0 А х
Масса неоднородной пластинки выражается через двойной интеграл по формуле: .
В нашем случае область D- треугольник ОАВ,.
Запишем уравнение прямой АВ, используя уравнение прямой в отрезках:
, откуда получаем; областьDзадаётся как решение системы неравенств
Вычислим массу m, переходя от двойного к повторному интегралу:
12. а)(Только для профиля ТСА.) Вычислить работу, совершаемую переменной силойпо прямой, соединяющей точкиМ(1; 1) иN(2; 3) .
б)(Только для профилей ЭОЭТ и ЭОП.) Проверить, что векторное поле потенциально; найти потенциал поля и работу, совершаемую силойпри переходе из точки М(1; 2) в точкуN(3; 5).
Решение.а) Для того чтобы найти работу, совершаемую переменной силой, вычислим криволинейный интеграл
по прямой, соединяющей точки М(1; 1) иN(2; 3).
Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
.
После преобразований получаем: , поэтому.
Перейдем от криволинейного интеграла к определенному, подставляя полученные нами выражения для yиdyи учитывая, что.
Тогда работа Aпримет вид
у
N
3
1 M
0 1 2 х
б)Векторное поле имеет вид. Поэтому
,. Найдем частные производные.
Производные совпадают, откуда следует, что поле потенциально.
Потенциал векторного поля находим по формуле
.
Для нашего случая
,
то есть потенциал данного поля равен
.
Проверим, правильно ли мы нашли потенциальную функцию. Для этого должны выполняться следующие условия:
.
В нашем случае:
по условию,
по условию.
В потенциальных полях работа Aсилыравна разности потенциалов, то есть.
В нашем случае
.
13. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый-ый элемент работает независимо от других с вероятностью(= 1, 2, 3, 4, 5, 6)..
4
1
3
2
6
5
Решение.Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).
Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.
– надежность блока 1–2.
Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:
исправны элементы 3 и 4,
исправен элемент 5,
исправен элемент 6.
– вероятность безотказной работы блока 3–4.
–
надежность блока 3–4–5–6.
Следовательно,
– искомая надежность участка цепи.
14. Измерены диаметрыдля 90 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в табл. 1.
Таблица 1
70,88 |
67,04 |
69,20 |
66,24 |
64,80 |
71,52 |
67,52 |
68,96 |
67,36 |
68,64 |
67,12 |
66,96 |
69,04 |
66,00 |
66,00 |
64,88 |
65,84 |
67,52 |
65,68 |
70,00 |
70,80 |
66,32 |
67,40 |
66,08 |
69,76 |
68,01 |
65,76 |
69,20 |
65,60 |
66,72 |
67,44 |
67,72 |
68,72 |
64,00 |
66,32 |
68,21 |
70,96 |
67,76 |
66,88 |
69,12 |
65,84 |
64,88 |
69,46 |
68,48 |
65,04 |
70,00 |
70,16 |
68,72 |
67,04 |
69,36 |
66,48 |
68,20 |
64,72 |
70,40 |
67,76 |
69,28 |
71,20 |
67,90 |
66,80 |
70,24 |
69,15 |
67,68 |
69,36 |
67.46 |
65,48 |
66,98 |
71,40 |
68,15 |
68,88 |
65,26 |
64,71 |
68,36 |
67,13 |
66,18 |
68,19 |
67,05 |
68,90 |
68,72 |
69,21 |
68,14 |
66,99 |
64,44 |
68,05 |
69,40 |
70,01 |
68,76 |
67,70 |
70,00 |
71,32 |
70,46 |
Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану.
Построить вариационный ряд.
Найти точечные оценки математического ожидания (генеральной средней ) и дисперсиислучайной величины ( признака).
Построить гистограмму относительных частот.
На том же чертеже построить кривую нормального распределения и провести анализ соответствия выборочных данных нормальному закону распределения случайной величины Х.