14

17.1 Маг­ни­то­ста­ти­ка маг­не­ти­ков Ес­ли и не рас­сма­т­ри­вать сверх­про­вод­ни­ки, то ста­ци­о­нар­ное маг­нит­ное по­ле не ин­ду­ци­ру­ет ток про­во­ди­мо­сти в сре­дах, по­э­то­му урав­не­ния (1.29) и (1.31) для маг­не­ти­ков при­ни­ма­ют вид: div B = 0, (5.1) rot H = 4j_e/c. (5.2) Урав­не­ние (5.1) то­ж­де­ст­вен­но удо­в­ле­тво­ря­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем B = rot A. (5.3) Урав­не­ния (5.1) и (5.2) сле­ду­ет до­по­л­нить ма­те­ри­аль­ным урав­не­ни­ем ви­да (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)). Для ли­ней­ной не­фер­ро­маг­нит­ной сре­ды В = Н или М = Н. Учи­ты­вая со­от­но­ше­ние (5.3), урав­не­ние (5.2) при этом мо­ж­но за­пи­сать в ви­де . (5.4) Ес­ли вы­брать ка­ли­б­ров­ку div A = 0, то для про­стран­с­т­вен­но-од­но­род­но­го маг­не­ти­ка урав­не­ние (5.4) уп­ро­ща­ет­ся . (5.5) Ре­ше­ние урав­не­ния (5.5) име­ет вид , (5.6) где ин­тег­ри­ро­ва­ние ве­дет­ся по всей об­ла­с­ти про­стран­с­т­ва, в ко­то­рой су­ще­ст­ву­ют сто­рон­ние то­ки.

17.2 Урав­не­ния (5.4) – (5.9) по­лу­че­ны для од­но­род­но­го маг­не­ти­ка. Фор­маль­но про­стран­с­т­вен­но-од­но­род­ным мо­жет быть толь­ко не­ог­ра­ни­чен­ный маг­не­тик. При на­ли­чии ре­з­кой гра­ни­цы раз­де­ла сред из со­от­но­ше­ний (5.1) и (5.2) по ана­ло­гии с вы­во­дом со­от­но­ше­ний (1.33) и (1.34) лег­ко мо­гут быть по­лу­че­ны гра­ни­ч­ные ус­ло­вия B_1n = B_2n, H_1 – H_2 = 4i_e/c, (5.10) где i_e – по­верх­но­ст­ная плот­ность сто­рон­них то­ков. Ес­ли ре­ша­ет­ся урав­не­ние (5.4), то при на­ли­чии ре­з­кой гра­ни­цы сле­ду­ет сфор­му­ли­ро­вать гра­ни­ч­ное ус­ло­вие для ве­к­тор­но­го по­тен­ци­а­ла А. Осо­бен­но­сти, ко­то­рые мог­ли бы воз­ни­к­нуть при на­ли­чии по­верх­но­ст­но­го то­ка, мо­ж­но оце­нить, за­пи­сав их вклад A_S в ве­к­тор­ный по­тен­ци­ал А в ви­де . (5.11) Ин­тег­ри­ро­ва­ние здесь ве­дет­ся по всей по­верх­но­сти раз­де­ла. Ра­зо­бьем об­ласть ин­тег­ри­ро­ва­ния в со­от­но­ше­нии (5.11) на две ча­с­ти. Од­на из них бу­дет на­хо­дить­ся вну­т­ри ок­ру­ж­но­сти ма­ло­го ра­ди­у­са, опи­сан­ной во­к­руг то­ч­ки, в ко­то­рой ищет­ся A_S, а дру­гая – вне этой ок­ру­ж­но­сти. По­с­лед­няя об­ласть не мо­жет при­во­дить к осо­бен­но­стям в по­дын­те­граль­ном вы­ра­же­нии фор­му­лы (5.11). Вклад пер­вой об­ла­с­ти мо­ж­но оце­нить, вос­поль­зо­вав­шись ин­те­граль­ной те­о­ре­мой о сре­д­нем , где R – ра­ди­ус вы­бран­ной ок­ру­ж­но­сти.

18.1 Тер­мо­ди­на­ми­ка маг­не­ти­ков Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние , (1.47) для плот­но­сти энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля с уче­том фор­мул div B = 0, (5.1) и B = rot A. (5.3) для слу­чая ста­ци­о­нар­но­го маг­нит­но­го по­ля в од­но­род­ном маг­не­ти­ке: . Ес­ли маг­нит­ное по­ле со­з­да­ет­ся ог­ра­ни­чен­ной си­с­те­мой про­вод­ни­ков, то в си­лу со­от­но­ше­ния , (5.9) по­ле Н на бес­ко­не­ч­но­сти стре­мит­ся к ну­лю, по­э­то­му ин­те­грал по все­му про­стран­с­т­ву от ди­вер­ген­ции ра­вен ну­лю. С дру­гой сто­ро­ны, вне про­вод­ни­ков плот­ность то­ка рав­на ну­лю. По­э­то­му вы­ра­же­ние для по­л­ной энер­гии маг­нит­но­го по­ля мо­ж­но за­пи­сать в ви­де ,

