14

1.1 Ус­ред­не­ние ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких урав­не­ний Мак­свел­ла Фор­маль­ный пе­ре­ход к ма­к­ро­ско­пи­че­с­ко­му опи­са­нию элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля мо­ж­но осу­ще­ст­вить пу­тем ус­ред­не­ния по­ло­же­ния ато­мов. Для то­го что­бы по­с­ле ус­ред­не­ния те­ло пред­ста­в­ля­ло со­бой сплош­ную сре­ду, раз­ме­ры об­ла­с­ти, по ко­то­рой про­из­во­дит­ся ус­ред­не­ние, дол­ж­ны быть ве­ли­ки по срав­не­нию с меж­атом­ны­ми рас­сто­я­ни­я­ми. С дру­гой сто­ро­ны, эти раз­ме­ры дол­ж­ны быть ма­лы по срав­не­нию с рас­сто­я­ни­я­ми, на ко­то­рых ме­ня­ет­ся ма­к­ро­ско­пи­че­с­кое по­ле. Так воз­ни­ка­ет по­ня­тие фи­зи­че­с­ки бес­ко­не­ч­но ма­ло­го объ­е­ма с раз­ме­ра­ми, удо­в­ле­тво­ря­ю­щи­ми ука­зан­ным ус­ло­ви­ям. Ми­к­ро­ско­пи­че­с­кие элек­т­ри­че­с­кое e(r, t) и маг­нит­ное b(r, t) по­ля в сре­де с за­ря­да­ми дол­ж­ны удо­в­ле­тво­рять урав­не­ни­ям Мак­свел­ла, до­по­л­нен­ны­ми урав­не­ни­ем не­пре­рыв­но­сти: , (1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.4) . (1.5) Вхо­дя­щие в эти урав­не­ния ве­ли­чи­ны и яв­ля­ют­ся ми­к­ро­ско­пи­че­с­ки­ми зна­че­ни­я­ми плот­но­сти за­ря­да и то­ка и свя­за­ны с за­ря­да­ми от­дель­ных ми­к­ро­ча­с­тиц сре­ды со­от­но­ше­ни­я­ми: , (1.6) . (1.7)

1.2, (1.10) , (1.11) , (1.12) . (1.13) Ус­ред­не­ние сгла­жи­ва­ет ре­з­кие ко­ле­ба­ния ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких ве­ли­чин, обу­сло­в­лен­ные ми­к­ро­стру­к­ту­рой ве­ще­ст­ва, и вы­яв­ля­ет сред­ний ход их за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни и ко­ор­ди­нат, ха­ра­к­тер­ный для сплош­ной сре­ды. То­ки и за­ря­ды в урав­не­ни­ях (1.9) – (1.13) со­сто­ят, во­об­ще го­во­ря, из двух ча­с­тей. Часть за­ря­дов и то­ков яв­ля­ет­ся функ­ци­о­на­ла­ми тех же са­мых по­лей Е и В, ко­то­рые эти то­ки и за­ря­ды в зна­чи­тель­ной сте­пе­ни са­ми и оп­ре­де­ля­ют (са­мо­со­г­ла­со­ван­ные по­ля). Та­кие за­ря­ды и то­ки мо­ж­но на­звать вну­т­рен­ни­ми или соб­ст­вен­ны­ми. Часть же за­ря­дов и то­ков мо­жет быть обу­сло­в­ле­на внеш­ни­ми по от­но­ше­нию к дан­ной за­да­че при­чи­на­ми. Та­кие за­ря­ды и то­ки, не за­ви­ся­щие от Е и В, ино­гда на­зы­ва­ют сто­рон­ни­ми или внеш­ни­ми, то есть в урав­не­ни­ях (1.9) – (1.13) сле­ду­ет по­ло­жить . Соб­ст­вен­ные за­ря­ды в ве­ще­ст­ве, в свою оче­редь, мо­ж­но раз­де­лить на сво­бод­ные и свя­зан­ные (ло­ка­ли­зо­ван­ные). Сво­бод­ны­ми на­зы­ва­ют за­ря­ды, ко­то­рые мо­гут пе­ре­ме­щать­ся на ма­к­ро­ско­пи­че­с­кие рас­сто­я­ния. В от­ли­чие от них свя­зан­ные за­ря­ды ло­ка­ли­зо­ва­ны око­ло не­ко­то­рых цен­т­ров. При­ме­ром сво­бод­ных за­ря­дов мо­гут слу­жить элек­т­ро­ны про­во­ди­мо­сти в ме­тал­ле. Свя­зан­ны­ми за­ря­да­ми в ме­тал­ле яв­ля­ют­ся элек­т­ро­ны вну­т­рен­них обо­ло­чек ато­мов и

