Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vmfmm_StatGip_308_2011

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
941.73 Кб
Скачать

ui

 

 

-18

 

 

 

 

-6

 

 

 

 

0

 

7

 

 

 

 

-4

υi

 

 

1

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

-7

 

5

 

 

 

 

 

Таким образом, исправленные выборочные дисперсии

 

 

ui2

1

 

(ui )2

(324 +36 +49 +16)

1

441

 

2

 

 

n

 

su

=

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

5

 

=84, 2;

 

n1 1

 

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υi2

1

(υi )2

(1+4 +49

+25)

1

9

 

 

 

 

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sυ

=

2

 

 

 

=

 

 

 

4

 

= 25,58.

 

 

 

 

 

 

4 1

 

 

 

 

n2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь каждая из дисперсий увеличена в 102 раз. Найдем

наблюдаемое значение критерия Fн = s2 , т. е. отношение su2

υ

большей исправленной дисперсии к меньшей

Fн = 25,5884, 2 =3, 29.

По числам степеней

свободы

k1 = n1 1 =5 1 = 4 и

k2 = n2 1 = 4 1 = 3

и табл.

6 находим критическую точку

kкр (0,05; 4;3)=9,12.

Поскольку Fн < kкр,

то нулевую гипотезу

о равенстве генеральных дисперсий принимаем, т. е. считаем, что оба метода одинаковой точности.

2.3. Из нормальной генеральной совокупности извлечены выборка объема n = 18 и по ней найдена исправленная

выборочная дисперсия s2 =15,3. Теоретически

установлено,

что генеральная дисперсия σ0

2 =13,1. При уровне значимости

0,05 проверить нулевую

гипотезу H0 :σ2

=σ0

2 , если

конкурирующая гипотеза H0 :σ2 >13,1.

20

 

Решение.

 

 

Конкурирующая

гипотеза

имеет вид

H0 :σ2

>13,1.,

поэтому критическая область правосторонняя.

Найдем

 

 

наблюдаемое

значение

критерия

χ2

=

(n 1)s2

=

 

(18 1)15,3

=19,585.

Число степеней свободы

 

σ02

 

13,1

 

н

 

 

 

 

 

 

 

равно k = n 1 =18 1 =17.

По таблице 7 находим критическую точку χкр2 (0,05;17)= 27, 6. Поскольку χн2 < χкр2 , то нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению σ02 =13,1 принимаем. Иначе, различие между исправленной дисперсией

s2 =15,3 3 и теоретической σ02 =13,1 незначительное.

2.4. Партия изделий проверяется по дисперсии выборки, которая не должна превышать σ02 = 0,15.Выборка дала следующие результаты

Контрольный

xi

5,6

6,0

6,4

5,8

6,2

размер

 

 

 

 

 

 

изделий

 

 

 

 

 

 

частота

ni

2

3

10

4

1

Можно ли принять партию при уровне значимости 0,05? Решение. Примем за нулевую гипотезу равенство

неизвестной

генеральной

дисперсии

σ2

гипотетическому

значению σ02 , H0 :σ2 =σ02

= 0,15, а

за

конкурирующую

H1 :σ2 0,15.

Критическая область

 

в этом случае

двусторонняя и при определении критических точек уровень значимости берем меньше в два раза α2 = 0,025.

Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для этого по формуле ui =10xi 60 перейдем к условным вариантам

21

ui

 

 

-4

 

 

0

 

 

 

 

 

 

4

 

 

-2

 

 

2

 

n

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

10

 

 

4

 

 

1

 

Отсюда, вспомогательная дисперсия условных вариант

 

 

niui2 1n (niui )2

(32 +160 +16 +4)

1

262

 

 

 

2

 

20

 

 

 

su

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 9,38.

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомая исправленная дисперсия будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 =

 

s2

 

= 0,0938.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, наблюдаемое значение критерия

 

 

 

 

 

 

χ

2

=

(n 1)s2

 

=

19 0,0938

=11,88.