18.2. Та­ким об­ра­зом, при про­те­ка­нии элек­т­ри­че­с­ко­го то­ка по про­во­дам в ка­че­ст­ве замк­ну­той си­с­те­мы рас­сма­т­ри­ва­ет­ся не толь­ко маг­нит­ное по­ле, но и его ис­то­ч­ни­ки. Энер­гия та­кой си­с­те­мы по­лу­ча­ет­ся до­ба­в­ле­ни­ем к вы­ра­же­нию (5.18) той пе­ре­мен­ной ча­с­ти энер­гии этих ис­то­ч­ни­ков, ко­то­рая идет на под­дер­жа­ние по­сто­ян­ст­ва то­ков. Ес­ли же за­ря­ды пе­ре­ме­ща­ют­ся без со­про­ти­в­ле­ния, как это име­ет ме­с­то в сверх­про­вод­ни­ках и в ва­ку­у­ме, то про­те­ка­ние то­ка не со­про­во­ж­да­ет­ся дис­си­па­ци­ей энер­гии. По­э­то­му си­с­те­мой, маг­нит­ная энер­гия ко­то­рой да­ет­ся вы­ра­же­ни­ем (5.18) яв­ля­ет­ся маг­нит­ное по­ле плюс со­во­куп­ность за­ря­дов, дви­жу­щих­ся без со­про­ти­в­ле­ния. Маг­нит­ное по­ле не­по­сред­ст­вен­но не про­из­во­дит ра­бо­ту над сре­дой, по­сколь­ку си­ла Ло­рен­ца все­гда пер­пен­ди­ку­ляр­на ско­ро­сти за­ря­жен­ных ча­с­тиц сре­ды. Но из­ме­не­ние маг­нит­но­го по­ля dB ин­ду­ци­ру­ет в сре­де элек­т­ри­че­с­кое по­ле, ко­то­рое за вре­мя dt про­из­во­дит над сре­дой ра­бо­ту . Здесь ин­тег­ри­ро­ва­ние вы­пол­ня­ет­ся по все­му про­стран­с­т­ву и пред­по­ла­га­ет­ся, что ин­ду­ци­ро­ван­ное из­ме­не­ни­ем маг­нит­но­го по­ля элек­т­ри­че­с­кое по­ле на бес­ко­не­ч­но­сти за­ту­ха­ет. За­пи­шем те­перь вто­рой за­кон тер­мо­ди­на­ми­ки в фор­ме . Та­ким об­ра­зом, из­ме­не­ние плот­но

18.3 Ко­эф­фи­ци­ент R на­зы­ва­ет­ся по­сто­ян­ной Хол­ла, он мо­жет быть как по­ло­жи­тель­ным, так и от­ри­ца­тель­ным. По­с­лед­нее сла­га­е­мое в урав­не­нии (5.24) опи­сы­ва­ет вли­я­ние маг­нит­но­го по­ля на тер­мо­эдс, это – эф­фект Нер­н­ста. Сла­га­е­мое NTH  j в урав­не­нии (5.25) опи­сы­ва­ет эф­фект Эт­тин­с­га­у­зе­на – вли­я­ние маг­нит­но­го по­ля на эф­фект Пель­тье. На­ко­нец, сла­га­е­мое LH  grad T в урав­не­нии (5.25) опи­сы­ва­ет вли­я­ние маг­нит­но­го по­ля на эф­фект те­п­ло­про­вод­ность, ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся эф­фе­к­том Ри­ги – Ле­дю­ка. Сле­ду­ет от­ме­тить, что вли­я­ние маг­нит­но­го по­ля на ки­не­ти­че­с­кие ко­эф­фи­ци­ен­ты в урав­не­ни­ях (5.24) и (5.25) уч­те­но фор­маль­но. Фи­зи­че­с­кие про­цес­сы, обу­сло­в­ли­ва­ю­щие эф­фе­к­ты Хол­ла, Нер­н­ста, Эт­тин­с­га­у­зе­на и Ри­ги – Ле­дю­ка, рав­но как и связь ко­эф­фи­ци­ен­тов R, N и L с па­ра­ме­т­ра­ми сре­ды изу­ча­ет­ся в кур­се "Фи­зи­ка твер­до­го те­ла".

