UP_Vved_v_ekonometriku_-_N_Novgorod_2010

практике моменты времени, в которые проводились наблюдения, часто даны заранее, что приводит к рассмотрению рядов дискретного типа.

один из определяющих факторов. Это отличает временной ряд от случайной выборки Y1,Y2 ,.....,Yn , где индексы служат лишь для удобства идентификации.

Можно привести множество примеров временных рядов, появляющихся в реальной действительности: потребление товаров в течение ряда лет; данные о населении какой-либо страны, полученные при проведении регулярных переписей; количество осадков за определенные периоды времени и т. д.

К уровням временного ряда предъявляется ряд требований: должны быть сопоставимы, сформированы по одним методикам, иметь одинаковые единицы измерения и один шаг наблюдений.

Применяемые при обработке временных рядов методы во многом опираются на методы и характеристики, разработанные математической статистикой. Последние базируются на достаточно жестких требованиях к исходным данным (таким как однородность данных, предположения о типе их распределения и т. д.). В то же время при исследовании временных рядов (особенно экономических данных) проверка выполнимости этих требований в должной мере зачастую невозможна. Поэтому выводы, полученные на базе формально-статистического инструментария, должны восприниматься с осторожностью и дополняться содержательным анализом.

Как уже отмечалось, в моделях временных рядов имеется всего одна независимая переменная t – время., т.е. это однофакторные модели Y F(t) ,

Во временном ряду принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) – F (t) и случайную (остаточную) –

(t) . Под детерминированной составляющей временного ряда понимают

числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t .

Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном случае представлять случайные скачки, а в другом – плавное колебательное движение.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты: S(t),T (t),C(t), где

Tt – тренд, или систематическое движение; St– сезонная составляющая (колебания около тренда с периодом менее года); Ct –циклическая составляющая (колебания относительно тренда с периодом более года).

Эти составляющие необязательно все одновременно присутствуют во временном ряду, в то время как случайная компонента всегда присутствует во временном ряду.

Следует отметить, что предположение о независимом действии указанных составляющих является чрезмерным упрощением. В зависимости от структуры временного ряда строят различные модели временных рядов.

При анализе временных рядов в отличие от регрессионного анализа, мы

41

располагаем не N реализациями случайной переменной, а одной реализацией случайного процесса. Поэтому важное значение в анализе временных рядов имеет понятие стационарности ряда.

Временной ряд называется стационарным если его вероятностные свойства не изменяются во времени, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t.

Исследователя, как правило, интересуют не распределения, а лишь некоторые числовые характеристики (средние значения, дисперсия и пр.). Поэтому на практике чаще используется понятие слабой стационарности или стационарности в широком смысле. В этом случае стационарность связывают с независимостью числовых характеристик от времени. (среднего, дисперсии, ковариации).

Уровни стационарного временного ряда колеблются около среднего уровня, причем эти колебания носят случайный характер, поэтому в стационарном ряду отсутствует тенденция.

В экономике встречаются как стационарные, так и нестационарные временные ряды, т. е. ряды с тенденцией. Выявление и оценка основной тенденции развития экономического процесса является важнейшей задачей исследования временных рядов.

5.2. Предварительный анализ временных рядов.

Предварительный анализ временных рядов экономических показателей включает в основном:

выявление аномальных наблюдений;

проверку наличия тренда;

сглаживание временных рядов;

расчет показателей развития динамики экономических процессов.

Выявление аномальных уровней (т.е. резко выделяющихся,

нетипичных для данного ряда наблюдений). Аномальные наблюдения проявляются в виде сильного изменения уровня – скачка или спада – с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Наличие аномалии может резко искажать результаты моделирования.

Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Сюда же можно отнести значения, связанные с различными катастрофическими явлениями, не влияющими, однако, на дальнейший ход развития процесса. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению.

Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать изза воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко – это ошибки второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней можно использовать простейшие методы: визуальный просмотр, графический анализ, а также специально

42

разработанные методы, например, метод Ирвина9. Суть метода состоит в следующем:

для всех или только для подозреваемых в аномальности наблюдений

При выявлении аномальных значений первого рода требуется корректировка временного ряда. Обычно аномальные значения заменяют средним арифметическим значением двух соседних уровней, либо соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный временной ряд и пр.

Выявление тенденции во временном ряду.

При практических исследованиях временных рядов различают тенденцию трех видов:

1. Тенденция среднего уровня или тренд (аналитически выражается в виде некоторой функции F (t) вокруг которой варьируют эмпирические значения признака).

2.Тенденцию дисперсии – это изменение отклонений эмпирических значений признака от среднего уровня исходного ряда динамики.

