Vmfmm_StatGip_308_2011

Математическая обработка корреляционной таблицы позволяет установить форму корреляционной связи между переменными x и y и тесноту этой связи. Найденные из этой таблицы пары соответствующих значений yx и x (у по x) или

xy и y (x по у) используются для отыскания параметров

уравнений регрессии.

Методы математического описания анализа корреляционных (стохастических) связей между признаками рассматриваются в разделах корреляционного и регрессионного анализа математической статистики.

Уравнение M x (Y )= f (x), описывающее зависимость

условного математического ожидания случайной величины Y при заданном X - x, называется уравнением регрессии Y на X, а график этого уравнения на плоскости будет линией регрессии. Корреляционная связь между X и Y характеризуется двумя параметрами: формой связи и теснотой этой связи. Форма корреляционной связи определяется формой линии регрессии.

Различают положительную и отрицательную, линейную и нелинейную корреляцию. Теснота связи характеризуется степенью случайного разброса величин признака У вокруг линии регрессии, чем меньше разброс, тем связь будет теснее.

2°. В случае линейной корреляции уравнения прямых регрессии имеют вид

Система нормальных уравнений для отыскания параметров а и b уравнения прямой регрессии у по х, получаемая в результате использования метода наименьших квадратов, имеет вид

а для отыскания параметров с и d уравнения прямой регреcии x по у

2

3°. Схема расчета. Расчет удобнее вести в табличном виде:

а) для каждого значения xi находим сумму частот и

располагаем их во втором столбце; б) третий столбец равен произведению членов первых двух

столбцов, а четвертый равен произведению членов второго на квадраты первого, соответственно;

в) в пятом столбце для каждого значения xi корреляционной таблицы находим среднее значение yx по правилу определения средней взвешенной

∑nx xyx = Nxy,

3

4

где σx2 = x 2 − x 2 , σy2 = y2 − y 2 — дисперсии соответствующих

рядов распределений. Если r < 0,4, то считают, что линейной корреляции между x и у нет. Чем |r| ближе к единице, тем теснее связь между переменными.

3°. Упрощенный способ вычисления коэффициента корреляции. При постоянных разностях x и y в таблице

распределения вычисления значительно упрощаются, если перейти к новым переменным

где x0 , y 0 — произвольно выбираемые значения переменных x

и у (обычно их средние или ближайшие к ним).

Вычисление коэффициентов корреляции и коэффициентов регрессии сводится к аналогичным операциям над новыми переменными u и υ (со значительно меньшими по абсолютной величине числами). Так

Новые переменные u, υ помещают в исходной таблице, соответственно, и—слева от соответствующих значений x, а υ

— над соответствующими значениями у.

Если линейная корреляция обнаруживает малую тесноту связи r = 0,4 ~ 0,6, то следует обратиться к криволинейной корреляции.

4°. Если корреляционная зависимость между значениями x и у корреляционной таблицы близка к параболической, то уравнение регрессии примет вид

5

где параметры а, b, с на основании метода наименьших квадратов определяются из решения системы нормальных уравнений

a∑nx x4 +b∑nx x3 +c∑nx x2 = ∑x2nx yx ,

a∑nx x3 +b∑nx x2 +c∑nx x = ∑xnx yx , (14) a∑nx x2 +b∑nx x +cN = ∑ nx yx .

При составлении системы нормальных уравнений (14), (16) необходимые данные целесообразно вычислять в табличном виде.

1.1. Дана корреляционнаф таблица.

6

Найти уравнение прямой регрессии: а) y по x ; б) x по у. Решение. а) Проведем расчет в табличном виде

yx =1,014 +4, 4269.

б) При определении прямой регрессии x по y составим вспомогательную таблицу

7

По данным таблицы и формулам (8) x = ∑100ny xy =30,04;

Коэффициент регрессии x по y равен

ρ =1081,04 −1051, 4 =

x / y 0,34465. 1311−1225

Уравнение прямой регрессии x по y (7) примет вид

xy −30,04 = 0,34465(y −35), xy = 0,34465y +17,97725.

1.2. Пользуясь таблицей распределения задачи 1.1, найти упрощенным способом коэффициент корреляции и уравнения прямых регрессий.

Решение. Дополним заданную корреляционную таблицу соответствующими значениями u и υ , полагая, что x0 = 30,

y0 = 31.

8

Составляем вспомогательные таблицы

По данным расчетов находим: N = 100;

9