19. 1Фер­ро­маг­не­ти­ки Яв­ле­ние фер­ро­маг­не­тиз­ма за­клю­ча­ет­ся в том, что при от­сут­ст­вии внеш­не­го маг­нит­но­го по­ля су­ще­ст­ву­ет от­ли­ч­ная от ну­ля плот­ность спон­тан­но­го маг­нит­но­го мо­мен­та М₀. По­э­то­му при на­ли­чии маг­нит­но­го по­ля связь на­маг­ни­чен­но­сти с на­пря­жен­но­стью по­ля для фер­ро­маг­не­ти­ков име­ет вид М_i = М_0i + _ij Н_j, (5.26) где _ij – тен­зор маг­нит­ной вос­при­им­чи­во­сти. Как и в сег­не­то­э­лек­т­ри­ках, фер­ро­маг­нит­ное со­сто­я­ние ве­ще­ст­ва су­ще­ст­ву­ет при тем­пе­ра­ту­рах ни­же тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри, а пе­ре­ход в не­фер­ро­маг­нит­ное со­сто­я­ние яв­ля­ет­ся фа­зо­вым пе­ре­хо­дом II ро­да. Тем­пе­ра­тур­ные за­ви­си­мо­сти вос­при­им­чи­во­сти и спон­тан­но­го маг­нит­но­го мо­мен­та опи­сы­ва­ют­ся со­от­но­ше­ни­я­ми, по­доб­ны­ми урав­не­ни­ям (4.57) и (4.60): . (5.27) Раз­ли­чия в яв­ле­ни­ях фер­ро­маг­не­тиз­ма и сег­не­то­э­лек­т­ри­че­ст­ва свя­за­ны с су­ще­ст­вен­ным раз­ли­чи­ем ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких ме­ха­низ­мов воз­ни­к­но­ве­ния этих яв­ле­ний. В твер­дом те­ле ка­ж­дый атом или ион, на­хо­дя­щий­ся в уз­ле кри­стал­ли­че­с­кой ре­шет­ки, об­ла­да­ет маг­нит­ным мо­мен­том , обу­сло­в­лен­ным спи­ном элек­т­ро­на. Воз­мо­ж­ны так­же об­мен­ные си­лы, оп­ре­де­ля­е­мые об­мен­ным ин­те­гра­лом, ори­ен­ти­ру­ю­щие эти мо­мен­ты па­рал­лель­но друг дру­гу. Ес­ли об­мен­ный ин­те­грал по­ло­жи­те­лен, то со­сто­я­ние с па­рал­лель­ны­ми спи­на­ми яв­ля­ет­ся энер­ге­ти­че­с­ки бо­лее вы­год­ным. В ре­аль­ном фер­ро­маг­не­ти­ке ато­мы или ио­ны, из ко­то­рых по­стро­е­на кри­стал­ли­че­с­кая ре­шет­ка, – это мно­го­элек­т­рон­ные си­с­те­мы. В твер­дом те­ле элек­т­ро­ны внеш­них обо­ло­чек ста­но­вят­ся не­ло­ка­ли­зо­ван­ны­ми элек­т­ро­на­ми про­во­ди­мо­сти. Для фор­ми­ро­ва­ния фер­ро­маг­нит­но­го со­сто­я­ния не­об­хо­ди­мы ло­ка­ли­зо­ван­ные маг­нит­ные мо­мен­ты, то есть элек­т­ро­ны во вну­т­рен­них не­за­пол­нен­ных обо­ло­ч­ках с ор­би­таль­ным мо­мен­том не ме­нее 2.

19.2, (5.30) Из­ме­не­ние на­маг­ни­чен­но­сти фер­ро­маг­не­ти­ка в маг­нит­ном по­ле при­во­дит к его де­фор­ми­ро­ва­нию. Это яв­ле­ние на­зы­ва­ет­ся маг­ни­то­ст­рик­ци­ей и по сво­ему ха­ра­к­те­ру ана­ло­ги­ч­но элек­т­ро­стрик­ции в пье­зо­э­лек­т­ри­ках и жид­ко­стях. Сверх­про­вод­ни­ки Сверх­про­вод­ни­ки яв­ля­ют­ся при­ме­ром то­го, как ра­ди­каль­но мо­гут из­ме­нить­ся ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния элек­т­ро­ди­на­ми­ки вслед­ст­вие вза­и­мо­дей­ст­вия ме­ж­ду ча­с­ти­ца­ми сре­ды. Ос­нов­ные элек­т­ро­ди­на­ми­че­с­кие свой­ст­ва сверх­про­вод­ни­ка за­клю­ча­ют­ся в том, что его про­во­ди­мость на по­сто­ян­ном то­ке бес­ко­не­ч­на, а ве­к­тор маг­нит­ной ин­дук­ции В в объ­е­ме сверх­про­вод­ни­ка об­ра­ща­ет­ся в нуль (эф­фект Мейс­сне­ра – Ок­сен­фель­да). От­ме­тим, что для иде­аль­но­го про­вод­ни­ка из ус­ло­вия Е = 0 и урав­не­ния Мак­свел­ла (1.28) сле­ду­ет, что В = const. То, что для сверх­про­вод­ни­ка маг­нит­ная ин­дук­ция не про­с­то кон­стан­та, а кон­стан­та, рав­ная ну­лю, оз­на­ча­ет, что при пе­ре­хо­де в сверх­про­во­дя­щее со­сто­я­ние маг­нит­ное по­ле вы­тал­ки­ва­ет­ся из сверх­про­вод­ни­ка, то есть, сверх­про­вод­ник прин­ци­пи­аль­но от­ли­ча­ет­ся от иде­аль­но­го про­вод­ни­ка. Рас­смо­т­рим дви­же­ние элек­т­ро­нов в сверх­про­вод­ни­ке как по­ток сверх­те­ку­чей жид­ко­сти, то есть, без тре­ния толь­ко под дей­ст­ви­ем элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля. Вто­рой за­кон Нью­то­на для та­ко­го элек­т­ро­на со­в­ме­ст­но с урав­не­ни­ем

19.3. (5.35) В ста­ци­о­нар­ном рав­но­ве­с­ном со­сто­я­нии рас­пре­де­ле­ние маг­нит­но­го по­ля В дол­ж­но ми­ни­ми­зи­ро­вать вну­т­рен­нюю сверх­про­вод­ни­ка. Для оп­ре­де­ле­ния это­го рас­пре­де­ле­ния при­рав­ня­ем ну­лю ва­ри­а­цию W функ­ци­о­на­ла (5.34) при про­из­воль­ной ва­ри­а­ции по­ля В. На по­верх­но­сти сверх­про­вод­ни­ка зна­че­ние по­ля за­да­но гра­ни­ч­ны­ми ус­ло­ви­я­ми, то есть В_S = 0, по­э­то­му с уче­том фор­му­лы (5.32) по­лу­ча­ем: В си­лу про­из­воль­но­сти ва­ри­а­ции по­ля В из ра­вен­ст­ва ну­лю ва­ри­а­ции энер­гии сле­ду­ет, что в ста­ци­о­нар­ном рав­но­ве­с­ном со­сто­я­нии w = 0. Но из урав­не­ния (5.34) сле­ду­ет, что ес­ли в ка­кой-то мо­мент вре­ме­ни w = 0, то и про­из­вод­ная w/t в этот мо­мент то­же об­ра­ща­ет­ся в нуль и со­хра­ня­ет­ся зна­че­ние w = 0 во все по­с­ле­ду­ю­щие мо­мен­ты вре­ме­ни.