3.Тенденцию автокорреляции – это изменение корреляционной зависимости между последовательными уровнями исходного ряда динамики.

Под трендом (или тенденцией) понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Не существует "автоматического" способа обнаружения тренда во временном ряду. Однако, если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно (визуальный просмотр, графический анализ).

Если временные ряды содержат значительную ошибку, то для выявления тренда приходится прибегать к специальным приемам и методам (метод

проверки разности средних уровней, метод Фостера - Стьюарта, критерий восходящих и нисходящих серий и пр., а также методы сглаживания10).

Метод Фостера –Стьюарта.

Этот метод кроме тренда самого ряда (тренда в среднем), позволяет установить наличие тренда дисперсии временного ряда (если тренда дисперсии нет, то разброс уровней ряда постоянен )

1.Производится сравнение каждого уровня исходного временного ряда, начиная со второго уровня, со всеми предыдущими, при этом определяются две числовые последовательности:

9Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-

математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Федосеева. М.: ЮНИТИ,

1999

10Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики.-М. Юнити,1998, с.803

43

Нетрудно заметить, что величина K принимает значения от 0 (все уровни ряда равны между собой) до (n-1) (ряд монотонный). Соответственно величина

тренд отсутствует. В этом случае ряд как бы распадается на равные части с разными тенденциями.

3. Третий этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными отклонение величины K от величины — математического

ожидания величины K для ряда, в котором уровни расположены случайным образом; отклонение величины L от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчетных значений t- критерия Стьюдента для средней и для дисперсии

Вычислим значения соответствующих t–статистик:

4. Расчетные значения статистики Стьюдента сравниваются с табличными при выбранной доверительной вероятности и числе степеней

44

имеется тенденция в дисперсии ( tK tтеор) и имеется тенденция в среднем, так как tL tтеор . Следовательно, можно говорить о наличии тренда во временном

ряду.

Метод средних

5.3. Методы механического сглаживания временного ряда

Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются, при этом тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. С целью более четкого выявления тенденции развития исследуемого процесса, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание (выравнивание) временных рядов. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга.

Методы сглаживания временных рядов делятся на две основные группы:

1)механическое выравнивание отдельных уровней временного ряда с использованием фактических значений соседних уровней.

2)аналитическое выравнивание с использованием кривой, проведенной между конкретными уровнями ряда так, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освобождала его от незначительных колебаний;

Суть методов механического сглаживания заключается в следующем. Берется несколько первых уровней временного ряда, образующих интервал сглаживания. Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания; с помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один

45

уровень ряда вправо, вычисляется следующее сглаженное значение и т. д.

Метод простой скользящей средней.

Самый простой метод сглаживания - скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним m соседних членов, где m - ширина интервала сглаживания. Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в интервал сглаживания.

Если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие колебания, интервал сглаживания уменьшают. При прочих равных условиях интервал сглаживания рекомендуется брать нечетным.

В результате такой процедуры получаются (n-m+1)сглаженных значений уровней ряда; при этом первые р и последние р уровней ряда теряются (не сглаживаются). -

При четных значениях т, после процедуры сглаживания обычно поводят центрирование полученного ряда (находят средние значения двух последовательных скользящих средних).

Данный метод применим применим лишь для рядов, имеющих линейную тенденцию. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям.

Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить волны, то предпочтительной является взвешенная скользящая средняя. При построении взвешенной скользящей средней на каждом интервале сглаживания значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле взвешенной средней арифметической:

i t p

где wi - весовые коэффициенты, определяемы методом наименьших

квадратов, при этом выравнивание на каждом интервале сглаживания осуществляется чаще всего с применением полиномов второго или третьего порядков11. Например, весовые коэффициенты для интервала 5 будут

следующие: 351 [ 3, 12, 17, 12, 3] , а для интервала 7: 211 [ 2, 3, 6, 7, 6, 3, 2]

Пример. Задан временной ряд объема выпуска продукции (в тыс. руб). Уровни ряда Y (t) приведены в таблице 5.

Выберем интервал сглаживания m=3 и проведем сглаживание простой

11 Михтарян В.С., Архипова М.Ю. и др. Эконометрика.: учеб./ под ред. Михтарян В.С . М.: ООО

«Проспект»,2008 , стр. 293

46

скользящей средней (третья строка таблицы) После сглаживания явно видна возрастающая тенденция.

