Приложение и

(рекомендуемое)

Аналитическая механика Возможные перемещения

Для одной точки возможным (виртуальным) перемещением называется такое бесконечно милое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на точку связями.Для возможного перемещения не требуется времени на его совершение. Это мысленное перемещение, которое могла бы совершить точка при наложенных на нее связях в рассматриваемый момент времени. Проекции возможного перемещенияна оси координат, или вариации координат, обозначают,,, а проекции элементарного действительного перемещения на оси координат, или дифференциалы координат при изменении времени наобозначают,,.

Возможным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы.

В общем случае и точка, и система могут иметь несколько и даже бесконечно много возможных перемещений. Вследствие наложенных уравнений связей не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы системы.

Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи

Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки приложения вычисляют по обычным формулам для элементарной работы, т.е. , и другим формулам для элементарной работы. Для механической системы, состоящей източек, к которым приложены силы, элементарная работа этих сил на каком-либо возможном перемещении системы соответственно выразится так

. (ПИ.1)

Элементарная работа сил при этом зависит от выбора возможного перемещения системы.

Обозначим силы реакций связей для точек системы . Тогдасвязи системы называются идеальными, если для любого возможного перемещения системы выполняется условие

. (ПИ.2)

Условие (220) является определением идеальных связей. Важно отметить, что это условие должно выполняться для всех возможных перемещений системы. При этом вся совокупность связей является идеальной. Может быть идеальной каждая из связей в отдельности. Приведем примеры идеальных связей:

1. в абсолютно твердом телеточки связаны идеальными связями;

2. абсолютно гладкая поверхность, илиабсолютно гладкая линия, является идеальной связью для точки;

3. гибкие нерастяжимые связитипа нитей, канатов, тросов и т.п., соединяющих точки системы;

4. закрепленные точкисистемы;

5. шероховатая поверхностьдля катков, катящихся по ней без скольжения, при отсутствии трения качения.

Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Для равновесия механической системы, подчиненной идеальным, голономным, стационарным и неосвобождающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю на любом возможном перемещении системы, если скорости точек системы в рассматриваемый момент времени равны нулю, т.е.

. (ПИ.3)

где – активная сила, приложенная к-й точке системы;– радиус-вектор этой точки.

В принцип возможных перемещений не входят силы реакций связей. Но его можно применять также и для определения неизвестных сил реакций связей. Для этого связь, силы реакции которой необходимо определить, отбрасывают (освобождают систему от этой связи), заменяя ее силами реакции. Эти силы добавляют к активным силам. Оставшиеся связи системы должны быть идеальными. Иногда неидеальную связь заменяют идеальной, компенсируя неидеальность соответствующими силами. Так, если связью для тела является шероховатая поверхность, то ее можно заменить гладкой поверхностью, добавляя к активным силам силу трения скольжения и в более общем случае – еще и пару сил, препятствующую качению. Связь в виде заделки для твердого тела можно заменить неподвижным шарниром, плоским или шаровым соответственно, добавляя момент заделки, векторный или алгебраический. Таким образом, в принцип возможных перемещений входят в действительности не активные силы, а все приложенные к точкам системы силы, кроме сил реакций идеальных связей, которые по условиям задач не требуется определять.