20.1 Вза­и­мо­дей­ст­вие сво­бод­ных за­ря­дов с элек­т­ро­маг­нит­ным по­лем Плаз­ма как по­л­но­стью ио­ни­зи­ро­ван­ный газ мо­жет рас­сма­т­ри­вать­ся в пер­вом при­бли­же­нии как си­с­те­ма сво­бод­ных за­ря­дов (элек­т­ро­нов и ио­нов), вза­и­мо­дей­ст­ву­ю­щих с элек­т­ро­маг­нит­ным по­лем. Вза­и­мо­дей­ст­вие за­ря­дов ме­ж­ду со­бой мо­ж­но рас­сма­т­ри­вать как уп­ру­гие столк­но­ве­ния. Дви­же­ние за­ря­жен­ной ча­с­ти­цы в элек­т­ро­маг­нит­ном по­ле в пре­не­б­ре­же­нии ре­ля­ти­ви­ст­ски­ми эф­фе­к­та­ми опи­сы­ва­ет­ся клас­си­че­с­ким урав­не­ни­ем . (1.8), где столк­но­ве­ния уч­те­ны сто­рон­ней си­лой f_e. Для сво­бод­ных элек­т­ро­нов это урав­не­ние при­ни­ма­ет вид: . (6.1) Рас­смо­т­рим дви­же­ние сво­бод­но­го элек­т­ро­на в по­ле сто­я­чей во­л­ны. Пусть E(r, t) = E(r)cos(t), B(r, t) = B(r)cos(t). Бу­дем ре­шать урав­не­ние (6.1) ме­то­дом по­с­ле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний по ма­ло­му па­ра­ме­т­ру v/c. В ну­ле­вом при­бли­же­нии пре­не­б­ре­га­ем си­лой Ло­рен­ца и за­ви­си­мо­стью элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля от ко­ор­ди­на­ты. То­г­да урав­не­ние (6.1) при­ни­ма­ет вид , со­от­вет­ст­вен­но ,

20.2 . Из это­го урав­не­ния вид­но, что на элек­т­ро­ны в сре­д­нем дей­ст­ву­ет си­ла, ко­то­рая вы­тал­ки­ва­ет их из об­ла­с­ти силь­но­го по­ля и при­во­дит к груп­пи­ров­ке их в об­ла­с­ти уз­лов элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля. Рас­смо­т­рим те­перь дви­же­ние элек­т­ро­на в по­ле бе­гу­щей вдоль оси z пло­ской во­л­ны E(r, t) = Ecos(t – kz)e_x, B(r, t) = Ecos(t – kz)e_y. Здесь e_x, e_y – еди­ни­ч­ные ве­к­то­ры по­ля­ри­за­ции по­лей вдоль осей х и у и уч­те­но, что в пло­ской бе­гу­щей во­л­не в га­ус­со­вой си­с­те­ме еди­ниц ам­п­ли­ту­ды элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­лей рав­ны. Урав­не­ния (6.1) дви­же­ния элек­т­ро­на в ко­ор­ди­нат­ной фор­ме те­перь при­мет вид: . В ну­ле­вом при­бли­же­нии ус­ко­ре­ние элек­т­ро­на на­пра­в­ле­но вдоль оси х, он со­вер­ша­ет ко­ле­ба­ния, по­ля­ри­зо­ван­ные вдоль оси х, и из­лу­ча­ет с ча­с­то­той  и ин­тен­сив­но­стью , где d = er – клас­си­че­с­кий ди­поль­ный мо­мент элек­т­ро­на. Та­кое из­лу­че­ние с ча­с­то­той па­да­ю­щей во­л­ны пред­ста­в­ля­ет со­бой клас­си­че­с­кое том­п­со­нов­ское рас­се­я­ние све­та на сво­бод­ном элек­т­ро­не, его се­че­ние рав­но