1.3– ве­к­тор с ком­по­нен­та­ми d_i = b_xa_i/x + b_ya_i/y + b_za_i/z, i = x, y, z, (ве­к­тор­ный гра­ди­ент). Тре­тье сла­га­е­мое в пра­вой ча­с­ти это­го со­от­но­ше­ния мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез про­из­вод­ную плот­но­сти ква­д­ру­поль­но­го мо­мен­та. Но ква­д­ру­поль­ное сла­га­е­мое со­дер­жит до­по­л­ни­тель­ную сте­пень ма­лой ве­ли­чи­ны |r_i|/|r| – от­но­ше­ния атом­ных раз­ме­ров к рас­сто­я­нию, на ко­то­ром ме­ня­ет­ся на­пря­жен­ность по­ля. Сле­до­ва­тель­но, ква­д­ру­поль­ная по­ля­ри­за­ция сре­ды ма­ла, и треть­им сла­га­е­мым в вы­ра­же­нии для сред­ней плот­но­сти то­ка мо­ж­но пре­не­б­речь в срав­не­нии с пер­вым. Вто­рое сла­га­е­мое в этом со­от­но­ше­нии мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез сред­нюю плот­ность маг­нит­но­го мо­мен­та ве­ще­ст­ва: , (1.17) где – маг­нит­ный мо­мент, свя­зан­ный с дви­же­ни­ем i-го за­ря­да в k-м ато­ме. С уче­том это­го вы­ра­же­ние для сред­ней плот­но­сти то­ка j_л свя­зан­ных за­ря­дов при­ни­ма­ет вид: . (1.18) Пер­вое сла­га­е­мое в фор­му­ле (1.18) на­зы­ва­ет­ся то­ком по­ля­ри­за­ции, а вто­рое – то­ком на­маг­ни­че­ния, то есть j_p = P/t, j_m = c rot M. В про­вод­ни­ках, со­дер­жа­щих на­ря­ду со свя­зан­ны­ми и сво­бод­ные за­ря­ды, под дей­ст­ви­ем при­ло­жен­но­го по­ля воз­ни­ка­ет ма­к­ро­ско­пи­че­с­кое дви­же­ние сво­бод­ных за­ря­дов, то есть элек­т­ри­че­с­кий ток про­во­ди­мо­сти со сред­ней

1.4 ве­ли­чин Р и М, вхо­дя­щих в урав­не­ния (1.22) и (1.23), вве­дем функ­ции D – ве­к­тор элек­т­ри­че­с­кой ин­дук­ции и Н – на­пря­жен­ность маг­нит­но­го по­ля: D = Е + 4Р, (1.24) Н = В – 4М. (1.25) В этих обо­з­на­че­ни­ях урав­не­ния (1.22) и (1.23) при­ни­ма­ют вид: , (1.26) . (1.27) Ес­ли те­ло не яв­ля­ет­ся элек­т­ро­ней­т­раль­ным, то есть в не­го вве­де­ны из­вне до­по­л­ни­тель­ные (сто­рон­ние) за­ря­ды, то к плот­но­сти за­ря­да  в урав­не­нии (1.26) сле­ду­ет до­ба­вить плот­ность сто­рон­них за­ря­дов _е, а к плот­но­сти то­ка j в урав­не­нии (1.27) – плот­ность то­ка сто­рон­них за­ря­дов j_е. Та­ким об­ра­зом, си­с­те­ма урав­не­ний Мак­свел­ла, опи­сы­ва­ю­щая по­ве­де­ние элек­т­ро­маг­нит­ных по­лей в ве­ще­ст­ве, при­ни­ма­ет вид: , (1.28) , (1.29) , (1.30) . (1.31) Си­с­те­ма этих урав­не­ний не яв­ля­ет­ся по­л­ной. К ней ну­ж­но до­ба­вить ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния, свя­зы­ва­ю­щие ве­ли­чи­ны Р, М и j с су­ще­ст­ву­ю­щи­ми вну­т­ри те­ла ма­к­ро­ско­пи­че­с­ки­ми по­ля­ми, а так­же гра­ни­ч­ные ус­ло­вия, оп­ре­де­ля­ю­щие по­ве­де­ние ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких по­лей на гра­ни­це раз­де­ла раз­ли­ч­ных сред.

2.1 Гра­ни­ч­ные ус­ло­вия При ми­к­ро­ско­пи­че­с­ком под­хо­де та­ко­го по­ня­тия, как гра­ни­ца раз­де­ла, не су­ще­ст­ву­ет, оно воз­ни­ка­ет при рас­смо­т­ре­нии ве­ще­ст­ва как сплош­ной сре­ды. Ми­к­ро­ско­пи­че­с­кая гра­ни­ца раз­де­ла пред­ста­в­ля­ет со­бой не­ко­то­рую об­ласть, в ко­то­рой свой­ст­ва ве­ще­ст­ва ре­з­ко ме­ня­ют­ся. Для кон­ден­си­ро­ван­ных сред тол­щи­на пе­ре­ход­но­го слоя по­ряд­ка атом­ных раз­ме­ров. При ма­к­ро­ско­пи­че­с­ком опи­са­нии гра­ни­ца раз­де­ла счи­та­ет­ся гео­ме­т­ри­че­с­кой по­верх­но­стью, то есть пред­по­ла­га­ет­ся, что при пе­ре­хо­де че­рез не­ко­то­рую по­верх­ность фи­зи­че­с­кие свой­ст­ва ве­ще­ст­ва ме­ня­ют­ся ска­ч­ком. Фор­маль­но пе­ре­ход к ре­з­кой гра­ни­це со­вер­ша­ет­ся ус­т­ре­м­ле­ни­ем к ну­лю тол­щи­ны пе­ре­ход­но­го слоя. Ес­ли при этом в пе­ре­ход­ном слое был ко­не­ч­ный за­ряд, то в ре­зуль­та­те та­ко­го пе­ре­хо­да он бу­дет со­сре­до­то­чен на по­верх­но­сти раз­де­ла. Плот­ность по­верх­но­ст­но­го за­ря­да  свя­за­на с ве­ли­чи­ной q за­ря­да пе­ре­ход­но­го слоя со­от­но­ше­ни­ем , ds – эле­мент по­верх­но­сти раз­де­ла S. Ана­ло­ги­ч­но вво­дит­ся плот­ность по­верх­но­ст­но­го то­ка i, на­пра­в­ле­ние ко­то­ро­го сов­па­да­ет с на­пра­в­ле­ни­ем объ­ем­но­го то­ка j, про­те­ка­ю­ще­го в по­верх­но­ст­ном слое. При пе­ре­хо­де к гео­ме­т­ри­че­с­кой по­верх­но­сти раз­де­ла ве­ли­чи­ны Р и М, ха­ра­к­те­ри­зу­ю­щие свой­ст­ва ве­ще­ст­ва, ста­нут раз­рыв­ны­ми функ­ци­я­ми. По­э­то­му удоб­но ре­шать си­с­те­му урав­не­ний для на­хо­ж­де­ния ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких элек­т­ро­маг­нит­ных по­лей от­дель­но для ка­ж­до­го из уча­ст­ков про­стран­с­т­ва, за­ня­то­го од­ним ве­ще­ст­вом. На гра­ни­цах раз­де­ла сред ну­ж­но про­из­во­дить сши­ва­ние ре­ше­ний, ис­поль­зуя со­от­вет­ст­ву­ю­щие гра­ни­ч­ные ус­ло­вия. Со­во­куп­ность этих гра­ни­ч­ных ус­ло­вий вы­те­ка­ет не­по­сред­ст­вен­но из си­с­те­мы урав­не­ний Мак­свел­ла. Про­ин­тег­ри­ру­ем,

