UP_Vved_v_ekonometriku_-_N_Novgorod_2010

Проверить, имеется ли тенденция в изменении выпуска продукции. Выбрать тип модели кривой роста и рассчитать ее параметры.

Проверить качество построенной модели на основе исследования ряда остатков. Выбрать и построить модель тренда и сделать прогноз на один шаг вперед.

Таблица 9

Введем начало отсчета временного ряда с 2000 года и поставим ему в соответствие переменную t=1, остальные года пронумеруем по порядку.

1. Для выявления тенденции используем метод Фостера – Стьюарта.

Определим величины Ut и Vt (см. табл.9). Величина Ut =1,если

соответствующий уровень временного ряда больше всех предшествующих уровней. Vt =1, если соответствующий уровень временного ряда меньше всех

предшествующих уровней.

выбрали из таблицы табулированных значений для n=9.(таблица 3).

Найдем теоретическое значение статистики Стьюдента по таблице t -

табличного значения t , то с вероятностью 95% можем утверждать, что временной ряд имеет тенденцию как в среднем (т.е. имеется тренд), так и в дисперсии.

2. Построение модели.

По расположению точек на диаграмме рассеяния (рис.6) можно предположить, что кривую роста можно представить в виде линейной функции

(прямая линия). Тогда уравнение модели запишем: ˆ . t

b

a

Y

61

время

Рис. 6. Диаграмма рассеяния уровней временного ряда Найдем параметры этого уравнения по методу наименьших квадратов,

для чего составим систему нормальных уравнений

Промежуточные расчеты отразим в таблице 10.

Таблица 10

Таблица для расчета параметров и характеристик модели.

3. Проверка качества модели.

Проверку качества трендовой модели можно провести также как для модели парной регрессии, проверяя статистическую значимость параметров и общее качество с помощью коэффициента детерминации R2 .

a). Рассчитаем R2 ESS 281, 67 0, 97 .

TSS 290

Проверим его статистическую значимость на основе F–критерия Фишера.

62

F( 0,05;k1 1,k2 7) 5,59.

Следовательно, уравнение кривой роста в целом статистически значимо. b). Проверим статистическую значимость параметра b .

вероятностью 95% отличается от нуля, что подтверждает наличие зависимости показателя Y от времени.

c). Точность модели.

Для оценки точности модели рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:

1n ei 100% =4,34 % < 10% , что свидетельствует о достаточной

i Yi

точности построенной модели (табл.10)

4. Проведем оценку качества модели кривой роста на основе исследования ряда остатков

надежной проверим выполнение требований случайности и независимости элементов ряда остатков.

a). Проверку случайности ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

Внашем примере имеем 7 поворотных точек: p=7 (табл. 10). Рассчитаем теоретическое значение поворотных точек для 0,05

Так как P>P1, ряд остатков является случайным с вероятностью 95%

b). Проверку независимости элементов ряда остатков осуществим на основе критерия Дарбина –Уотсона.

63

попадает в интервал: d2 d * 2 , что свидетельствует об отсутствии автокорреляции в ряду остатков

c). Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения на основе RS–критерия.

При соответствии ряда остатков нормальному закону распределения для

в зависимости от доверительной вероятности и количества уровней ряда остатков (таблица 16).

Рассчитаем статистику RS: RS (Emax Emin ) / S =(1,67 -(-1,5)/1,02=3,1

Значения нижней и верхней границ интервала для статистики RS , при доверительной вероятности 0.95:: 2,59; 3,399

Следовательно, элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, и мы можем, с помощью построенной трендовой модели, дать не только точечный, но и доверительный интервальный для Y(t).

Вывод: исследование ряда остатков свидетельствует об адекватности и надежности построенной модели.

5. .Построим точечный и интервальный прогноз на один шаг вперед

Выберем t 10 и подставим в уравнение тренда:

Y(10)=8,17 +2,17 10=29,8. Получили точечный прогноз (точечную оценку). Так как элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, можно построить доверительные интервалы для математического ожидания среднего значения зависимой переменной.

Верхняя граница интервального прогноза: Y(t0)+tSyx. Нижняя граница интервального прогноза: Y(t0)–tSYX.