20.3 Сво­бод­ный элек­т­рон мо­жет рас­се­и­вать элек­т­ро­маг­нит­ное по­ле (фо­то­ны), но не мо­жет по­гло­щать или ис­пу­с­кать кван­ты све­та. Фи­зи­че­с­ки это свя­за­но с тем, что за­ко­ны со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са E = E + ħ, p = p + ħk мо­гут вы­пол­нять­ся од­но­вре­мен­но лишь при v > /k. Од­на­ко фа­зо­вая ско­рость элек­т­ро­маг­нит­ной во­л­ны в ва­ку­у­ме /k = с все­гда боль­ше ско­ро­сти элек­т­ро­на. Толь­ко при дви­же­нии элек­т­ро­на в ве­ще­ст­ве со ско­ро­стью, пре­вы­ша­ю­щей фа­зо­вую ско­рость све­та, элек­т­рон мо­жет из­лу­чать и по­гло­щать свет (эф­фект Ва­ви­ло­ва – Че­рен­ко­ва При на­ли­чии по­ля име­ет ме­с­то вы­ну­ж­ден­ное, а не спон­тан­ное тор­моз­ное из­лу­че­ние. Кро­ме то­го, про­ис­хо­дит и об­рат­ный про­цесс – по­гло­ще­ние, ве­ро­ят­ность ко­то­ро­го свя­за­на с ве­ро­ят­но­стью пря­мо­го про­цес­са. Сум­мар­ный ре­зуль­тат этих про­цес­сов – по­гло­ще­ние элек­т­ро­маг­нит­ной энер­гии элек­т­ро­на­ми. В плаз­ме элек­т­ро­ны мо­гут стал­ки­вать­ся как с дру­ги­ми элек­т­ро­на­ми, так и с ио­на­ми и ней­т­раль­ны­ми ато­ма­ми. Од­на­ко со­уда­ре­ния элек­т­ро­нов ме­ж­ду со­бой пра­к­ти­че­с­ки не да­ют вкла­да в по­гло­ще­ние, так как не при­во­дят к из­ме­не­нию сум­мар­но­го им­пуль­са элек­т­ро­нов. Вме­сте с тем не ме­ня­ет­ся и пол­ный ток в си­с­те­ме j, от­ли­ча­ю­щий­ся от по­л­но­го им­пуль­са лишь уни­вер­саль­ным мно­жи­те­лем e/m. Но то­г­да ус­ред­нен­ная за пе­ри­од ра­бо­та по­ля над си­с­те­мой рав­на ну­лю, что и оз­на­ча­ет от­сут­ст­вие по­гло­ще­ния или из­лу­че­ния. Столк­но­ве­ния же элек­т­ро­нов с ио­на­ми и ней­т­раль­ны­ми ато­ма­ми (мо­ле­ку­ла­ми) из-за раз­ли­чия их масс при­во­дят к из­ме­не­нию по­л­но­го то­ка и яв­ля­ют­ся ос­нов­ной при­чи­ной по­гло­ще­ния. Рас­смо­т­рим про­стей­шую мо­дель, ко­г­да про­ис­хо­дят уп­ру­гие столк­но­ве­ния элек­т­ро­нов с ча­с­ти­ца­ми, мас­сы ко­то­рых M мно­го боль­ше мас­сы элек­т­ро­на m, за вре­мя  << 2/, то есть пра­к­ти­че­с­ки мгно­вен­но.

де­ба­ев­ский ра­ди­ус эк­ра­ни­ро­ва­ния. Под­ста­вим те­перь вы­ра­же­ние (6.17) в фор­му­лу (6.10) и по­с­ле не­сло­ж­ных, но гро­мозд­ких вы­кла­док по­лу­чим . (6.19) Из фор­му­лы (6.19) сле­ду­ет, что по­тен­ци­ал то­че­ч­но­го за­ря­да е в плаз­ме не яв­ля­ет­ся ос­лаб­лен­ным в не­ко­то­рое чи­с­ло раз ку­ло­нов­ским по­тен­ци­а­лом. Ди­с­пер­ги­ру­ю­щая сре­да ме­ня­ет сам вид функ­ции (r). Вбли­зи от за­ря­да, ко­г­да |r – r₀| < r_D, по­ле в плаз­ме сов­па­да­ет с по­лем в ва­ку­у­ме. При |r – r₀| > r_D по­ле экс­по­нен­ци­аль­но па­да­ет. Со­от­вет­ст­вен­но, экс­по­нен­ци­аль­но па­да­ет и вза­и­мо­дей­ст­вие вы­де­лен­но­го за­ря­да с ча­с­ти­ца­ми сре­ды, уда­лен­ны­ми от не­го боль­ше, чем на ра­ди­ус де­ба­ев­ско­го эк­ра­ни­ро­ва­ния.

По­сколь­ку в од­но­род­ной изо­троп­ной плаз­ме в от­сут­ст­вии элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля пол­ный ток ра­вен ну­лю, для плот­но­сти ин­ду­ци­ро­ван­но­го то­ка с уче­том фор­му­лы (6.12) спра­ве­д­ли­во вы­ра­же­ние , (6.13) то есть, тен­зор про­во­ди­мо­сти плаз­мы име­ет вид . (6.14) По­сколь­ку в плаз­ме нет свя­зан­ных за­ря­дов и по­ля­ри­за­ции, для обоб­щен­ной про­ни­ца­е­мо­сти с уче­том фор­му­лы (6.14) по­лу­ча­ем . (6.15) Здесь уч­те­но, что f₀/p_j = (f₀/E) E/p_j = v_jf₀/E, где E – энер­гия, яв­ля­ю­ща­я­ся ар­гу­мен­том рав­но­ве­с­ной функ­ции рас­пре­де­ле­ния (рас­пре­де­ле­ния Больц­ма­на). С дру­гой сто­ро­ны, ум­но­жая урав­не­ние . (3.31) на k_ik_j, по­лу­ча­ем . По­э­то­му из урав­не­ния (6.15) сле­ду­ет,

. (6.10) По­тен­ци­ал (6.10) не за­ви­сит от вре­ме­ни, по­сколь­ку за­ряд не­под­ви­жен. Ес­ли за­ряд на­хо­дит­ся не в плаз­ме, а в ва­ку­у­ме, то дол­жен по­лу­чить­ся ку­ло­нов­ский по­тен­ци­ал, дей­ст­ви­тель­но, . На­ли­чие же в зна­ме­на­те­ле по­дын­те­граль­но­го вы­ра­же­ния за­ви­ся­щей от во­л­но­во­го ве­к­то­ра функ­ции оз­на­ча­ет, что за­ви­си­мость по­тен­ци­а­ла от ко­ор­ди­нат бу­дет от­ли­чать­ся от ха­ра­к­тер­ной для ва­ку­у­ма функ­ции e/|r – r₀|. Это от­ли­чие це­ли­ком обу­сло­в­ле­но про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­си­ей. Про­ана­ли­зи­ру­ем вид функ­ции для од­но­род­ной изо­троп­ной бес­столк­но­ви­тель­ной плаз­мы, со­сто­я­щей из сво­бод­но пе­ре­дви­га­ю­щих­ся за­ря­жен­ных ча­с­тиц, ко­г­да дли­на сво­бод­но­го про­бе­га мно­го боль­ше рас­сто­я­ния, на ко­то­ром су­ще­ст­вен­но ме­ня­ет­ся по­ле. Ди­на­ми­ка плаз­мы как си­с­те­мы вза­и­мо­дей­ст­ву­ю­щих ча­с­тиц мо­жет быть опи­са­на функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния f(p, r, t),

