TAU_OsipovaEA

0,1, , m - определитель, получающийся из заменой 1 -го столбца столбцом

a1, a0 ,0, ,0.

Коэффициенты B1 , , Bm вычисляются следующим образом:

B0 b02 ,

B1 b12 2b0b2 ,

B b2 2b b 2 1 k b b ,

k k k 1 k 1 0 2k

Bm bm2 .

Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 3, имеют одно и то же значение квадратичной интегральной оценки (2). Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют сильно колебательному

Рис.3

переходному процессу, ибо отмечавшееся уже при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению.

Это получается вследствие того, что оценка (2) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости.

Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на рис. 4, а. Очевидно, что величина интегральной оценки (2) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса к ломанной линии AOBC. Но приближение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой в начальной стадии процесса (приближение части кривой OD к отрезку OB).

Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости.

Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонения x , но также и на скорость отклонения x . Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид

где T - некоторая постоянная времени.

Рис. 4

Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (3). Для этого проделаем следующее преобразование:

где x0 - начальное значение отклонения в переходном процессе.

Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия

Tx x Tp 1 x 0.

Это дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид

где x0 yуст - установившее значение управляемой величины.

Этот процесс изображен на рис. 4 пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (3), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (4) с постоянной времени T , которая носит в этом случае название экстремали.

получим х p 0 , т.е. ошибка системы не будет зависеть от задающего воздействия.

Условие (3) называется условием полной инвариантности (то есть независимости) системы по отношению к задающему воздействию. Поскольку реальные системы представляют собой различные комбинации инерционных и интегрирующих звеньев, то

(3) можно представить в виде

управлении для получения полной инвариантности необходимо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия. На практике получение высших производных (выше второй) затруднительно, поэтому может быть получена не полная, а частичная инвариантность с точностью до некоторой величины .

Комбинированное управление может быть использовано также для уменьшения влияния контролируемого возмущающего воздействия g t , приложенного в какой-либо точке системы (рис. 1, б). При этом передаточная функция по возмущению

Wyg p Wg p W2 p Wp p 1 Wp p ,

где Wp p W1 p Wg p - передаточная функция разомкнутой системы; Wg p - передаточная функция по данному возмущению в разомкнутой системе.

Полная инвариантность может быть получен при Wyg p 0 , т.е.

W2 p Wg p Wp p .

Если есть возможность контролировать несколько возмущений в разных точках системы, то можно рассчитать условия инвариантности по каждому из них.

Тема 3.8. Управляемость и наблюдаемость систем управления Раздел 4. Синтез систем управления

Тема 4.1. Оптимальные системы

Под оптимальной системой автоматического управления понимают систему, в которой управление осуществляется таким образом, что некоторый показатель качества ее работы, принимаемый за критерий оптимальности, имеет экстремальное (чаще всего минимальное) значение. В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны время переходного процесса, энергетические показатель работы системы, интегральные оценки качества переходных процессов и др.

В теории оптимальных систем существует два направления: оптимальное управление в детерминированных системах и оптимальное управление в стохастических системах.

Обратимся к рассмотрению первого направления. Основой теории является классическое вариационное исчисление, принцип максимума Л.С. Понтрягина и динамическое программирование Р. Беллмана. Большой вклад в теорию оптимальных систем внесли советские ученые А.М. Летов, Н.Н. Красовский, А.А. Красовский, А.А. Фельдбаум и другие.

Приведем классический пример задачи управления, в основе решения которой лежит математический приём известный как принцип максимума.

Задача состоит в определении оптимальной траектории движения ракеты. Управляющие параметры в такой задаче – это моменты включения двигателей и длительность их работы, величина и направление силы тяги, которую следует приложить к ракете в каждый отдельный момент времени. Режим работы двигателей выбирается в зависимости от ряда ограничений, например, в зависимости от общего количества ракетного топлива, имеющегося на борту. Фазовыми переменными, описывающими траекторию ракеты, являются её масса, а также положение и скорость относительно фиксированной системы координат. Зависимость фазовых координат от силы тяги выражается с помощью системы дифференциальных уравнений, получаемых на основе законов физики. В результате расчет траектории предстоящего космического полета заключается в отыскании максимума некоторого целевого функционала.

Постановка задачи

Авторы принципа максимума, Лев Семенович Понтрягин со своими учениками, в свое время рассмотрели ряд задач математического и прикладного характера, в которых управляемые процессы могут быть описаны системой обыкновенных дифференциальных уравнений

времени t ; u1, ..., ur − параметры управления, определяющие ход процесса, и t − время. Заметим, что система (1) автономна, то есть правые её части не зависят явно от времени t .

Эта же система дифференциальных уравнений в векторной форме:

dx f (x, u). dt

Для того чтобы ход управляемого процесса (1) был определён на некотором отрезке времени t0 t t1 , достаточно, чтобы на этом отрезке времени были заданы (как

функции времени) параметры управления u1, ..., ur :

решение системы (1) определяется однозначно. Подлежащая решению вариационная задача, связанная с управляемым процессом (1), заключается в следующем. Рассматривается интегральный функционал

заданного на некотором отрезке t0 t t1 , однозначно определяется ход управляемого процесса, и интеграл (4) принимает определенное значение. Допустим, что существуют

интервалов постоянства (ибо линейная функция c2 c1t не более одного раза меняет знак на отрезке t0 t t1 ). Обратно, любая такая функция u t может быть получена из соотношения (13) при некоторых значениях постоянных с1,с2 .

Для отрезка времени, на котором u 1, мы имеем (в силу системы (11))

( s1, s2 постоянные интегрирования), откуда получаем

где s s1 12 s2 2 - постоянная. Таким образом, кусок фазовой траектории, для которого

u 1, представляет собой дугу параболы (14). Семейство парабол (14) показано на рис. 1,

а.

Аналогично, для отрезка времени, на котором u 1, мы имеем x2 t s 2 ,

расположена выше линии АОВ, и по дуге параболы (14), если точка x0 расположена ниже этой линии. Иначе говоря, если начальное положение x0 расположено выше линии АОВ,

то фазовая точка должна двигаться под воздействием управления u 1 до тех пор, пока она не попадет на дугу АО; в момент попадания на дугу АО значение u переключается и становиться равным 1 вплоть до момента попадания в начало координат. если же начальное положение x0 расположено ниже линии АОВ, то u должно быть равно 1 до