 

 

 

 

 

 

 

н

σ02

 

 

 

 

0,15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Число степеней

свободы

 

 

равно

k = n 1 = 20 1 =19. По

таблице 7 находим правую χн2.кр (0, 025;19)=32,9 и левую

χл2.кр (0,975;19)=8,91

критические

точки.

Поскольку

χл2.кр < χн2 < χп2.кр, то нулевая гипотеза принимается и партию

принять можно.

2.5. Партия деталей принимается, если дисперсия контролируемого размера меньше или равна 0,3. Если исправленная выборочная дисперсия при выборе n =124 равна

s2 =0,2, то можно ли при уровне значимости 0,05 партию принять?

Решение. Равенство неизвестной генеральной дисперсии

σ2 предполагаемого

значения

σ02

принимаем за

нулевую

гипотезу

H0 :σ2 =σ02 = 0,3.

За

конкурирующую

гипотезу

принимаем

H1 :σ2

> 0, 2,

т.

е.

критическая

область

правосторонняя.

Наблюдаемое значение критерия

22

χн2 = (n 1)s2 =123 0, 2 =82.

σ02 0,3

Поскольку значение числа степеней свободы k = 123 больше 30, то критическую точку находим из выражения УилсонаГильферти (1). Учитывая, что уровень значимости

α = 0,05, из равенства Ф(x)=

1

(12α)= 0, 45 по табл. (3)

 

2

 

значений функции Лапласа находим, что x =1,645. Подставляя

k и x

в формулу (1), получим

 

 

3

2

 

 

 

2

 

 

2

 

χкр (α; k )=123

1

 

 

+1,645

 

 

 

=150,7.

9 123

9 123

 

 

 

 

 

 

 

Так как χн2 < χкр2 , то нулевая гипотеза справедлива и партию деталей можно принять.

2.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей

1°. Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально и дисперсии их известны D(X) и D(Y), По выборкам большого объема n >30 и т >30 найдены соответствующие выборочные средние x и y. Требуется, при заданном уровне

значимости α , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных

совокупностей H0 : M (X )= M (Y ) при

конкурирующей

гипотезе: а) H1 : M (X )M (Y ); б) H1 : M (X )> M (Y );

в) H1 : M (X )< M (Y ).

 

 

Сначала по формуле

 

 

zн =

x y

,

(1)

(D (X ))/ n + D (Y )/ m1/ 2

находится наблюдаемое значение критерия.

23

 

 

 

а)

По табл.

(3) функции Лапласа

из

 

 

формулы

Ф(zкр )=

1 (1α) находится критическая точка

zкр

. Если

 

zн

 

< zкр

 

2

 

 

 

 

zн

 

> zкр -

 

 

 

— нулевая

гипотеза принимается,

если

 

 

 

 

 

 

 

 

нулевая гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(zкр )= 12 α

по табл. (3). Если zн < zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн > zкр - нулевая гипотеза отвергается.

в) Критическую точку zн находим аналогично пункту «б)». Если zн > −zкр — нулевая гипотеза принимается, если zн < −zкр — нулевая гипотеза отвергается.

2°. Пусть по независимым выборкам малого объема n < 30, m < 30 найдены выборочные средние x и y и исправленные

выборочные дисперсии sx2 и sy2 .Генеральные дисперсии

неизвестны, но предполагаются одинаковыми. Требуется при заданном уровне значимости ос проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных

совокупностей H0 : M (X )= M (Y )при конкурирующей

гипотезе: а) H1 : M (X )M (Y ); б) H1 : M (X )> M (Y );

в) H1 : M (X )< M (Y ).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

T =

x y

k

nm

,

(2)

((n 1)sx2 +(m 1)sy2 )1/ 2

 

н

 

n +m

 

 

где к = n+ т -2 — число степеней свободы.

