Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Удмуртский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.doc

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

2.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Решение типовых примеров контрольная работа №1

1.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Первое уравнение умножается на (-2) и прибавляется ко второму уравнению, затем первое уравнение умножается на (-3) и прибавляется к третьему. Таким образом, неизвестноех исключается из двух последних уравнений. Эти преобразования лучше показать на расширенной матрице

Вычтя во второй матрице из третьей строки удвоенную вторую, мы исключаем неизвестное у из третьего уравнения. После таких преобразований получается система

Из третьего уравнение легко находится . Затем из второго уравнения получаем. Наконец, из третьего уравнения получаем.

Нетрудно проверить, что совокупность ,,является решением данной системы.

2. Определить тип кривой , найти ее параметры; определить угловой коэффициент прямой . Найти точки пересечения данных линий и сделать чертеж.

Решение.Приведем уравнение кривой к каноническому виду , разделив на 225. Получим уравнение эллипса .Его большая полуось, малая полуось. Центр совпадает с началом координат.

Уравнение прямой имеет вид «в отрезках», что удобно для построения. Для нахождения углового коэффициента прямой приведем ее к виду, выразимучерезх:.

Угловой коэффициент .

Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему

Возведем второе уравнение в квадрат

и подставим в первое уравнение:

Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.

–5 0 5 х

-3

3.Даны координаты вершин пирамидыАВСD:

Требуется:

1) записать векторы в системе орти найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и;

3) найти проекцию вектора на вектор;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение ребра АС;

7) составить уравнение грани АВС.

Решение.

1) Произвольный вектор представляется в системе ортпо формуле

где – координаты вектора. Если заданы точки,, то для вектора

то есть

Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:

;

Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:

Модули найденных векторов

;

2) Известна формула

где – скалярное произведение векторови, которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3) Известно, что

то есть в нашем случае

4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

В нашем примере , причем

Таким образом, (кв. ед.).

5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

У нас , где

то есть (куб. ед.).

6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки иимеет вид:

Подставив координаты точек АиС, получим

то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:

или.

7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,,можно записать в виде

Подставляя в него координаты точек А,В,С, получим

4. Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х= 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х= 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямаях= 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х		–2	(–2; 4)	4	(4; 10)	10
	+	+	–	не сущ.	–	0	+
		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х		4
	–	не сущ.	+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оув точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

-4 4х

5.Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденныеизобразить на комплексной плоскости; в виде векторов и записать в показательной и тригонометрической формах.

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Для этого вычислим главный определитель системыи определители, учитывая, что– комплексное число, где.

Находим :

(т.к.);

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

0,5

-2 0 3,5

-2

Найдем модуль и аргументкомплексных чисел(или;в 1 и 4 четвертях;во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).