Здесь t – теоретическое значение статистики Стьюдента с выбранной доверительной вероятностью и n-2 степенями свободы: t(7;0,05) 2,365

64

7. Применение ППП “EXCEL” для эконометрического моделирования

Рассмотрим пример, представленный в п.6.2: построить линейную модель зависимости приращения прибыли (Y) в зависимости от инвестиционных

иоценим качество с использованием средств ППП «EXCEL»

1.Запишем исходные данные в таблицу EXCEL, как это сделано на рис.7.

Рис. 7.Ввод данных на листе 1 таблицы EXCEL.

2. В меню Сервис выбираем строку Анализ данных. На экране появится окно, в котором выбираем пункт Регрессия. Появляется следующее диалоговое окно (рис.8)

Рис.8. Диалоговое окно функции «Регрессия» Пакета анализа

2.Диалоговое окно заполняется следующим образом:

Входной интервал Y – диапазон (столбец), содержащий данные со

65

значениями объясняемой переменной, в нашем примере: ($A$1:$A$8)

Входной интервал X – диапазон (столбцы), содержащий данные со значениями объясняющих переменных: $B$1:$C$8.

Метки – флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет

Константа-ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении модели;

Уровень надежности 1 95% (выбирается однозначно)

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели ($A$11). Можно также вывести отчет на новый рабочий лист или новую книгу, для чего вводится флажок в соответствующее окно

графиков следует установить соответствующие флажки в диалоговом окне. После заполнения диалогового окна нажмите на кнопку Ok.

4. Дадим расшифровку результатам моделирования. Вид отчета о результатах регрессионного анализа представлен на рис. 9.

Рис. 9. Отчет о результатах регрессионного анализа

66

ошибки. Как нам уже известно, если расчетное значение превосходит критическое, полученное из таблиц теоретического распределения

Стьюдента с параметрами ( , n k 1) , то они статистически значимы.

Можно найти критические значения по таблицам t –распределения и провести сравнение (для данного примера t (0.05, 4)=2,77). В Пакете анализа предусмотрен другой инструмент оценки t –статистики: p-значение.

p-значение-величина, применяемая при статистической проверке гипотез с использованием компьютерных программ статистического анализа данных.. Представляет собой вероятность того, что критическое значение статистики используемого критерия (в данном случае t-статистики Стьюдента) превысит значение, вычисленное по выборке. Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы принимается в результате сравнения p-значения

с выбранным уровнем значимости . Если p, то нулевая гипотеза

отклоняется и принимается альтернативная о статистической значимости рассматриваемого параметра.

67

Нижние 95% - Верхние 95% - доверительные интервалы для параметров модели. Вообще, доверительные интервалы строятся только для статистически

значимых величин. В данном случае для параметра a2 :

9,278 M (a2 ) 2 22,859 , т.е. с надежностью 95% истинное

значение параметра лежит в указанном интервале.

Рассмотрим таблицу дисперсионного анализа.

df – degrees of freedom – число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант k 1 .

SS- обозначение полных сумм квадратов. В этом столбце в строке

регрессии, По эмпирическому значению статистики F проверяется гипотеза равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели. Уравнение регрессии значимо на уровне , если F Fкр , где Fкр - табличное значение F-

критерия Фишера с параметрами ,k,n k 1 .Если значимость F 0.05, то уравнение регрессии статистически значимо с вероятностью 95%

68

.Литература

1.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. 1008с.

2.Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1997. 402с. 3.Замков О.О., Толстопятенко А.В. и др. Математические методы в

экономике. М.:ДИС, 2002. 368с.

4.Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. М.: Юнити-дана,2002. 310с.

5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997. 247с.

6.Мамаева З.М. Эконометрика:учебно-методическое пособие. Нижний Новгород, изд.УРАО, 2005 , 50с.

7Мхитарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика-М.: Проспект, 2008, 380 с.

8.Носко В.П. "Эконометрика для начинающих. Москва, ИЭПП, 2000. 302с. http://www.iet.ru/archiv/zip/nosko.zip

9.Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М.и др. Экономикоматематические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Федосеева. М.: ЮНИТИ, 1999. 391с.

10..Эконометрика Учебное пособие /И.И. Елисеева. С.В. Курышева, Д.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2005. 340с.

69

Число степеней свободы равняется числу наблюдений за вычетом числа параметров модели. Например, для модели парной регрессии со свободным членом, число степеней свободы равняется (n-2)

70