2.2, или (H₁ – H₂) = 4i_n1/c, где  = l/l – еди­ни­ч­ный ве­к­тор, ка­са­тель­ный к гра­ни­це раз­де­ла. Это ра­вен­ст­во мо­ж­но за­пи­сать в ве­к­тор­ном ви­де, не за­ви­ся­щем яв­но от вы­бо­ра на­пра­в­ле­ния ка­са­тель­ной , вво­дя еди­ни­ч­ный ве­к­тор нор­ма­ли к по­верх­но­сти раз­де­ла n, на­пра­в­лен­ный из пер­вой сре­ды во вто­рую: [n(H₁ – H₂)] = 4i/c. (1.33) Про­ин­тег­ри­ру­ем те­перь урав­не­ние (1.29) по объ­е­му V бес­ко­не­ч­но ма­ло­го ци­лин­д­ра, рас­по­ло­жен­но­го в пе­ре­ход­ном слое так, что его вы­со­та  есть тол­щи­на пе­ре­ход­но­го слоя, а ос­но­ва­ние пло­ща­дью S па­рал­лель­но воз­ни­ка­ю­щей при   0 гра­ни­це раз­де­ла. Ис­поль­зуя те­о­ре­му о сре­д­нем и те­о­ре­му Га­ус­са – Ост­ро­град­ско­го и пе­ре­хо­дя к пре­де­лу   0, по­лу­чим: , где B_n – про­ек­ция ве­к­то­ра В на нор­маль n к по­верх­но­сти раз­де­ла. Или: B_1n = B_2n. (1.34) Про­ин­тег­ри­ро­вав по это­му же ци­лин­д­ру урав­не­ние (1.30), по­лу­ча­ем: . То есть, D_2n – D_1n = 4.

2.3Под­ста­в­ляя в урав­не­ние (1.36) фор­му­лы D = Е + 4Р, (1.24) Н = В – 4М. (1.25): D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37) B_i = B_0i + _ikH_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.38) D₀ = 4P₀, B₀ = 4M₀, (1.39) где _ik и, _ik – тен­зо­ры ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­сти ве­ще­ст­ва. j_i = _ikE_k, (1.40) где _ik – тен­зор про­во­ди­мо­сти. Со­от­но­ше­ние (1.40) ча­с­то на­зы­ва­ют за­ко­ном Ома в диф­фе­рен­ци­аль­ной фор­ме. По при­ня­той в ма­к­ро­ско­пи­че­с­кой элек­т­ро­ди­на­ми­ке клас­си­фи­ка­ции та­кие то­ки яв­ля­ют­ся сто­рон­ни­ми, их воз­ни­к­но­ве­ние опи­сы­ва­ет­ся сто­рон­ней си­лой f_e в пра­вой ча­с­ти урав­не­ния (1.8). Со­от­но­ше­ния (1.37) и (1.40) яв­ля­ют­ся ма­те­ри­аль­ны­ми урав­не­ни­я­ми (урав­не­ни­я­ми свя­зи) сплош­ной сре­ды, они ус­та­на­в­ли­ва­ют не­об­хо­ди­мую связь раз­ли­ч­ных ве­ли­чин, ха­ра­к­те­ри­зу­ю­щих ма­к­ро­ско­пи­че­с­кое элек­т­ро­маг­нит­ное по­ле. Эти свя­зи со­дер­жат два ве­к­то­ра и три тен­зо­раВ ча­ст­ном слу­чае изо­троп­ных сред они при­ни­ма­ют вид _ik = _ik, _ik = _ik, _ik = _ik. Ска­ляр­ные ве­ли­чи­ны ,  и  на­зы­ва­ют­ся ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­стью, маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­стью и про­во­ди­мо­стью ве­ще­ст­ва. Ве­ли­чи­ны Р₀ и М₀ в урав­не­нии (1.39) пред­ста­в­ля­ют со­бой плот­но­сти ди­поль­ных элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го мо­мен­тов ве­ще­ст­ва при от­сут­ст­вии внеш­них по­лей. Их на­зы­ва­ют спон­тан­ны­ми элек­т­ри­че­с­ким и маг­нит­ным мо­мен­та­ми со­от­вет­ст­вен­но. Ве­ще­ст­ва, для ко­то­рых Р₀  0, на­зы­ва­ют пи­ро­э­лек­т­ри­ка­ми. Для боль­шин­ст­ва ве­ществ Р₀ = 0. Ана­ло­ги­ч­но, для боль­шин­ст­ва ве­ществ, за ис­к­лю­че­ни­ем фер­ро­маг­не­ти­ков, М₀ = 0. Все ве­ли­чи­ны Р₀, М₀, _ik , _ik и _ik для сла­бых по­сто­ян­ных или ме­д­лен­но ме­ня­ю­щих­ся по­лей за­ви­сят толь­ко от свойств ве­ще­ст­ва и его тер­мо­ди­на­ми­че­с­ко­го со­сто­я­ния. При бы­ст­ром из­ме­не­нии по­лей ве­ли­чи­ны _ik , _ik и _ik на­чи­на­ют за­ви­сеть от ча­с­то­ты по­ля (ди­с­пер­сия).

