Vmfmm_StatGip_308_2011

Незначительное расхождение со значениями x и y ,

вычисленных в задаче 8.1., связано с приближенным характером вычислений и является подтверждением правильности упрощенного способа расчета.

Находим средне квадратические отклонения Уравнение прямой регрессии y по x примет вид:

10

Найти уравнение регрессии у по x, полагая корреляционную зависимость параболической.

Решение. Для составления системы нормальных уравнений (14) необходимые данные находятся суммированием, выполненным в табличном виде

По результатам таблицы система нормальных уравнений имеет вид:

2004,8125a +772,125b +324, 25c =1877, 25;

772,125a +324, 25b +151,5c = 798,5;

324, 25a +151,5b +80c =383.

Решая систему, находим, что а = 0,47, b =-1091,45, c = 2069,82.

Таким образом, искомое уравнение будет yx = 0, 47x2 −1091, 45x +2069,82.

1.4. Корреляционная таблица отражает связь между значениями x и соответствующими частными средними yx

11

Найти корреляционное уравнение связи.

Решение. Прибрасывая зависимость между yx и x на

графике рис. 1, считаем, что наиболее близко соответствует уравнение гиперболы (15). Данные для составления нормальной системы уравнений (16) находим в табличной форме.

Система нормальных уравнений имеет вид:

33a +12,083b =397;

12,083a +8,174b =164,9.

Решая эту систему, получим: а = 10,122; b = 5,21. Искомое уравнение примет вид

yx =10,122 + 5,x21.

Соответствующая этому уравнению кривая регрессии показана на рис. 1.

Рис. 1

12

1.5. При изучении зависимости выработки y (тыс. руб.) на одного работника торговли от величины товарооборота x (тыс. руб.) магазина за отчетный период обследовалось n = 10 магазинов торга и были получены следующие данные

Полагая, что между признаками x и y имеет место линейная корреляционная связь, определить выборочное уравнение линейной регрессии, выборочный коэффициент линейной корреляции и построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать вывод о направлении и тесноте связи между признаками x и y. Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака у при x* = 60 тыс. руб.

Решение. Построим диаграмму рассеяния (рис. 2).

Из диаграммы видно, что между признаками x и у действительно наблюдается линейная корреляция.

Составим исходную расчетную таблицу и найдем суммы по всем ее столбцам

13

Проведем анализ полученных результатов. Расчеты подтвердили, что между производительностью труда у и объемом товарооборота x магазина при изучении группы предприятий торговли наблюдается положительная линейная корреляция. Теснота связи между признаками высокая (r = 0,85)

Подставляя x* = 60 тыс. руб. в полученное уравнение регрессии, находим ожидаемое среднее значение производительности труда для предприятий с объемом товарооборота 60 тыс. руб.

y60 = 0,027 60 +2,15 =1,62 +2,15 = 3,77 тыс.руб.

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 2.1. Основные понятия

1°. Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о характеристиках известных распределений.

Различают нулевую H0 (основную) гипотезу, которая

выдвигается, и противоположную ей гипотезу, которая называется конкурирующей Hr .

В результате статистической проверки выдвинутой гипотезы могут быть ошибки двух видов. Ошибка первого вида заключается в том, что отвергается правильная гипотеза, а ошибка второго вида, что принимается неправильная гипотеза. Вероятность ошибки первого вида называется уровнем значимости, который принимается обычно равным

α = 0,05 или α = 0,01.

2°. Для проверки статистической гипотезы используется статистический критерий К. Множество значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается, образует область принятия гипотезы. Множество значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, образует критическую область.

15

Таким образом, если статистический критерий

принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают, если статистический критерий принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Все возможные значения критерия принадлежат некоторому интервалу.

Если P (K > kкр )=α, где kкр —критическая точка,

отделяющая критическую область от области принятия гипотезы, то К определяет такие значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Значения K > kкр , где kкр > 0 , то значения К определяют

значения К определяют двустороннюю симметричную относительно нуля область.

2.2. Сравнения двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

1°.. Пусть по двум независимым выборкам с объемами n1 и n2 , извлеченными из нормальных генеральных совокупностей X, Y, найдены исправленные выборочные дисперсии sx2 и sy 2 .

Требуется, при заданном уровне значимости α , проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

конкурирующей гипотезе a) H1 : D (X )> D (Y );

б) H1 : D (X )≠ D (Y ).

а) При вычислении наблюдаемого значения критерия Fн находим отношение большей исправленной выборочной

16

распределения Фишера - Снедекора (табл.6), при заданном уровне значимости а и числам степеней свободы

k1 = n1 −1, k2 = n2 −1, находим критическую точку kкр (α, k1, k2 ). Если Fн < kкр — нулевая гипотеза принимается, еслиFн > kкр

— нулевая гипотеза отвергается.

б) В этом случае рассматриваем двустороннюю критическую

практических задач достаточно находить только одну критическую точку (правую).

2°. Пусть гипотетическая (предполагаемая) дисперсия нормальной генеральной совокупности равна σ02 , а выборка объема n из генеральной совокупности имеет исправленную выборочную дисперсию s2 c k = n −1 степенями свободы.

Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной

наблюдаемое значение критерия. Затем по таблице критических точек распределения χ2 (табл. 7) по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 1

17

находят критическую точку χкр2 =(α, k ). Если χн2 < χкр2 — нулевая гипотеза принимается, χн2 > χкр2 — нулевая гипотеза

отвергается.

б) В случае двусторонней критической области по табл. 7

гипотеза отвергается.

в) В случае левосторонней критической области по табл. 7

гипотеза отвергается.

3°. В случае, если число степеней свободы k >30, то

где x определяется по таблице (3) значений функции Лапласа,

проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H0 : D (X )= D (Y ) при конкурирующей гипотезе

H1 : D (X )> D (Y ).

18

Решение. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид D (X )> D (Y ), то критическая область — правосторонняя.

Находим наблюдаемое значение критерия Fн = 21,57,6 .

точку kкр (0,01;10;13)= 4,1.

Поскольку Fн < kкр, то нулевую гипотезу о равенстве

генеральных дисперсий принимаем.

2.2. В результате двух независимых измерений некоторой величины получены значения:

а) первым методом

x1 =8, 2; x2 =9, 4; x3 =10; x4 =10,7; x5 = 9,6;

в) вторым методом y1 =10,1; y2 =9,8; y3 =9,3; y4 =10,5.

Предполагая, что результаты замеров распределены нормально, можно ли считать при уровне значимости α = 0,1 оба метода одинаковой точности?

Решение. Точность методов будем определять их дисперсиями. Равенство генеральных дисперсий (нулевая гипотеза) H0 : D (X )= D (Y ) обеспечивает одинаковую

точность методов. Конкурирующая гипотеза имеет вид H1 : D (X )≠ D (Y ). , т. е. критическая область двусторонняя и

при нахождении критических точек уровень значимости следует брать в два раза меньше α /2 = 0,05.

Найдем выборочные дисперсии su2 , sυ2 . Для этого по формулам ui =10xi −100; υi =10 yi −100 перейдем к условным вариантам

19