Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика.doc
Скачиваний:
40
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
2.84 Mб
Скачать

Решение типовых примеров контрольная работа №1

1.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Первое уравнение умножается на (-2) и прибавляется ко второму уравнению, затем первое уравнение умножается на (-3) и прибавляется к третьему. Таким образом, неизвестноех исключается из двух последних уравнений. Эти преобразования лучше показать на расширенной матрице

.

Вычтя во второй матрице из третьей строки удвоенную вторую, мы исключаем неизвестное у из третьего уравнения. После таких преобразований получается система

Из третьего уравнение легко находится . Затем из второго уравнения получаем. Наконец, из третьего уравнения получаем.

Нетрудно проверить, что совокупность ,,является решением данной системы.

2. Определить тип кривой , найти ее параметры; определить угловой коэффициент прямой . Найти точки пересечения данных линий и сделать чертеж.

Решение.Приведем уравнение кривой к каноническому виду , разделив на 225. Получим уравнение эллипса .Его большая полуось, малая полуось. Центр совпадает с началом координат.

Уравнение прямой имеет вид «в отрезках», что удобно для построения. Для нахождения углового коэффициента прямой приведем ее к виду, выразимучерезх:.

Угловой коэффициент .

Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему

Возведем второе уравнение в квадрат

и подставим в первое уравнение:

Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.

у

3

–5 0 5 х

-3

3.Даны координаты вершин пирамидыАВСD:

Требуется:

1) записать векторы в системе орти найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и;

3) найти проекцию вектора на вектор;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение ребра АС;

7) составить уравнение грани АВС.

Решение.

1) Произвольный вектор представляется в системе ортпо формуле

,

где – координаты вектора. Если заданы точки,, то для вектора

,

то есть

.

Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:

;

;

.

Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:

.

Модули найденных векторов

;

;

.

2) Известна формула

,

где – скалярное произведение векторови, которое можно вычислить следующим образом:

.

У нас

,

то есть .

3) Известно, что

,

то есть в нашем случае

.

4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

,

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причем

.

Таким образом, (кв. ед.).

5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле

,

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас , где

,

то есть (куб. ед.).

6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки иимеет вид:

.

Подставив координаты точек АиС, получим

,

то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:

или.

7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,,можно записать в виде

.

Подставляя в него координаты точек А,В,С, получим

4. Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х= 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х= 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямаях= 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х

–2

(–2; 4)

4

(4; 10)

10

+

+

не сущ.

0

+

max

min

.

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х

4

не сущ.

+


5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оув точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

у

20

4

-4 4х

5.Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденныеизобразить на комплексной плоскости; в виде векторов и записать в показательной и тригонометрической формах.

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Для этого вычислим главный определитель системыи определители, учитывая, что– комплексное число, где.

Находим :

(т.к.);

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

у

0,5

х

-2 0 3,5

-2

Найдем модуль и аргументкомплексных чисел(или;в 1 и 4 четвертях;во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).

Число принадлежит 3 четверти:

(аргумент);

(модуль).

Число принадлежит 1 четверти:

;

Запишем числа в показательнойи тригонометрическойформах:

6. а) Вычислить площадь фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осьюОх.

б)Найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг осиОх.

Решение.

а) Найдём точки пересечения параболы с прямой. Для этого приравняем правые части уравнений.

У нас , отсюда возникает квадратное уравнение. Решим его:

,

Первому квадранту соответствует корень .

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение, откуда.

у

14

х

0 1

, где

,

.

В результате .

б) Тело вращения ограничено приповерхностью, образованной вращением параболывокруг осиОх, а при– вращением прямой.

Объем ищем по формуле

.

.

А - это объём конуса, радиус которого равен. Высота конуса равна.

Воспользуемся формулой объема конуса: .

В целом.