. (6.21) Рас­счи­та­ем про­доль­ную и по­пе­ре­ч­ную про­ни­ца­е­мо­сти од­но­род­ной ста­ци­о­нар­ной плаз­мы, рав­но­ве­с­ная функ­ция рас­пре­де­ле­ния ко­то­рой име­ет вид рас­пре­де­ле­ния Мак­свел­ла . (6.22) Здесь k_B – по­сто­ян­ная Больц­ма­на, Т – тем­пе­ра­ту­ра элек­т­рон­но­го га­за, n – плот­ность элек­т­ро­нов, m – мас­са элек­т­ро­на. Учи­ты­вая, что E = p²/(2m), v = p/m, под­ста­вим в фор­му­лы (6.20) и (6.21) со­от­но­ше­ние (6.22), на­пра­вим ось х вдоль ве­к­то­ра k и обо­з­на­чим . Вы­пол­няя ин­тег­ри­ро­ва­ние по p_y и p_z, по­лу­чим: , (6.23) . (6.24) Здесь обо­з­на­че­но

урав­не­ние при­ни­ма­ет вид ди­с­пер­си­он­но­го урав­не­ния . (6.47) Как вид­но из ди­с­пер­си­он­но­го урав­не­ния (6.47), по­лу­чен­ное ре­ше­ние опи­сы­ва­ет мо­ди­фи­ци­ро­ван­ные за счет маг­нит­но­го по­ля про­доль­ные зву­ко­вые во­л­ны, ско­рость ко­то­рых рас­тет с ро­с­том по­ля. Ес­ли во­л­на рас­про­стра­ня­ет­ся вдоль маг­нит­но­го по­ля и k || v_a, то урав­не­ние (6.46) при­ни­ма­ет вид . (6.48) Здесь воз­мо­ж­ны два слу­чая. Ес­ли v || v_a, то урав­не­ние (6.48) опи­сы­ва­ет обы­к­но­вен­ную зву­ко­вую во­л­ну с по­сто­ян­ной ско­ро­стью s и за­ко­ном ди­с­пер­сии  = sk. Ес­ли vv_a = 0, то урав­не­ние (6.48) пре­вра­ща­ет­ся в про­с­тое со­от­но­ше­ние  = v_ak, опи­сы­ва­ю­щее аль­ве­нов­скую во­л­ну. Эта во­л­на так же, как и зву­ко­вая име­ет ли­ней­ную ди­с­пер­сию, но ее ско­рость про­пор­ци­о­наль­на маг­нит­но­му по­лю. В пре­де­ле В₀ = 0 фа­зо­вая ско­рость, а с нею и ча­с­то­та  этой во­л­ны об­ра­ща­ет­ся в нуль

Раз­де­лив это урав­не­ние на  и пе­ре­груп­пи­ро­вав чле­ны, по­лу­чим . (6.41) Урав­не­ние (6.41) ана­ло­ги­ч­но урав­не­нию, опи­сы­ва­ю­ще­му ско­рость из­ме­не­ния ли­ней­но­го эле­мен­та жид­ко­сти, по­э­то­му оно опи­сы­ва­ет маг­нит­ное по­ле "вмо­ро­жен­ное" в ве­ще­ст­во и пе­ре­ме­ща­ю­ще­е­ся вме­сте с ним. Вы­ра­же­ние для элек­т­ро­маг­нит­ной си­лы F_э = [j  B]/c с уче­том ма­те­ри­аль­но­го урав­не­ния (6.37) мо­жет быть пре­об­ра­зо­ва­но к ви­ду F_э = [E  B]/c + [[v  B]  B]/c² = [E  B]/c – v_B²/c², где v_ – пер­пен­ди­ку­ляр­ная от­но­си­тель­но на­пра­в­ле­ния маг­нит­но­го по­ля ком­по­нен­та ско­ро­сти дви­же­ния сре­ды. Не­тру­д­но ви­деть, что все элек­т­ро­маг­нит­ные си­лы пер­пен­ди­ку­ляр­ны на­пра­в­ле­нию маг­нит­но­го по­ля, а си­ла, на­пра­в­лен­ная про­тив пер­пен­ди­ку­ляр­ной от­но­си­тель­но В ком­по­нен­те ско­ро­сти пе­ре­ме­ще­ния эле­мен­тов сре­ды иг­ра­ет роль си­лы вя­з­ко­го тре­ния. Си­ла маг­нит­ной вя­з­ко­сти F_т = – v_B²/c² (6.42) про­пор­ци­о­наль­на ква­д­ра­ту ин­дук­ции маг­нит­но­го по­ля и су­ще­ст­вен­но ска­зы­ва­ет­ся на ди­на­ми­ке хо­ро­шо про­во­дя­щей плаз­мы. В элек­т­ро­маг­нит­ной си­ле, вхо­дя­щей в пра­вую часть урав­не­ния На­вье – Сто­кса (6.35), мо­ж­но вы­де­лить еще од­но ва­ж­ное сла­га­е­мое. Вос­поль­зо­вав­шись вто­рым урав­не­ни­ем Мак­свел­ла (6.36), по­лу­чим F_э = – [B  rot B]/(4) = –(B²/(8)) + (B)B/(4). Пер­вое сла­га­е­мое в пра­вой ча­с­ти это­го со­от­но­ше­ния мо­жет быть объ­е­ди­не­но со сла­га­е­мым –р в пра­вой ча­с­ти урав­не­ния (6.35). Это зна­чит, что маг­нит­ное по­ле со­з­да­ет да­в­ле­ние р_м = B²/(8), (6.43) ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся маг­нит­ным да­в­ле­ни­ем, и ко­то­рое, на­ря­ду с обы­ч­ным ги­д­ро­ста­ти­че­с­ким да­в­ле­ни­ем, мо­жет быть при­чи­ной те­че­ния плаз­мы. Рас­смо­т­рим иде­аль­но про­во­дя­щую плаз­му с ну­ле­вой вя­з­ко­стью.

