Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vmfmm_StatGip_308_2011

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
941.73 Кб
Скачать

находим из таблицы (8) критическую точку tд.кр. (0,1;16)=1, 75. Поскольку Tн <tд.кр. , то гипотеза о равенстве средних размеров

изделий принимается.

3.3. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением σ = 3 извлечена выборка объема n = 10 и по ней найдена выборочная средняя x =15,1. Проверить нулевую гипотезу H0 : a = a0 =13 при

конкурирующей гипотезе H0 : a 13, если уровень значимости

α = 0,05.

Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид a a0 , то критическая область двусторонняя. По формуле (3)

находим наблюдаемое значение критерия

Uн = (15,113) 10 = 2, 21.

 

3

Поскольку критическая область двусторонняя, то

критическую точку находим из выражения

Ф(uкр )= 1 (1α)

= 1 (10,05)= 0, 475

2

2

по табл. (3) функции Лапласа uкр

=1,96.

Таким образом, Uн >uкр, следовательно, нулевую гипотезу

отвергаем.

3.4. Измерения 16 случайно отобранных изделий приведены в таблице

Размер xi

2,9

 

3,0

3,1

 

3,3

Частота ni

3

 

4

5

 

4

При уровне значимости 0,05, проверить нулевую

гипотезу, что проектный размер изделий a0

=3 выдерживается

при изготовлении

H0 : a = a0 = 3,0,

при

конкурирующей

гипотезе H1 : a 3,0.

 

 

 

 

 

30

Решение. По выборке определяем средний размер изделий

x = 1n xini =161 (2,9 3 +3,0 4 +3,1 5 +3,3 4)=3,09.

При вычислении исправленной дисперсии перейдем к условным вариантам ui =10xi 3, тогда

 

2

 

niui2 1n (niui )2

 

11476 11449

 

 

su

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=1,8.

 

 

 

 

n 1

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, исправленная дисперсия первоначальных

вариант

равна

s2 =

 

s2

= 0,018,

а

исправленное среднее

 

 

u

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадратическое отклонение будет s =

0, 018 = 0,134.

Наблюдаемое значение критерия находим по формуле (4)

 

 

 

 

 

T

= (3,09 3,0)

16 = 2,686.

 

 

 

 

 

 

 

н

 

0,134

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

конкурирующая

 

 

гипотеза имеет вид

H0 : a = a0 = 3,0, то критическая область двусторонняя.

 

 

По уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы

k = n 1 =16 1 =15 находим

из таблицы (8)

распределения

Стьюдента критическую точку tд.кр. (0, 05;15)= 2,13.

 

 

Поскольку

Tн >tд.кр. ,

то гипотезу о равенстве проектного

размера и контрольного отвергаем.

 

 

 

 

3.5. Каждым из двух методов сделано 7 замеров и

получены следующие результаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

2.1

2.2

 

2.4

 

2.5

2.6

2.8

2.8

yi

 

2.0

2.2

 

2.3

 

2.6

2.7

2.9

3.0

31

Проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей H0 : M (X )= M (Y )если уровень

значимости α = 0,05.

Решение. Найдем разности одноименных замеров d1 = 0,1;

d2 = 0; d3 = 0,1; d4 = −0,1; d5

= 0,1; d6 = 0,1; d7 = 0,1 и вычислим

выборочную среднюю

 

 

 

 

 

 

= 1

di = −

1

0, 2 = −0,028.

d

 

 

n

 

 

7

 

Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение будет

di2 1 (di )2 1/ 2 s = nn1

 

 

1

0, 4

1/ 2

 

0,06

7

 

 

=

 

 

 

= 0,022.

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наблюдаемое значение критерия находим по формуле (5)

Tн = 0,0280,022 7 = −3,367.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид H1 : M (X )M (Y ), то критическая область двусторонняя. По

уровню значимости

α = 0,05

и

числу

степеней свободы

k = n – 1 = 6 находим из таблицы

 

 

(8) критическую точку

tд.кр. (0,05;6)= 2, 45.

Поскольку

 

Tн

 

 

>tд.кр. ,

то гипотезу о

 

 

равенстве двух средних отвергаем.

2.4. Сравнение предполагаемой вероятности с наблюдаемой относительной частотой появления события

Пусть при достаточно большом числе независимых испытаний n найдена относительная частота mn появления

32

p0q0

события. Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной вероятности p появления события гипотетической вероятности

p0 , те. .

H1 : p = p0 при

конкурирующей

гипотезе:

a) H1 : p p0 ; б) H1 : p > p0 ; в)H1 : p < p0.

 

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

Uн = (m / n p0 ).

 

 

 

а) По

таблице

(3) функции Лапласа из

 

формулы

Ф(uкр. )1 (1

α) находится

критическая точка

 

uкр.