3.1 Обоб­щен­ная про­ни­ца­е­мость Раз­де­ле­ние сред­ней плот­но­сти то­ка свя­зан­ных за­ря­дов на то­ки по­ля­ри­за­ции и то­ки на­маг­ни­чен­но­сти, как это сде­ла­но в фор­му­ле (1.18), яв­ля­ет­ся фор­маль­ным. Фи­зи­че­с­ки то­ку по­ля­ри­за­ции со­от­вет­ст­ву­ет ко­ле­ба­ние свя­зан­ных за­ря­дов око­ло по­ло­же­ния рав­но­ве­сия под дей­ст­ви­ем пе­ре­мен­но­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля, а то­ку на­маг­ни­че­ния – дви­же­ние свя­зан­ных за­ря­дов по замк­ну­тым тра­е­к­то­ри­ям да­же в от­сут­ст­вии элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля. Од­на­ко в пе­ре­мен­ном по­ле тра­е­к­то­рию дви­же­ния свя­зан­ных за­ря­дов мо­ж­но счи­тать замк­ну­той лишь при­бли­жен­но, ко­г­да путь, про­хо­ди­мый ча­с­ти­ца­ми за пе­ри­од из­ме­не­ния по­ля мно­го боль­ше ра­ди­у­са их тра­е­к­то­рии. В быс­тро­пе­ре­мен­ных по­лях это ус­ло­вие не вы­пол­ня­ет­ся, и от­ли­чить ток на­маг­ни­че­ния от то­ка по­ля­ри­за­ции не­воз­мо­ж­но. В та­кой си­ту­а­ции удоб­нее вве­сти ве­к­тор обоб­щен­ной по­ля­ри­за­ции P, про­из­вод­ная от ко­то­ро­го рав­ня­ет­ся сред­ней плот­но­сти ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го то­ка: . Из фор­му­лы (1.19) сле­ду­ет, что . (1.41) Ана­ло­ги­ч­но вво­дит­ся ве­к­тор D обоб­щен­ной элек­т­ри­че­с­кой ин­дук­ции: D(r, t) = E(r, t) + 4P (r, t) = E(r, t), (1.42) где – ли­ней­ный опе­ра­тор обоб­щен­ной про­ни­ца­е­мо­сти. С уче­том вве­ден­ных обо­з­на­че­ний урав­не­ния

3.2Ум­но­жим обе ча­с­ти урав­не­ния (1.31) ска­ляр­но на Е и вы­чтем из по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния урав­не­ние (1.28), ска­ляр­но ум­но­жен­ное на Н. Учи­ты­вая, что тен­зо­ры ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­сти урав­не­ни­ях (1.37) сим­мет­ри­ч­ные и для ме­д­лен­но ме­ня­ю­щих­ся по­лей по­сто­ян­ные, по­лу­чим: . Вос­поль­зо­вав­шись то­ж­де­ст­вом div[ab] = arotb – brota, пре­об­ра­зу­ем это урав­не­ние к ви­ду: w/t + divS = –(j + j_e)E, (1.46) где с уче­том со­от­но­ше­ний (1.37) обо­з­на­че­но , (1.47) . (1.48) В слу­чае ра­вен­ст­ва ну­лю пра­вой ча­с­ти со­от­но­ше­ние (1.46) име­ет вид за­ко­на со­хра­не­ния не­ко­то­рой фи­зи­че­с­кой ве­ли­чи­ны, при­чем w име­ет вид плот­но­сти этой ве­ли­чи­ны, а S – плот­но­сти по­то­ка этой ве­ли­чи­ны. Энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля дол­ж­на яв­лять­ся тер­мо­ди­на­ми­че­с­ким по­тен­ци­а­лом, то есть быть функ­ци­ей со­сто­я­ния си­с­те­мы и оп­ре­де­лять­ся толь­ко те­ку­щи­ми зна­че­ни­я­ми ма­к­ро­ско­пи­че­с­кий по­лей не­за­ви­си­мо от пре­ды­с­то­рии. Кро­ме то­го, энер­гия по­ля дол­ж­на быть раз­но­стью вну­т­рен­ней энер­гии сре­ды при на­ли­чии по­ля и энер­гии в от­сут­ст­вии по­ля при тех же зна­че­ни­ях плот­но­сти и эн­тро­пии, а из­ме­не­ние энер­гии по­ля в об­ра­ти­мых про­цес­сах дол­ж­но рав­нять­ся ра­бо­те внеш­них сил.