, (6.34) где n₀ = ₀/m – рав­но­ве­с­ная кон­цен­т­ра­ция ком­по­нен­ты плаз­мы. Из срав­не­ния фор­мул (6.34) и (6.27) вид­но, что по­пе­ре­ч­ная ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость вы­гля­дит так же, как и в слу­чае про­стей­шей мо­де­ли, в ко­то­рой все ча­с­ти­цы од­но­го сор­та дви­жут­ся с оди­на­ко­вой ско­ро­стью. При  < _pe по­лу­ча­ем < 0, то есть по­пе­ре­ч­ная во­л­на с ча­с­то­той мень­шей плаз­мен­ной ча­с­то­ты элек­т­ро­нов рас­про­стра­нять­ся в плаз­ме не мо­жет. Вкла­дом ио­нов в спектр по­пе­ре­ч­ных ко­ле­ба­ний из-за их инер­ци­он­но­сти мо­ж­но пре­не­б­речь. При опи­са­нии про­доль­ных ко­ле­ба­ний вкла­дом ио­нов, во­об­ще го­во­ря, пре­не­б­ре­гать нель­зя из-за на­ли­чия вто­ро­го сла­га­е­мо­го в зна­ме­на­те­ле вы­ра­же­ния для про­доль­ной обоб­щен­ной про­ни­ца­е­мо­сти. В этом слу­чае воз­мо­ж­ны три ти­па про­доль­ных ко­ле­ба­ний: вы­со­ко­ча­с­тот­ные ко­ле­ба­ния элек­т­рон­но­го га­за, в ко­то­рых ио­ны из-за сво­ей инер­ци­аль­но­сти не при­ни­ма­ют уча­стия; ион­но-зву­ко­вые ко­ле­ба­ния при ма­лых зна­че­ни­ях во­л­но­во­го ве­к­то­ра, ко­г­да элек­т­ро­ны ади­а­ба­ти­че­с­ки сле­ду­ют за ио­на­ми, и плаз­мен­ные ион­ные ко­ле­ба­ния, в ко­то­рых не при­ни­ма­ют уча­стия элек­т­ро­ны. Ес­ли в плаз­ме име­ет­ся по­сто­ян­ное внеш­нее маг­нит­ное по­ле, то оно вы­де­ля­ет не­ко­то­рое на­пра­в­ле­ние, и плаз­ма яв­ля­ет­ся не­изо­троп­ной. Кро­ме то­го, в пра­вой ча­с­ти урав­не­ния дви­же­ния (6.28) до­ба­в­ля­ет­ся си­ла Ло­рен­ца. Бу­дем счи­тать плаз­му элек­т­ри­че­с­ки ней­т­раль­ной и уч­тем си­лу тре­ния F_c, обу­сло­в­лен­ную столк­но­ве­ни­я­ми ча­с­тиц сре­ды.

