Алгебраический момент силы относительно точки

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки, взятое со знаком плюс или минус (рис. ПД.5).

. (ПД.1)

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т.е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точкина линию действия силы.

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке – знак минус.

Рис. ПД.5

Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю.

Теорема Вариньона для плоской системы сил

Алгебраический момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен сумме алгебраических моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

. (ПД.2)

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси ив плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю:

(ПД.3)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

. (ПД.4)

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю, т.е.

. (ПД.5)

Составная конструкция (сочлененная система тел)

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе нескольких взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров, соприкасаться друг с другом и взаимодействовать одно с другим, вызывая силы взаимодействия. Такую систему взаимодействующих тел иногда называют сочлененной системойтел илисоставной конструкцией.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешниминазывают силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему.

Внутренниминазывают силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил (силы ина рис. ПД.6). Поэтомувнешние силы, действующие на систему тел отдельно, без внутренних сил, удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, за которое следует принять эту систему тел.

Покажем это на примере системы двух свободно опирающихся тел под действием плоской системы сил (рис. ПД.6). Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для телаI:

(ПД.6)

для тела II:

(ПД.7)

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем:

. (ПД.8)

Если сложить (Д.6) и (Д.7), учитывая (Д.8), то:

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему двух тел.

Для системы тел в том случае, когда на каждое тело действует любая плоская система сил, можно составитьусловий равновесия и, следовательно, определитьнеизвестных. Если число неизвестных больше, то задача является статически неопределимой. В случае статически определимой задачиусловий равновесия можно получить, если составлять их для каждого тела отдельно, учитывая и силы взаимодействия тел, или составлять условия равновесия для любых комбинаций групп тел, в том числе и для всей рассматриваемой системы тел. При этом внутренние силы для отдельных групп тел учитывать не надо.

Рис. ПД.6