4.1 Пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца Рас­смо­т­рим ми­к­ро­ско­пи­че­с­кие урав­не­ния Мак­свел­ла, (1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.4) . (1.5) в ва­ку­у­ме, то есть при и . Возь­мем ро­тор от урав­не­ния (1.1) и под­ста­вим в пра­вую часть урав­не­ние (1.3). То­г­да, с уче­том то­го, что в ва­ку­у­ме из урав­не­ния (1.2) сле­ду­ет div e = 0, по­лу­ча­ем во­л­но­вое урав­не­ние , (2.1) опи­сы­ва­ю­щее рас­про­стра­не­ние элек­т­ро­маг­нит­ных волн в про­стран­с­т­ве со ско­ро­стью с. Пер­во­на­чаль­но пред­по­ла­га­лось, что во­л­но­вое урав­не­ние (2.1) за­пи­са­но в «при­ви­ле­ги­ро­ван­ной» си­с­те­ме от­сче­та, свя­зан­ной с не­под­ви­ж­ным ми­ро­вым эфи­ром. Од­на­ко, экс­пе­ри­мен­ты (опыт Май­кель­со­на) по­ка­за­ли, что ско­рость све­та оди­на­ко­ва во всех инер­ци­аль­ных си­с­те­мах и во всех на­пра­в­ле­ни­ях. Это зна­чит, что в со­пут­ст­ву­ю­щей си­с­те­ме (r, t) во­л­но­вое урав­не­ние (2.1) дол­ж­но иметь та­кой же вид, что и в ла­бо­ра­тор­ной си­с­те­ме (r, t). Лег­ко ви­деть, что пре­об­ра­зо­ва­ние Га­ли­лея

4.2 . (2.3) Пре­об­ра­зо­ва­ние Ло­рен­ца ви­да (2.3) лег­ко обоб­щить на слу­чай про­из­воль­но­го на­пра­в­ле­ния ве­к­то­ра от­но­си­тель­ной ско­ро­сти V, оно ос­та­в­ля­ет ин­ва­ри­ант­ной ква­д­ра­ти­ч­ную фор­му x² + y² + z² – c²t², по­э­то­му ему мо­ж­но при­дать гео­ме­т­ри­че­с­кий смысл. В 4-х мер­ном про­стран­с­т­ве (х₁, х₂, х₃, х₄), где х₁ = х, х₂ = y, х₃ = z, х₄ = ict, оно ос­та­в­ля­ет ин­ва­ри­ант­ной ква­д­ра­ти­ч­ную фор­му . По­э­то­му пре­об­ра­зо­ва­ние Ло­рен­ца со­от­вет­ст­ву­ет вра­ще­нию си­с­те­мы ко­ор­ди­нат в рас­сма­т­ри­ва­е­мом 4-про­стран­с­т­ве, на­зы­ва­е­мом псев­до­ев­к­ли­до­вом про­стран­с­т­вом Мин­ков­ско­го, и мо­жет быть за­пи­са­но в ма­т­ри­ч­ном ви­де: . (2.4) Из фор­му­лы (2.3) вы­те­ка­ет за­кон сло­же­ния ско­ро­стей: . (2.5) По­сколь­ку в си­лу прин­ци­па от­но­си­тель­но­сти, си­ла, дей­ст­ву­ю­щая на дви­жу­щий­ся за­ряд дол­ж­на быть оди­на­ко­ва во всех инер­ци­аль­ных си­с­те­мах от­сче­та, то при пе­ре­хо­де к дви­жу­щей­ся си­с­те­ме от­сче­та дол­ж­но пре­об­ра­зо­вы­вать­ся и элек­т­ро­маг­нит­ное по­ле. По­ла­гая, что в ва­ку­у­ме сто­рон­ние си­лы f_e от­сут­ст­ву­ют, за­пи­шем урав­не­ние

4.3 про­стран­с­т­ве Мин­ков­ско­го по фор­му­ле (2.4): . Пре­об­ра­зо­ва­ние Ло­рен­ца ви­да (2.4) ос­та­в­ля­ет ин­ва­ри­ан­том (ска­ля­ром) ве­ли­чи­ну . Здесь ве­к­тор А объ­е­ди­ня­ет три про­стран­с­т­вен­ные ком­по­нен­ты 4-ве­к­то­ра, а A₀ = A₄/i – его вре­мен­ная ком­по­нен­та. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние двух 4-ве­к­то­ров так­же ин­ва­ри­ант­но при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях Ло­рен­ца: . Су­ще­ст­ву­ет и об­рат­ная те­о­ре­ма: ес­ли А_iB_i – ска­ляр, а А_i – 4-ве­к­тор, то и B_i – 4-ве­к­тор. На ос­но­ва­нии этой те­о­ре­мы, и учи­ты­вая, что яко­би­ан пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца ра­вен 1, мо­ж­но по­ка­зать, что со­во­куп­ность ве­ли­чин j_i = {v, ic} об­ра­зу­ет 4-ве­к­тор плот­но­сти то­ка. От­сю­да сле­ду­ет, что плот­но­сти то­ка и за­ря­да пре­об­ра­зу­ют­ся при пе­ре­хо­де от од­ной инер­ци­аль­ной си­с­те­ме от­сче­та к дру­гой по фор­му­лам, ана­ло­ги­ч­ным пре­об­ра­зо­ва­нию (2.3): . (2.8) 4-тен­зо­ром вто­ро­го ран­га на­зы­ва­ют упо­ря­до­чен­ную со­во­куп­ность 16 ве­ли­чин T_ij, пре­об­ра­зу­ю­щу­ю­ся при ло­рен­цо­вом пре­об­ра­зо­ва­нии по за­ко­ну: . (2.9) В ча­ст­но­сти, 4-тен­зор об­ра­зу­ют ве­ли­чи­ны А_iB_j, где А_i и B_i – про­из­воль­ные 4-ве­к­то­ры. Ес­те­ст­вен­но, что при этом T_ii, то есть сум­ма ди­а­го­наль­ных ком­по­нент ма­т­ри­цы T_ij бу­дет ин­ва­ри­ан­том при ло­рен­цо­вых пре­об­ра­зо­ва­ни­ях. Ана­ло­ги­ч­но оп­ре­де­ля­ет­ся 4-тен­зор тре­тье­го ран­га как упо­ря­до­чен­ная со­во­куп­ность 64 ве­ли­чин T_iik, и т. д