Та­ки­ми ве­ли­чи­на­ми мо­гут быть, на­при­мер, плот­ность сре­ды  и да­в­ле­ние р. Ес­ли пре­не­б­речь тре­ни­ем ме­ж­ду раз­ли­ч­ны­ми ком­по­нен­та­ми плаз­мы, урав­не­ние дви­же­ния за­ря­дов ка­ж­до­го сор­та мо­ж­но за­пи­сать в ви­де dv/dt = –p + eE/m. (6.28) Это урав­не­ние сле­ду­ет до­по­л­нить урав­не­ни­ем не­пре­рыв­но­сти /t + div (v) = 0. (6.29) Вну­т­рен­нее со­сто­я­ние плаз­мы опи­сы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем со­сто­я­ния, в ка­че­ст­ве ко­то­ро­го мо­ж­но взять урав­не­ние со­сто­я­ния иде­аль­но­го га­за (Мен­де­ле­е­ва – Клай­пе­ро­на) p = k_BT/m. (6.30) Ес­ли рас­про­стра­не­ние волн в сре­де про­ис­хо­дит ади­а­ба­ти­че­с­ки, то p^– = const, (6.31) где  = c_P/c_V. Урав­не­ния (6.28) – (6.30) со­дер­жат не­из­ве­ст­ные v, р, T,  и Е, по­э­то­му со­в­ме­ст­но с ни­ми дол­ж­ны ре­шать­ся урав­не­ния Мак­свел­ла, оп­ре­де­ля­ю­щие элек­т­ри­че­с­кое по­ле Е. Ли­не­а­ри­зу­ем эти урав­не­ния, по­ла­гая Т = Т₀ + Т₁, р = р₀ + р₁ и  = ₀ + ₁. Пусть v₀ = 0 и Е₀ = 0, так что пе­ре­мен­ные Е и v – уже ве­ли­чи­ны пер­во­го по­ряд­ка. Бу­дем счи­тать рав­но­ве­с­ную си­с­те­му про­стран­с­т­вен­но-од­но­род­ной, сле­до­ва­тель­но, p₀ = T₀ = ₀ = 0. То­г­да из ади­а­ба­ти­че­с­ко­го урав­не­ния (6.31) по­лу­ча­ем р₁ = р₀₁/₀. Фу­рье-об­раз урав­не­ния не­пре­рыв­но­сти при­ни­ма­ет вид ₁/₀ = (kv)/, по­э­то­му Фу­рье-об­раз ади­а­ба­ти­че­с­ко­го урав­не­ния (6.31) мо­жет быть за­пи­сан в ви­де р₁ = р₀(kv)/. Со­от­вет­ст­вен­но р₁ = р₀kv_||/ = iр₀kkv_||/, где v_|| – ком­по­нен­та ско­ро­сти, па­рал­лель­ная во­л­но­во­му ве­к­то­ру k. Пред­ста­вим те­перь в урав­не­нии (6.28) v = v_|| + v_, E = E_|| + E_ и за­пи­шем Фу­рье-об­ра­зы урав­не­ний для про­доль­ной и по­пе­ре­ч­ной ком­по­нент ско­ро­сти и элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля, под­ста­вив в них по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для гра­ди­ен­та да­в­ле­ния р₁:

Для по­пе­ре­ч­ной про­ни­ца­е­мо­сти плаз­мы мо­ж­но вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой (6.27) и по­лу­чить . (7.10) Та­кие во­л­ны на­зы­ва­ют­ся по­верх­но­ст­ны­ми плаз­мен­ны­ми ко­ле­ба­ни­я­ми или по­верх­но­ст­ны­ми плаз­мо­на­ми. Из урав­не­ния (7.10) сле­ду­ет, что верх­няя ча­с­то­та по­верх­но­ст­ных плаз­мо­нов рав­на . Су­ще­ст­во­ва­ние по­верх­но­ст­ных волн оз­на­ча­ет, что энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля мо­жет пе­ре­да­вать­ся в из­бран­ном на­пра­в­ле­нии по по­верх­но­стям от­кры­тых во­л­но­во­дов, ко­то­рые мо­гут быть ди­э­лек­т­ри­че­с­ки­ми. По­верх­но­ст­ная во­л­на яв­ля­ет­ся по­пе­ре­ч­ной Н-во­л­ной, или ТМ-во­л­ной. Лег­ко по­ка­зать, ис­хо­дя из гра­ни­ч­ных ус­ло­вий (7.5) и со­от­но­ше­ния (7.7), что по­пе­ре­ч­ная по элек­т­ри­че­с­ко­му по­лю по­верх­но­ст­ная во­л­на, то есть ТЕ-во­л­на, су­ще­ст­во­вать не мо­жет.

В этом слу­чае по­я­в­ля­ет­ся но­вая по­верх­но­ст­ная во­л­на, ло­ка­ли­зо­ван­ная вбли­зи об­ла­с­ти ре­з­кой не­од­но­род­но­сти сре­ды. Ам­п­ли­ту­да по­верх­но­ст­ной во­л­ны убы­ва­ет по ме­ре уда­ле­ния от этой об­ла­с­ти. Су­ще­ст­во­ва­ние по­верх­но­ст­ных волн из­ве­ст­но в ги­д­ро­ди­на­ми­ке. Их ско­рость рас­про­стра­не­ния и дру­гие ха­ра­к­те­ри­сти­ки ре­з­ко от­ли­ча­ют­ся от ха­ра­к­те­ри­стик объ­ем­ных, на­при­мер зву­ко­вых, волн. Рас­смо­т­рим пло­скую ре­з­кую гра­ни­цу раз­де­ла не­маг­нит­ной сре­ды с ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­стью и ва­ку­у­ма. Пусть ось z на­пра­в­ле­на внутрь сре­ды по нор­ма­ли к гра­ни­це раз­де­ла. То­г­да по­верх­но­ст­ная во­л­на рас­про­стра­ня­ет­ся в пло­с­ко­сти ху. Бу­дем ис­кать та­кое ре­ше­ние урав­не­ния (7.2) в ви­де пло­ской во­л­ны, ко­г­да ве­к­тор Н на­хо­дит­ся в пло­с­ко­сти гра­ни­цы раз­де­ла, и на­пра­вим ось у вдоль на­пра­в­ле­ния Н. То­г­да урав­не­ние (7.2) при­ни­ма­ет вид , (7.3) . (7.4) Здесь ин­де­к­са­ми m и v со­от­вет­ст­вен­но обо­з­на­че­ны маг­нит­ные по­ля в сре­де и в ва­ку­у­ме, q – во­л­но­вое чи­с­ло, про­ек­ция во­л­но­во­го ве­к­то­ра на ось х. Ре­ше­ния урав­не­ний (7.3) и (7.4) дол­ж­ны быть сши­ты на по­верх­но­сти раз­де­ла S с по­мо­щью гра­ни­ч­ных ус­ло­вий ви­да (1.32) Е_1 = Е_2. [n(H₁ – H₂)] = 4i/c. (1.33)