а) По таблице (8) критических точек распределения Стьюдента при заданном числе степеней свободы k находится

24

двусторонняя критическая точка tд.кр. (α, k ). Если

 

Tн

 

<tд.кр.

 

 

нулевая гипотеза принимается, если

 

Tн

 

>tд.кр.

 

нулевая

 

 

 

гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области по таблице (8) находят правостороннюю критическую точку

tпр.кр. . Если Tн <tпр.кр. — нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. — нулевая гипотеза отвергается.

в) В случае левосторонней критической области находят сначала правостороннюю критическую точку по правилу «б)»,

затем определяют tл.кр. =tпр.кр. .

Если

Tн > −tпр.кр.

нулевую

гипотезу принимают, если Tн

< −tпр.кр.

— нулевую

гипотезу

отвергают.

3°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия σ2 известна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней а гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей

гипотезе: а) H1 : a a0 ; б)

H1 : a > a0 ;

в) H1 : a < a0.

 

 

 

 

 

 

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

 

 

 

 

 

Uн

=

(x a0 ) n

.

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) По

таблице

(3)

функции

Лапласа из

формулы

Ф(uкр )=

1

(1α) находится критическая точка

uкр . Если

 

Uн

 

<uкр

2

 

 

 

 

 

 

 

Uн

 

>uкр

 

 

— нулевая гипотеза принимается, если

 

 

 

 

 

 

нулевая гипотеза отвергается.

б) В случае правосторонней критической области критическая точка определяется из равенства Ф(uкр )= 12 α

25

по таблице (3). Если Uн <uкр нулевая гипотеза принимается, если Uн >uкр — нулевая гипотеза отвергается.

в) Критическую точку uкр находим аналогично по пункту

б).

Если

Uн > −uкр нулевая гипотеза принимается, если

Uн

< −uкр

— нулевая гипотеза отвергается.

4°. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем ее дисперсия неизвестна. По выборке объема n найдена выборочная средняя x . Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной средней α гипотетическому значению a0 , H0 : a = a0 при конкурирующей

гипотезе: а) H1 : a a0 ; б)

H1 : a > a0 ; в)

H1 : a < a0.

 

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

 

 

 

T =

(x a0 )

n

,

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni xi2

1 (ni xi )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

s =

 

n

 

 

 

исправленное

среднее

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадратическое отклонение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном

числе

степеней свободы

k = n - 1

находится двусторонняя

критическая точка tд.кр. (α, k ). Если

 

Tн

 

<tд.кр.

нулевая

 

 

гипотеза принимается, если

 

Tн

 

>tд.кр.

 

нулевая

гипотеза

 

 

 

отвергается.

б) В случае правосторонней критической области по табл. (8) находят правостороннюю критическую точку tпр.кр.. Если

Tн <tпр.кр. —нулевая гипотеза принимается, если Tн >tпр.кр. .

нулевая гипотеза отвергается.

в) В случае левосторонней критической области сначала находят правостороннюю критическую точку по правилу пункта б) и полагают tл.кр. = −tпр.кр.. ЕслиTн > −tпр.кр. — нулевую

26

гипотезу принимают, если Tн < −tпр.кр. —нулевую гипотезу

отвергают.

5°. Пусть генеральные совокупности X,Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. По выборкам одинакового объема n, варианты которых соответственно равны xi и yi ,найдены разности вариант с одинаковыми

номерами di = xi yi . Тогда средняя разностей вариант с

одинаковыми номерами

будет

 

 

=

1

di , а исправленное

d

среднее квадратическое отклонение

n

 

 

1/ 2

di2 1

(di )2

s =

 

n

 

 

 

 

.

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных

совокупностей X и Y, т. е. H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )M (Y ).

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

 

 

 

 

 

 

T =

d

n

.

(5)

k s

По таблице (8) распределения Стьюдента при заданном числе

степеней

свободы

k = n - 1

 

 

находится

двусторонняя

критическая точка tд.кр. (α, k ).