влияние на процесс более поздних наблюдений. Этот вопрос решает метод экспоненциального сглаживания. В этом случае текущее значение временного ряда сглаживается с учетом сглаживающей константы (веса), обычно обозначаемой . Расчет проводится по следующей формуле:

St Yt (1 )St 1 , (5.4),

где j – число периодов отставания от момента t . Согласно формуле (5.5) относительный вес каждого предшествующего уровня снижается по экспоненте по мере удаления от момента, для которого вычисляется сглаженное значение. Отсюда и название данного метода.

При практическом использовании метода возникают проблемы выбора параметра и определения начального уровня Y0 . Чем больше значение

параметра , тем меньше сказывается влияние предшествующих уровней В каждом конкретном случае необходимо выбирать наиболее приемлемое

значение . Чаще всего это делается на основе проверки нескольких значений. Задачу выбора начального значения Y0 решают следующим образом: за Y0

принимается первое значение временного ряда или среднее арифметическое нескольких первых членов ряда.

Рассмотрим предыдущий пример. Проведем экспоненциальное сглаживание временного ряда (третья строка таблицы)

47

Первое сглаженное значение равняется первому уровню ряда.. Следующее сглаженное значение рассчитываем согласно формуле (5.3), где

=0,1. Например, S1992 0,1Y1992 0,9S1991 0,1 120 0,9 130 129 и т.д.

5.4. Аналитическое сглаживание (трендовые модели)

В случае аналитического сглаживания фактические уровни ряда заменяются теоретическими, рассчитанными по определенной кривой, отражающей общую тенденцию изменения показателя во времени. Эти кривые получили название кривых роста

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Чтобы правильно подобрать наилучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста.

Так при равномерном развитии процесса используют полином первой степени (Y a0 a1t ); при росте с ускорением – полиномы второй или третьей

степени (Y a0 a1t a2t 2 или Y a0 a1t a2t 2 a3t 3 ). При постоянных темпах роста выбирают показательную функцию (Y a bt , a 0,b 0 ). При снижении

образные кривые (логистическую кривую, кривую Гомперца) и т.д .

использовании отдельных характерных свойств кривых. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

Чтобы не потерять первый и последний уровни, их рассчитывают по

связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями

48

В соответствии с характером изменения указанных показателей средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда. Рекомендации по выбору кривых роста приведены в таблице 6.

Таблица 6.

Рекомендации по выбору кривых роста

Показатель Характер Тип кривой роста; Уравнение

изменения

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда. Для большинства кривых роста расчет параметров осуществляется по МНК, также как для модели парной регрессии. Для нелинейных моделей проводится их линеаризация. В случае невозможности линеаризации применяют нелинейные методы оценивания.

Следует отметить: при выборе кривой роста нецелесообразно использовать функции, содержащие большое количество параметров, так как полученные таким образом уравнения тренда (особенно при малом числе наблюдений) будут отражать случайные колебания, а не основную тенденцию развития явления.

5.5. Проверка качества трендовой модели.

Независимо от вида и способа построения трендовой модели возможность ее применения для анализа и прогнозирования может быть решена только после проверки ее адекватности и точности. Эта проверка может

49

быть выполнена также как для модели парной регрессии в разделе 3.

Качество модели можно также оценить, исследуя ряд остатков ei Yi Yi . Величины ei являются оценками стохастического возмущения I и, следовательно, должны удовлетворять условиям Гаусса–Маркова, т.е. ряд остатков ei должен удовлетворять следующим требованиям:

ei –случайные величины со средней равной нулю (e 0) ,

дисперсия величин ei постоянна для любых наблюдений;

ei –независимы между собой, т.е. в ряду остатков отсутствует

существенная автокорреляция.

При выполнении перечисленных условий исследуемая модель является адекватной и надежной. Кроме того, при использовании модели для прогнозирования необходима проверка на подчинение ряда остатков нормальному закону распределения. Для проверки перечисленных предположений имеются специальные статистические критерии. Рассмотрим некоторые из них.

I. Проверка случайности в ряду остатков (критерий поворотных точек,

критерий серий, критерий восходящих и нисходящих серий и пр.)

вероятностью 95 %. Здесь n–число наблюдений, а квадратные скобки означают, что от результата берется целая часть.

Критерий серий.

1. Располагаем ряд остатков в порядке возрастания их значений и находим медиану m полученного вариационного ряда (срединное значение

при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при четном n.

2. Сравниваем каждое значение последовательности ei с m и ставим «плюс единицу», если значение ei превосходит m и «минус единицу, если значение ei меньше m . В случае равенства ei = m ставим ноль. В результате

получается последовательность из +1 и – 1, общее число которых менее n. Последовательность подряд идущих +1 или – 1 называется серией.

Обозначим протяженность самой длинной серии через Kmax , а число серий через .

50