4.4не су­ще­ст­ву­ет. Так, на­при­мер, им­пульс р = и энер­гия  = ча­с­ти­цы с мас­сой по­коя m об­ра­зу­ют 4-ве­к­тор . Ус­та­но­вив, 4-ве­к­то­ром или 4-тен­зо­ром яв­ля­ет­ся та или иная ве­ли­чи­на, мы, тем са­мым за­да­ем за­кон ее пре­об­ра­зо­ва­ния в инер­ци­аль­ных си­с­те­мах от­сче­та. Фи­зи­че­с­кий за­кон, свя­зы­ва­ю­щий 4-х мер­ные ве­ли­чи­ны, на­зы­ва­ет­ся ко­ва­ри­ант­ным, ес­ли он ин­ва­ри­ан­тен от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца. Урав­не­ния Мак­свел­ла (1.1) и (1.4) мо­гут быть за­пи­са­ны в ко­ва­ри­ант­ной фор­ме че­рез тен­зор элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в ви­де . (2.13) Ле­вая часть урав­не­ния (2.13) пред­ста­в­ля­ет со­бой 4-тен­зор тре­тье­го ран­га и его об­ра­ще­ние в нуль не за­ви­сит от вы­бо­ра си­с­те­мы от­сче­та. Ана­ло­ги­ч­но ко­ва­ри­ант­ная фор­ма за­пи­си урав­не­ний (1.2) и (1.3) име­ет вид: . (2.14)

4-х мер­ной ко­ва­ри­ант­ной фор­мой урав­не­ний (1.30) и (1.31) в сре­де: . (2.16) 4-х ве­к­тор плот­но­сти то­ка j_i = {j, ic} вклю­ча­ет здесь как ток про­во­ди­мо­сти, так и внеш­ний ток, со­от­вет­ст­вен­но, и ин­ду­ци­ро­ван­ные и внеш­ние за­ря­ды. В слу­чае од­но­род­но­го и изо­троп­но­го, не­пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­ко­го и не­фер­ро­маг­нит­но­го те­ла мо­ж­но за­пи­сать D = E, B = H. Для то­го что­бы по­стро­ить связь ме­ж­ду ве­к­то­ра­ми D, H и Е, В в ла­бо­ра­тор­ной си­с­те­ме, то есть для дви­жу­щей­ся сре­ды, вве­дем 4-ве­к­тор ско­ро­сти, свя­зан­ный с трех­мер­ной ско­ро­стью v со­от­но­ше­ни­ем . Не­тру­д­но ви­деть, что 4-ве­к­то­ра F_iku_k/c и Н_iku_k/c в не­под­ви­ж­ной сре­де пе­ре­хо­дят со­от­вет­ст­вен­но в Е и D, так как их вре­мен­ные ком­по­нен­ты при этом об­ра­ща­ют­ся в нуль. По­э­то­му 4-х мер­ным обоб­ще­ни­ем ра­вен­ст­ва D = E, яв­ля­ет­ся урав­не­ние Н_iku_k = F_iku_k. (2.17) Ана­ло­ги­ч­ным об­ра­зом мо­ж­но убе­дить­ся, что 4-х мер­ным обоб­ще­ни­ем ра­вен­ст­ва B = H яв­ля­ет­ся урав­не­ние F_iku_l + F_klu_i + F_liu_k = (Н_iku_l + H_klu_i + H_liu_k). (2.18) Пе­ре­хо­дя от че­ты­рех­мер­ных обо­з­на­че­ний сно­ва к трех­мер­ным ве­ли­чи­нам, по­лу­чим из тен­зор­ных урав­не­ний (2.17) и (2.18) ве­к­тор­ные урав­не­ния Мин­ков­ско­го: D + [VH]/c = (E + [VB]/c), (2.19) B + [EV]/c = (H + [DV]/c). (2.20) Счи­тая от­но­ше­ние v/c ма­лым и ре­шая эти урав­не­ния от­но­си­тель­но D и В, по­лу­чим с то­ч­но­стью до чле­нов пер­во­го по­ряд­ка ма­ло­сти: D = E + ( – 1)[VH]/c, (2.21) B = H + ( – 1)[EV]/c. (2.22)

От­ме­тим, что дви­жу­ща­я­ся сре­да ни­как не ме­ня­ет ви­да ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких урав­не­ний по­ля. Та­кая сре­да учи­ты­ва­ет­ся ви­дом плот­но­сти то­ка и плот­но­сти за­ря­да в урав­не­ни­ях (1.1) – (1.5). Ха­ра­к­тер ус­ред­не­ния от дви­же­ния сре­ды то­же не за­ви­сит, по­то­му что ус­ред­не­ние про­ис­хо­дит по объ­е­му и вре­ме­ни, оп­ре­де­лен­ных по от­но­ше­нию к ла­бо­ра­тор­ной си­с­те­ме ко­ор­ди­нат. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ния Мак­свел­ла (1.28) – , (1.29) . (1.31) для по­лей, за­пи­сан­ных по от­но­ше­нию к ла­бо­ра­тор­ной си­с­те­ме ко­ор­ди­нат, спра­ве­д­ли­вы для дви­жу­щей­ся сре­ды, так же как и для не­под­ви­ж­ной, по­сколь­ку при их вы­во­де ис­поль­зо­ва­лись лишь та­кие об­щие свой­ст­ва тел, не за­ви­ся­щее от дви­же­ния, как ра­вен­ст­во ну­лю по­л­но­го за­ря­да. Сле­ду­ет толь­ко вы­яс­нить, как по­ве­дут се­бя ве­к­то­ры D и H в слу­чае дви­жу­щей­ся сре­ды. Ма­к­ро­ско­пи­че­с­кие по­ля Е и В по­лу­че­ны ус­ред­не­ни­ем со­от­вет­ст­ву­ю­щих ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких по­лей, по­сколь­ку про­це­ду­ра ус­ред­не­ния ин­ва­ри­ант­на по от­но­ше­нию к пре­об­ра­зо­ва­ни­ям Ло­рен­ца, ком­по­нен­ты по­лей Е и В об­ра­зу­ют 4-те­зор вто­ро­го ран­га элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля F_ik ви­да , (2.10)