 

 

Если

 

Tн

 

<tд.кр. — нулевая

 

 

 

гипотеза

принимается,

если

 

Tн

 

>tд.кр.

 

нулевая

гипотеза

 

 

 

отвергается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.1. По двум

независимым

выборкам

 

объема

n = 20 и

m = 30

найден

средний размер изделий,

соответственно,

x =95 см, y =105 см. Генеральные дисперсии известны:

D(X) = 15

см2 , D(Y) = 21 см2 .

Предполагая,

что случайные

величины X и Y распределены нормально, проверить, при

27

уровне значимости 0,01, нулевую гипотезу H0 : M (X )= M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M (X )M (Y ).

Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид

H1 : M (X )M (Y ). ,

то критическая область двусторонняя. По

формуле (1) найдем наблюдаемое значение критерия

 

 

 

 

 

zн =

95 105

 

 

= −8,53.

 

 

 

 

 

 

15 +

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

30

 

 

 

 

 

По

таблице

(3)

функции

 

 

Лапласа

из

формулы

Ф(zкр )= 1

(1α)=

1

0,01 = 0, 495

 

 

находим

критическую

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

точку

zкр

= 2,58.

Поскольку

 

Zн

 

 

> zкр, нулевую

гипотезу

 

 

отвергаем, т. е. средние размеры изделий различаются значительно.

 

3.2. По двум независимым выборкам объема n =

8

и m = 10

 

 

 

 

 

 

yi

 

 

 

 

xi

 

2,3

2,4

2,6

2,8

2,1

2,4

 

2,5

ni

 

2

1

3

2

mi

4

5

 

 

1

проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделии

H0 : M (X )= M (Y )

 

при

конкурирующей

гипотезе

H1 : M (X )M (Y ). ,

если

уровень значимости

α = 0,1 и

случайные величины X, Y распределены нормально.

 

Решение. Найдем выборочные средние

 

x =

1

ni xi

= 1

(4,6 +2, 4 +7,8 +5,6)= 2,55,

 

 

n

 

 

8

 

 

 

 

y =

1

 

mi xi =

1

(8, 4 +12,0 +2,5)= 2, 29.

 

m

 

 

 

 

10

 

 

 

28

При вычислении исправленных дисперсий перейдем к условным вариантам ui =10xi 26,υi =10y 24.

Тогда

 

 

niui2

1 (

niui

)2

 

 

30

1

16

 

 

s2

=

 

n

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

8

 

 

= 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

miυi2

 

1

 

(miυi )2

 

 

 

 

37

 

1

121

sυ2

 

 

m

 

 

10

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= 27, 7.

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

Следовательно, sx2 =

 

s2

 

= 0, 4; sy2 =

 

s2

 

= 2,77.

 

 

u

 

 

 

υ

 

 

10

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку исправленные дисперсии различны, а по условию

(2) должны быть одинаковы, то их необходимо сравнить, приняв в качестве конкурирующей гипотезы

H1 : D (X )D (Y ).

Используя критерий Фишера-Снедекора, находим

наблюдаемое значение критерия.

 

 

 

 

 

 

F =

s2

0, 4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

 

 

= 0,144.

 

 

 

 

 

2,77

 

 

 

 

н

sy2

 

 

 

 

 

 

По

уровню значимости

α

= 0,05

и

числам

степеней

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

свободы

k1 = n 1 = 7; k2 = m 1 = 9

из

таблицы (6)

находим

Fкр (0,05;7;9)=3, 29.

Так

как

 

Fн

< Fкр,

то допущение о

равенстве генеральных дисперсий справедливо.

Для сравнения средних по формуле (2) находим наблюдаемое значение критерия

T =

2,55 2, 29

8 10 16 = 0, 42.

 

н

7 0, 4 +9 2, 27

8 +10

 

Так как конкурирующая

гипотеза имеет вид

H1 : M (X )M (Y ). , то критическая область двусторонняя. По уровню значимости a = 0,1 и числу степеней свободы k =16

29

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]