Если

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uн

 

<uкр — нулевая

гипотеза

принимается, если

 

Uн

 

 

>uкр

 

 

 

 

нулевая гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области

критическая

точка

определяется

из

равенства

Ф(uкр. )=

1 α по таблице

(3).

Если

Uн <uкр

нулевая

 

2

 

 

 

 

 

гипотеза

принимается. Если Uн

>uкр

- нулевая

гипотеза

отвергается.

в) В случае левосторонней критической области находят сначала правостороннюю критическую точку по правилу «б)». Если Uн > −uкр — нулевую гипотезу принимают, если

Uн < −uкр — нулевую гипотезу отвергают.

4.1. Партия деталей принимается, если вероятность того, что деталь окажется бракованной, не превышает 0,015. Из 300 случайно отобранных деталей 6 оказались с браком. Можно ли принять партию?

Решение. По

условию нулевая гипотеза имеет

вид

H0 : p = p0 = 0,015.

Тогда конкурирующая гипотеза

будет

H1 : p > 0,015 , т. е. критическая область правосторонняя.

 

33

 

Найдем относительную

частоту

брака

m =

6

= 0,02.

 

300

 

 

 

 

n

 

Вычислим наблюдаемое значение критерия,

учитывая, что

q0

=1p0 =10,015 = 0,985

 

 

 

 

 

 

Uн = (0,02 0,015) 300

= 0,72.

 

 

 

 

0,985 0,015

 

 

 

 

uкр

При уровне значимости 0,05 найдем критическую точку

правосторонней критической области

 

 

 

 

Ф(uкр )= 1 α = 1 0,05

= 0, 45.

 

 

 

 

2

2

uкр =1,645. Поскольку

 

По таблице (3) функции Лапласа

Uн

<uкр, нулевая гипотеза принимается, т. е. вероятность брака

в партии не превышает 0,015. Следовательно, партию можно принять.

2.5. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей

1°. Критерий Кочрена. Пусть из m , нормально распределенных, генеральных совокупностей X1, X2 ,...., Xm извлечены m независимых выборок одинакового

объема п. По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии s12 , s22 ,......, sm2 с одинаковым числом степеней

свободы k=n-1.

Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий H0 : D (X1 )= D (X2 )=... = D (Xm ).

За наблюдаемое значение критерия примем критерий Кочрена, равный отклонению наибольшей исправленной дисперсии к сумме всех исправленных дисперсий

34

Gн =

 

smax2

 

 

(1)

s2

+s2 +... +s2

 

1

2

m

 

По таблице критических точек распределения Кочрена (9)

находим критическую точку Gкр (α, k, m).Если Gн

<Gкр

нулевая гипотеза принимается,

если Gн >Gкр

нулевая

гипотеза отвергается.

2°. Критерий Бартлетта. Пусть из m, нормально

распределенных,

 

генеральных

совокупностей

X1, X2 ,...., Xm извлечены

т независимых

выборок различных

объемов n

( n >4) и

по выборкам найдены исправленные

i

i

 

 

 

 

выборочные дисперсии

s2

, s2

,......, s2 . Требуется, при заданном

 

 

1

2

m

 

уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий

H0 : D (X1 )= D (X2 )=... = D (Xm ).

За наблюдаемое значение критерия примем критерий Бартлетта, равный отношению

 

 

By = V ,

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

где V = 2,303(k lg s 2 ki lg si2 );C =1+

1

 

im=1

1

1

 

 

;

 

 

k

 

 

 

3(m 1)

 

ki

 

ki = ni 1—

число

степеней

свободы

дисперсии;

s 2 = 1 im=1 ki s2i

— средняя арифметическая

исправленных

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дисперсий, взвешенная по числам степеней свободы.

 

χ2 и

По таблице

(7) критических точек распределения

 

числу степеней свободы l=m-1 находим критическую точку B кр (α,l ). Если Bн < B кр — нулевая гипотеза принимается,

если Bн > B кр —нулевая гипотеза отвергается.

35

Следует заметить ,что если V < Bкр, то Bн тем более меньше Bкр , т.к. С>1, и нулевую гипотезу можно принять, не

вычисляя С.

5.1. По пяти независимым выборкам одинакового объема

n = 11,

извлеченным

из

нормальных

генеральных

совокупностей, 11,

найдены

исправленные

выборочные

дисперсии 1,2; 1,6; 2,1; 2,5; 2,7. При уровне значимости 0,01, требуется: а) проверить нулевую гипотез о равенстве дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.

Решение. а) Воспользуемся критерием Кочрена (1). Найдем наблюдаемое значение критерия

Gн = 2,7 = 0, 267. 1, 2 +1,6 +2,1+2,5 +2,7

Из таблицы (9) критических точек распределения Кочрена по числу степеней свободы k = n 1 =111 =10 и числу выборок l=5 находим критическую точку

Gкр (0,01;10;5)= 0, 4697.