тен­зо­ры ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­сти и про­во­ди­мо­сти со­от­вет­ст­вен­но, ком­п­лекс­но­з­на­ч­ные функ­ции ча­с­то­ты. Пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье от вы­ра­же­ния (3.8) для обоб­щен­ной ин­дук­ции вы­чи­с­лим в слу­чае не­маг­нит­ной сре­ды без про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­сии, ко­г­да _ij(t) = _ij(t). То­г­да , (3.15) где ­– (3.16) тен­зор ком­п­лекс­ной ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти. Не­тру­д­но по­ка­зать, ис­хо­дя из ве­ще­ст­вен­но­сти функ­ций от­кли­ка _ij(t) _ij(t) и _ij(t), что вве­ден­ные со­от­но­ше­ни­я­ми (3.12), (3.13), (3.14) и (3.16) функ­ции яв­ля­ют­ся эр­ми­то­во со­пря­жен­ны­ми, то есть , , , . Сле­до­ва­тель­но, дей­ст­ви­тель­ные ча­с­ти про­ни­ца­е­мо­стей и про­во­ди­мо­сти – чет­ные функ­ции ча­с­то­ты, а мни­мые – не­чет­ные.

. (3.7) Фор­му­ла (3.4) для обоб­щен­ной ин­дук­ции с уче­том со­от­но­ше­ний D = Е + 4Р, (1.24) Н = В – 4М. (1.25) В этих обо­з­на­че­ни­ях урав­не­ния (1.22) и (1.23) при­ни­ма­ют вид: , (1.31) , . (1.41) , . (1.44) и вы­ра­же­ний (3.5), (3.6) и (3.7) для сре­ды без про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­сии при­ни­ма­ет вид: (3.8)

, (3.2) . (3.3) Вы­ра­же­ние (1.42) для обоб­щен­ной ин­дук­ции в слу­чае ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­ды мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де , (3.4) Пре­де­лы ин­тег­ри­ро­ва­ния по вре­ме­ни в со­от­но­ше­ни­ях (3.1) – (3.4) от­ра­жа­ют прин­цип при­чин­но­сти: по­ля­ри­за­ция и на­маг­ни­чен­ность сре­ды в дан­ный мо­мент вре­ме­ни не мо­гут за­ви­сеть от бу­ду­щих зна­че­ний на­пря­жен­но­сти по­ля. За­ви­си­мость ре­ак­ции сре­ды от пред­ше­ст­ву­ю­щих дан­но­му мо­мен­ту зна­че­ний по­ля объ­я­с­ня­ет­ся ко­не­ч­но­стью вре­ме­ни ре­ла­к­са­ции, то есть пе­ре­строй­ки, си­с­те­мы за­ря­дов. Фа­к­ти­че­с­ки па­мять о пред­ше­ст­ву­ю­щих зна­че­ни­ях по­ля со­хра­ня­ет­ся в те­че­ние ко­не­ч­но­го вре­ме­ни, по­ряд­ка вре­ме­ни ре­ла­к­са­ции _р за­ря­дов сре­ды. По­э­то­му функ­ции от­кли­ка сре­ды _ij(), _ij(), _ij() бы­ст­ро за­ту­ха­ют при  > _р. Фи­зи­че­с­кая при­чи­на за­ви­си­мо­сти по­ля­ри­за­ции или ин­ду­ци­ро­ван­но­го то­ка в то­ч­ке на­блю­де­ния r от зна­че­ния по­ля в со­сед­них то­ч­ках про­стран­с­т­ва r₁ свя­за­на, на­при­мер, с тем, что в дан­ную то­ч­ку вслед­ст­вие те­п­ло­во­го дви­же­ния мо­гут при­хо­дить ча­с­ти­цы из со­сед­них об­ла­с­тей про­стран­с­т­ва с дру­ги­ми зна­че­ни­я­ми по­лей. В ре­зуль­та­те связь ме­ж­ду ре­ак­ци­ей си­с­те­мы и на­пря­жен­но­стью поля

и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­стей, а так­же для про­во­ди­мо­сти, хо­тя они при­ме­ня­ют­ся ред­ко: , , (3.21) , , (3.22) , . (3.23) Со­от­но­ше­ния Кра­мер­са – Кро­ни­га (3.19) и (3.20), ино­гда за­пи­сы­ва­ют так, Учи­ты­вая чет­ность функ­ции () и не­чет­ность функ­ции (), по­лу­чим: , (3.24) . (3.25)

