., а не одного, как в расчетах

на доп. напряжение, позволяет получить более экономичную конструкцию.

N рас AR у н

2) расчет конструкции по второму предельному состоянию (расчет на жесткость) Расчет на жесткость выполняется из условия жесткости:

Nн – нормативная продольная сила δmax – max перемещение конструкции

[δ] – допустимое перемещение конструкции Используя условие жесткости, можно подобрать требуемое сечение:

3) расчет по 3-му предельному состоянию (на трещеностойкость)

При расчетах железобетонных и каменных конструкций должно выполняться условие трещеностойкости, цель кот. исключить образование или чрезмерное раскрытие трещин, кот. могут повлечь за собой снижение прочности. Он приведен в СНИПе.

Расчет на прочность является обязательным для всех видов конструкций. Расчеты на жесткость и трещеностойкость выполняется только для тех конструкций, чрезмерные деформации в которых, образование или большое раскрытие трещин могут привести к потере ими эксплуатационных качеств еще до того, как будет исчерпана их несущая способность (см. 1 задачу).

2.8 Статически неопределимые задачи при растяжении-сжатии и методы их решения.

Целый ряд инженерных конструкций выполняется из отдельных стержней. Стержневые конструкции делятся на статически определимые и статически неопределимые.

Статически определимыми называются такие стержневые конструкции, в которых усилие в стержнях можно найти пользуясь только уравнениями статики, если же нет, то это статически неопределимые конструкции. В таких конструкциях для составления недостающих уравнений используют метод сил или метод уравнения деформаций.

Метод сил:

При решении статически неопределимых стержневых конструкций методом сил поступают следующим образом: вначале составляют возможные уравнения статики и определяют степень статической неопределимости конструкций. Затем отбрасывают лишние связи, заменяя их неизвестными усилиями. После этого составляют уравнения деформаций тех сечений, к которым приложены неизвестные усилия. В эти уравнения входят неизвестные усилия и внешняя нагрузка. Решая совместно уравнениями статики и уравнениями деформации, определяют все неизвестные усилия.

Пример: построить эпюру продольных сил.

При действии силы F вдоль оси бруса в опоре возникает 2 реакции . Для определения двух неизвестных реакций можно составить только одно уравнение равновесия.

Из одного уравнения невозможно определить две неизвестные реакции. Следовательно, конструкция один раз статически неопределима, и для её решения необходимо составить одно дополнительное уравнение. Для составления недостающего уравнения воспользуемся методом сил. Отбросим, например, нижнюю опору и заменим её влияние на брус

неизвестной силой Х равной опорной реакции (рис б).

Мы получим так называемую основную систему. На основании принципа независимости действия сил выразим перемещение сечения В от силы F и неизвестной силы Х. Под

действием силы F брус удлинится и сечение В переместится вниз. Это перемещение обозначим (рис в).

Под действием неизвестной силы Х брус сожмется и сечение В переместится вверх. Это перемещение обозначим (рис г)

Т.к. в заданной системе ( рис а) сечение В не имеет перемещений, поскольку оно в защемлении, то суммарное перемещение от совместного действия силы F и неизвестной силы Х должно быть равно 0.

Полученное уравнение и является дополнительным уравнением к имеющемуся уравнению статики. Используя Закон Гука выразим перемещение и .

со знаком «-», поскольку деформация в сжатии.

Подставим полученное перемещение в уравнение.

Поскольку значение получилось со знаком «+», значит, что реакция опоры действительно направлена правильно.

Метод сравнения деформаций

Раскрытие статической неопределимости методом сравнения деформаций заключается в том, что дополнительное недостающее уравнение составляется путем сравнения деформаций отдельных стержней

конструкции. Представив конструкцию в деформированном виде, непосредственно из чертежа устанавливают зависимость между деформациями стержней.

2.9 Статически неопределимые задачи прирастяжении и сжатии. Методы их решения

Целый ряд инженерных конструкций выполняется из отдельных стержней. Обычно места соединения стержней между собой выполняется в виде шарниров, что даёт возможность стержням работать только на растяжение/сжатие. Стержневые конструкции подразделяются на статически определимые и статически неопределимые. Статически определимыми стержневыми системами наз. такие, в которых усилия в стержнях можно найти пользуясь только уравнениями статики. Предположим требуется определить усилия в стержнях стержневой системы, состоящей из 2-х стержней соединённых между собой шарнирно, подвешенных на шарнирах к жёсткому брусу и нагружен. жёсткой силой F.

В 2-х уравнениях содержится 3 неизвестных . Для определения этих неизвестных не хватает одного уравнения. Иными словами, наша стержневая система имеет одно лишнее неизвестное и она один раз статически не определима. Если бы система имела 2 лишних неизвестных не хватало бы для решения 2-х уравнений; система наз. бы дважды статически неопределимой и т.д.

Таким образом, системы, для которых не хватает уравнений статики для определения усилий в стержнях наз. статически неопределимыми. Для их решения необходимо составить дополнительные уравнения. Существует несколько методов решения таких систем, которые рассмотрим на примерах. К нашему примеру( система из 3-х стержней) вернёмся ниже.

Сначала состовляем возможные уравнения статики и определяем степень статически не определимой конс-и. затем линии связи заменяем неизвестными усилиями .После состовляем уравнение деформации тех сечений к которым приложены неизвестные усилия .Решаем уравнения статики и ур-я деформации .

2) Метод сравнения деформаций закл. в том, что при составлении дополнительных уравнений исходят из того, что данной уравнение должно выражать условие совместимости деформаций. Необходимо представить систему в деформированном состоянии и непосредственно из чертежа установить зависимость между деформацией стержней.

2.10 Влияние собственного веса груза

Рассмотрим прямой брус постоянного поперечного сечения площадью А с удельным весом материала γ

Сделав сечение 1-1 составим уравнение для нижней части: ∑Fz = -N1 +Azγ=0, N1 =Azγ

Продольная сила N1 по длине бруса изменяется по линейному закону:

z=0: N1=0

z=l: N1 =Alγ

По линейному закону изменяется и нормальное напряжение: σz = N1\A= Azγ\A=zγ

При z=0: σz =0 ; z=l: σz =lγ т.е. для бруса длинной l напряжение σ =lγ (2.15)

Т.о. в прямом брусе постоянного поперечного сечения нормальное направление σ от собственного веса бруса не зависит от размеров площади поперечного сечения, а определяется только длинной l и γ. Раньше мы пренебрегали собственным весом при расчете стержней. Чтобы составить представление о величине напряжения вызываемое собственным весом посчитаем напряжение по 2.15д для стальных брусьев разных длин. Для стали γ=75000Н\м2

Из таблицы видно, что даже при длине бруса 10м напряжение вызываемое собственным весом составляет 0,75МПа. Если принять во внимание, что для стали допускаемое напряжение около 200МПа, то видно, что даже в 10м брусе напряжение от собственного веса составляет 0,4% от допускаемого и им обычно пренебрегают. Для определения продольных перемещений от собственного веса бруса выделим параллельными сечениями бесконечно малый элемент dz, удлинение элемента d∆z= Ndz\AE= zγdz\E. Полное

закону.