Vmfmm_StatGip_308_2011

Здесь каждая из дисперсий увеличена в 102 раз. Найдем

наблюдаемое значение критерия Fн = s2 , т. е. отношение su2

υ

большей исправленной дисперсии к меньшей

Fн = 25,5884, 2 =3, 29.

о равенстве генеральных дисперсий принимаем, т. е. считаем, что оба метода одинаковой точности.

2.3. Из нормальной генеральной совокупности извлечены выборка объема n = 18 и по ней найдена исправленная

конкурирующая гипотеза H0 :σ2 >13,1.

20

равно k = n −1 =18 −1 =17.

По таблице 7 находим критическую точку χкр2 (0,05;17)= 27, 6. Поскольку χн2 < χкр2 , то нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению σ02 =13,1 принимаем. Иначе, различие между исправленной дисперсией

s2 =15,3 3 и теоретической σ02 =13,1 незначительное.

2.4. Партия изделий проверяется по дисперсии выборки, которая не должна превышать σ02 = 0,15.Выборка дала следующие результаты

Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05? Решение. Примем за нулевую гипотезу равенство

двусторонняя и при определении критических точек уровень значимости берем меньше в два раза α2 = 0,025.

Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для этого по формуле ui =10xi −60 перейдем к условным вариантам

21

χн2 = (n −1)s2 =123 0, 2 =82.

σ02 0,3

Поскольку значение числа степеней свободы k = 123 больше 30, то критическую точку находим из выражения УилсонаГильферти (1). Учитывая, что уровень значимости

значений функции Лапласа находим, что x =1,645. Подставляя

Так как χн2 < χкр2 , то нулевая гипотеза справедлива и партию деталей можно принять.

2.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей

1°. Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны D(X) и D(Y), По выборкам большого объема n >30 и т >30 найдены соответствующие выборочные средние x и y. Требуется, при заданном уровне

значимости α , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных

находится наблюдаемое значение критерия.

23

нулевая гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(zкр )= 12 −α

по табл. (3). Если zн < zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн > zкр - нулевая гипотеза отвергается.

в) Критическую точку zн находим аналогично пункту «б)». Если zн > −zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн < −zкр — нулевая гипотеза отвергается.

2°. Пусть по независимым выборкам малого объема n < 30, m < 30 найдены выборочные средние x и y и исправленные

выборочные дисперсии sx2 и sy2 .Генеральные дисперсии

неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Требуется при заданном уровне значимости ос проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных

совокупностей H0 : M (X )= M (Y )при конкурирующей

гипотезе: а) H1 : M (X )≠ M (Y ); б) H1 : M (X )> M (Y );

в) H1 : M (X )< M (Y ).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

где к = n+ т -2 — число степеней свободы.

а) По таблице (8) критических точек распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы k находится

24

гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области по таблице (8) находят правостороннюю критическую точку

tпр.кр. . Если Tн <tпр.кр. — нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. — нулевая гипотеза отвергается.

в) В случае левосторонней критической области находят сначала правостороннюю критическую точку по правилу «б)»,

отвергают.

3°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия σ2 известна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней а гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей

нулевая гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(uкр )= 12 −α

25

по таблице (3). Если Uн <uкр — нулевая гипотеза принимается, если Uн >uкр — нулевая гипотеза отвергается.

в) Критическую точку uкр находим аналогично по пункту

4°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия неизвестна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней α гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей

отвергается.

б) В случае правосторонней критической области по табл. (8) находят правостороннюю критическую точку tпр.кр.. Если

Tн <tпр.кр. —нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. . —

нулевая гипотеза отвергается.

в) В случае левосторонней критической области сначала находят правостороннюю критическую точку по правилу пункта б) и полагают tл.кр. = −tпр.кр.. ЕслиTн > −tпр.кр. — нулевую

26

гипотезу принимают, если Tн < −tпр.кр. —нулевую гипотезу

отвергают.

5°. Пусть генеральные совокупности X,Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. По выборкам одинакового объема n, варианты которых соответственно равны xi и yi ,найдены разности вариант с одинаковыми

номерами di = xi − yi . Тогда средняя разностей вариант с

Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных

совокупностей X и Y, т. е. H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )≠ M (Y ).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

k s

По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном числе

величины X и Y распределены нормально, проверить, при

27

уровне значимости 0,01, нулевую гипотезу H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )≠ M (Y ).

Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид

отвергаем, т. е. средние размеры изделий различаются значительно.

проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделии

28

При вычислении исправленных дисперсий перейдем к условным вариантам ui =10xi −26,υi =10y −24.

Тогда

Поскольку исправленные дисперсии различны, а по условию

(2) должны быть одинаковы, то их необходимо сравнить, приняв в качестве конкурирующей гипотезы

H1 : D (X )≠ D (Y ).

Используя критерий Фишера-Снедекора, находим

равенстве генеральных дисперсий справедливо.

Для сравнения средних по формуле (2) находим наблюдаемое значение критерия

H1 : M (X )≠ M (Y ). , то критическая область двусторонняя. По уровню значимости a = 0,1 и числу степеней свободы k =16

29