Поскольку Gн <Gкр , нулевую гипотезу об однородности

дисперсий принимаем.

б) Так как равенство дисперсий установлено, то в качестве оценки генеральной дисперсии возьмем среднюю арифметическую исправленных дисперсий

Dz =1, 2 +1,6 +2,1+2,5 +2,7 = 2,02. 5

5.2. По трем независимым выборкам объемов n1 = 8, n2 =12, n3 =13, извлеченных из нормальных генеральных

совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно, 2,2; 2,6; 4,1. Требуется, при уровне значимости 0,01: а) проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.

Решение. а) Расчеты удобнее выполнять в табличном виде.

36

Заполним расчетную таблицу

1

2

3

 

4

 

5

6

7

8

 

Номер

Объем

Число

 

Исправлен

 

 

 

 

 

 

 

выборки

выборки

степеней

 

ные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободы

 

дисперсии

 

 

 

 

 

 

 

i

ni

ki

 

si2

 

k1si2

lg si2

ki lg si2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ki

 

1

8

7

 

2,2

 

15,4

0,33

2,338

0,143

2

12

11

 

2,6

 

28,6

4

4,444

0,091

3

13

12

 

4,1

 

49,2

0,40

7,356

0,083

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

K=30

 

 

 

93,2

 

14,138

0,31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

Из таблицы находим s 2

= 1 ki si2

=3,11;lg s 2

= 0, 486;

 

 

 

k

V = 2,303(k lg s 2 ki lg si2 )= 2,303(30 0, 468 14,138)=1, 018.

Из таблицы (7) по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободыl 1 = 3 1 = 2 находим критическую точку

χкр2 (0,01; 2)=9, 2.

Поскольку V < χкр2 , то при С > 1 наблюдаемое значение критерия (2) Bн тем более меньше χкр2 нулевая гипотеза об

однородности дисперсий принимается.

б)Так как однородность дисперсий установлена, то генеральную дисперсию будем оценивать по формуле средней арифметической исправленной дисперсии

Dz = s 2 = 1k ki si2 =3,11.

37

2.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1°. Пусть эмпирическое распределение задано последовательностью равностоящих вариант и соответствующих им частот

xi

x1

x2

………..

ni

n1

n2

………..

xm nm

Требуется, при заданном уровне значимости а, проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

За наблюдаемое значение критерия примем критерий Пирсона

 

 

χн2 =

(n n '

)2

 

 

 

i n ' i

,

(1)

где n 'i = nh

 

i

 

 

ϕ(ui )— теоретические

частоты;n — объем

σ

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выборки; h — разность между двумя соседними вариантами,

ϕ(ui )=

1

eui2 / 2 — функция Лапласа табл. (1); ui =

xi xв

;

2π

 

 

 

σв

xв — выборочная средняя; σв — выборочное среднее квад-

ратическое отклонение.

Из таблицы критических точек распределения X по числу степеней свободы k = m 3 ,где т — число групп выборки,

находится критическая точка χкр2 (α, k ).

Если χн2 < χкр2 , то нулевая гипотеза о нормальном распределении принимается.

Если χн2 > χкр2 — нулевая гипотеза отвергается.

38

2°. Пусть эмпирическое распределение задано последовательностью интервалов одинаковой длины и соответствующих им частот

(x1, x2 )

(x2 , x3 )

(xm , xm+1 )

n1

n2

n3

Требуется при заданном уровне значимости α , проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

За наблюдаемое значение критерия принимают критерий Пирсона (1). Для этого сначала методом произведений

вычисляют выборочную среднюю x* и выборочное среднее квадратическое отклонение σв ,принимая в качестве вариант

x * среднее арифметическое концов интервала

 

x * =

xi + xi+1

.

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пронормировав совокупность X , переходят к совокупности Z,

вычисляя по

формулам

z =

x + x*

, z

 

=

x

 

x*

 

концы

i

 

i+1

i+1

 

 

 

σ

*

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

σ

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интервалов и полагая, что наименьшему

значению z1

соответствует −∞,

а наибольшему zm соответствует .

Вычисляя

по

формуле

pi =Ф(zi+1 )Ф(zi )

 

 

вероятности

попадания X

в интервалы

(xi, xi+1 )

, где Ф(z)— функция

Лапласа, находят теоретические частоты

n'

= n p , здесь n

объем выборки, т. е. сумма всех частот.

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из таблицы критических точек распределения χ2

по числу

степеней свободы k = m-3, где т —число интервалов выборки, находится критическая точка χкр2 (α, k ). Если χн2 < χкр2 , то нулевая гипотеза о нормальном распределении принимается. Если χн2 > χкр2 — нулевая гипотеза отвергается.

6.1. Задано эмпирическое распределение выборки объема n = 100:

39

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]