(3.12) при­ни­ма­ет вид exp[(i – )t]. По­сколь­ку t > 0, то мно­жи­тель exp(–t) при  > 0 обес­пе­чи­ва­ет бы­ст­рую схо­ди­мость ин­те­гра­ла. Мо­ж­но до­ка­зать, что функ­ция () не име­ет ну­лей в верх­ней по­лу­пло­с­ко­сти и при­ни­ма­ет там дей­ст­ви­тель­ные зна­че­ния толь­ко на мни­мой по­лу­оси  = i, при­чем (i) яв­ля­ет­ся мо­но­тон­ной функ­ци­ей. Из фор­му­лы ­– (3.16) сле­ду­ет, что функ­ция в верх­ней по­лу­пло­с­ко­сти име­ет един­ст­вен­ный по­люс  = 0. Ана­ли­ти­ч­ность функ­ции () в верх­ней по­лу­пло­с­ко­сти ком­п­лекс­ной пе­ре­мен­ной  =  + i оз­на­ча­ет, что дей­ст­ви­тель­ная и мни­мая ча­с­ти ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Они свя­за­ны ме­ж­ду со­бой со­от­но­ше­ни­я­ми Ко­ши ­– Ри­ма­на: . (3.18) На пра­к­ти­ке ве­ли­чи­ны  и  обы­ч­но из­ме­ря­ют в гар­мо­ни­че­с­ком ре­жи­ме как функ­ции дей­ст­ви­тель­ной ча­с­то­ты, по­э­то­му связь ме­ж­ду ни­ми удоб­нее за­пи­сы­вать в ви­де ин­те­гра­лов по дей­ст­ви­тель­ным ча­с­то­там. Рас­смо­т­рим замк­ну­тый кон­ту­ру C, ле­жа­щий в верх­ней по­лу­пло­с­ко­сти и со­сто­я­щий из дуг С₁ и С₂ ра­ди­у­са­ми R и r c цен­т­ром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, ду­ги С₃ ра­ди­у­сом r c цен­т­ром в то­ч­ке ₁ =  и от­ре­з­ков дей­ст­ви­тель­ной оси, со­еди­ня­ю­щих эти ду­ги. В си­лу те­о­ре­мы Ко­ши ин­те­грал от ана­ли­ти­че­с­кой функ­ции по это­му кон­ту­ру ра­вен ну­лю, то есть

(3.33) Вы­чи­тая из Фу­рье-об­раза урав­не­ния . (1.44) Фу­рье-об­раз урав­не­ния (1.31) , ви­дим, что i-я ком­по­нен­та раз­но­ст­но­го урав­не­ния име­ет вид . Вы­ра­зим ве­к­тор В в ле­вой ча­с­ти это­го урав­не­ния че­рез ве­к­тор Е с по­мо­щью Фу­рье-об­раза урав­не­ния (1.28) [k  E] = B/c. Рас­кры­вая

На­сколь­ко про­стран­с­т­вен­ная ди­с­пер­сия су­ще­ст­вен­на, оп­ре­де­ля­ет­ся па­ра­ме­т­ром kl, k = |k| – во­л­но­вое чи­с­ло, l – ха­ра­к­тер­ный про­стран­с­т­вен­ный мас­штаб дви­же­ния ча­с­тиц сре­ды, в ка­че­ст­ве ко­то­ро­го мо­жет вы­сту­пать дли­на сво­бод­но­го про­бе­га но­си­те­лей за­ря­да в твер­дом те­ле или плаз­ме, раз­мер ку­пе­ров­ской па­ры в сверх­про­вод­ни­ке и т. д. Зна­че­ние l мо­жет быть по­ряд­ка раз­ме­ра стру­к­тур­ных эле­мен­тов сре­ды или пу­ти, про­хо­ди­мо­го ча­с­ти­ца­ми сре­ды за пе­ри­од из­ме­не­ния по­ля. Про­стран­с­т­вен­ную ди­с­пер­сию не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать, ес­ли kl  1. Это ус­ло­вие оз­на­ча­ет, что ча­с­ти­цы дви­жут­ся в су­ще­ст­вен­но не­од­но­род­ном по­ле. При на­ли­чии про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­сии ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость ока­зы­ва­ет­ся тен­зо­ром, а не ска­ля­ром да­же для изо­троп­ной сре­ды. Вы­де­лен­ное на­пра­в­ле­ние в этом слу­чае за­да­ет во­л­но­вой ве­к­тор k. При от­сут­ст­вии сим­мет­рии воз­мо­жен еще член с еди­ни­ч­ным ан­ти­сим­мет­ри­ч­ным тен­зо­ром 3-го ран­га e_ijk. По­сколь­ку ком­по­нен­ты тен­зо­ра 2-го ран­га пре­об­ра­зу­ют­ся как про­из­ве­де­ния ком­по­нент ве­к­то­ра, един­ст­вен­ный тен­зор 2-го ран­га из ком­по­нент во­л­но­во­го ве­к­то­ра k бу­дет иметь вид k_ik_j/k². То­г­да . (3.31) Та­кой вид ком­п­лекс­ной ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти оз­на­ча­ет, что урав­не­ние (3.29) мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де .

Элек­т­ри­че­с­кое по­ле E(r, t) мо­ж­но пред­ста­вить в ви­де 4-мер­но­го ин­те­гра­ла Фу­рье (раз­ло­же­ние по пло­ским гар­мо­ни­че­с­ким во­л­нам) , (3.27) . (3.28) Ана­ло­ги­ч­но мо­ж­но оп­ре­де­лить D(k, ). Взяв пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье ви­да (3.27) от пра­вых и ле­вых ча­с­тей урав­не­ния (3.4), по­лу­чим с уче­том из­ве­ст­ной те­о­ре­мы о спек­т­ре свер­т­ки , (3.29) где тен­зор ком­п­лекс­ной ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти, ком­по­нен­ты ко­то­ро­го за­ви­сят, в об­щем слу­чае, и от ча­с­то­ты, и от во­л­но­во­го ве­к­то­ра, для не­маг­нит­ной сре­ды в си­лу со­от­но­ше­ния (3.26) . (3.30) Из оп­ре­де­ле­