14

9.1 Дис­си­па­ция энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в сре­де Ча­с­ти­ца сре­ды, дви­га­ясь в пе­ре­мен­ном элек­т­ро­маг­нит­ном по­ле, по­лу­ча­ет от по­ля энер­гию, при этом умень­ша­ет­ся энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля и рас­тет ме­ха­ни­че­с­кая энер­гия ча­с­ти­цы. По­сколь­ку при пе­ре­ме­ще­нии ча­с­ти­цы ге­не­ри­ру­ет­ся по­ле, то су­ще­ст­ву­ет и об­рат­ный про­цесс пре­об­ра­зо­ва­ния ме­ха­ни­че­с­кой энер­гии ча­с­тиц в энер­гию элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля. На­ли­чие та­ко­го об­ме­на энер­ги­ей оз­на­ча­ет, что в энер­гию элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в сре­де сле­ду­ет вклю­чать соб­ст­вен­но энер­гию ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го по­ля, плот­ность ко­то­рой в со­от­вет­ст­вии с фор­му­лой , (1.47) рав­на (e² + b²)/8, и энер­гию той ча­с­ти ме­ха­ни­че­с­ко­го дви­же­ния ча­с­тиц сре­ды, ко­то­рая обу­сло­в­ле­на элек­т­ро­маг­нит­ным по­лем в сре­де. Ча­с­ти­цы сре­ды вме­сте с вза­и­мо­дей­ст­ву­ю­щим с ни­ми элек­т­ро­маг­нит­ным по­лем не об­ра­зу­ют замк­ну­тую си­с­те­му. Они мо­гут при столк­но­ве­ни­ях пе­ре­да­вать свою энер­гию и им­пульс та­ким воз­бу­ж­де­ни­ям сре­ды, ко­то­рые уже не­по­сред­ст­вен­но не вза­и­мо­дей­ст­ву­ют с по­лем и по­э­то­му не ге­не­ри­ру­ют его. Та­кое вза­и­мо­дей­ст­вие опи­сы­ва­ет­ся сто­рон­ни­ми си­ла­ми f_e в ми­к­ро­ско­пи­че­с­ком урав­не­нии . (1.8). Часть энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля при столк­но­ве­ни­ях пе­ре­хо­дит в не­упо­ря­до­чен­ную ме­ха­ни­че­с­кую энер­гию ча­с­тиц сре­ды и не мо­жет быть воз­вра­ще­на по­лю. Эта энер­гия, в ко­не­ч­ном сче­те, пе­ре­хо­дит в те­п­ло. Та­кой про­цесс на­зы­ва­ет­ся дис­си­па­ци­ей энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля.

9.2 Опе­ра­ция ус­ред­не­ния здесь весь­ма су­ще­ст­вен­на. Не ус­ред­нен­ная ве­ли­чи­на Ej вклю­ча­ет и ту энер­гию, ко­то­рой ча­с­ти­цы об­ра­ти­мо об­ме­ни­ва­ют­ся с элек­т­ро­маг­нит­ным по­лем, и по­э­то­му не опи­сы­ва­ет дис­си­пи­ру­е­мую энер­гию. Ес­ли, как это удоб­но де­лать для мо­но­хро­ма­ти­че­с­ко­го по­ля в ли­ней­ной сре­де, ве­ли­чи­ны E и D счи­та­ют­ся ком­п­лекс­ны­ми, то . Под­ста­в­ляя в эту фор­му­лу вы­ра­же­ние (3.29), по­лу­чим: . (3.37) Здесь , ­– (3.38) со­от­вет­ст­вен­но эр­ми­то­ва и ан­ти­эр­ми­то­ва ча­с­ти тен­зо­ра ком­п­лекс­ной про­ни­ца­е­мо­сти. При этом . Во­об­ще, лю­бой тен­зор мо­жет быть пред­ста­в­лен сум­мой эр­ми­то­вой и ан­ти­эр­ми­то­вой ча­с­тей. Из со­от­но­ше­ния (3.37) сле­ду­ет, что в сре­де по­гло­ще­ния нет, ес­ли тен­зор ком­п­лекс­ной ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти не со­дер­жит ан­ти­эр­ми­то­вой ча­с­ти. Ес­ли ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость про­во­дя­ще­го не­маг­нит­но­го ве­ще­ст­ва чи­с­то дей­ст­ви­тель­ный тен­зор, то есть ди­э­лек­т­ри­че­с­кие по­те­ри от­сут­ст­ву­ют, то

9.3 урав­не­ние Мак­свел­ла (1.28) для пло­ской гар­мо­ни­че­с­кой во­л­ны в изо­троп­ной сре­де E(r, t) = Eexp(–it + ikr) в ви­де [k  E] = H/c. (3.42 [k  E][k  E^*] = k²|E|² – (kE)(kE^*) = (/c)²|H|². С уче­том этой фор­му­лы вы­ра­же­ние (3.41) для плот­но­сти мощ­но­сти дис­си­па­ции в изо­троп­ной сре­де при­ни­ма­ет вид: . (3.43) Из фор­му­лы (3.43) сле­ду­ет, что дис­си­па­ция элек­т­ро­маг­нит­ной энер­гии в сре­де оп­ре­де­ля­ет­ся мни­мы­ми ча­с­тя­ми ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­стей. Ес­ли || << || и || << ||, то дис­си­па­ция за пе­ри­од по­ля ма­ла по срав­не­нию с за­па­сен­ной в ве­ще­ст­ве элек­т­ро­маг­нит­ной энер­ги­ей. Об­ла­с­ти ча­с­тот, в ко­то­рых удо­в­ле­тво­ря­ют­ся эти не­ра­вен­ст­ва, на­зы­ва­ют­ся об­ла­с­тя­ми про­зра­ч­но­сти ве­ще­ст­ва От­ме­тим, что в фор­му­лу (3.43) вхо­дят ком­п­лекс­ные ам­п­ли­ту­ды элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­лей. Ес­ли из­ме­ря­ют­ся дей­ст­ви­тель­ные ам­п­ли­ту­ды по­лей E₀ = Re(E) и Н₀ = Re(Н), то, по­сколь­ку , , фор­му­лу (3.43) мо­ж­но пе­ре­пи­сать в ви­де . (3.45)

10.1 Энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де При вы­во­де урав­не­ния Пойн­тин­га w/t + divS = –(j + j_e)E, (1.46) пред­по­ла­га­лась мгно­вен­ная и ло­каль­ная связь ме­ж­ду ве­к­то­ра­ми по­ля и ин­дук­ции, что спра­ве­д­ли­во толь­ко для не­ди­с­пер­ги­ру­ю­щих сред. Толь­ко в этом слу­чае ве­ли­чи­ны  и  по­сто­ян­ны, и вы­ра­же­ние , (1.47) яв­ля­ет­ся функ­ци­ей со­сто­я­ния. Кро­ме то­го, вы­ра­же­ния (1.47) и (1.48) бы­ли ото­жде­ст­в­ле­ны с плот­но­стью энер­гии и ее по­то­ком со­от­вет­ст­вен­но на ос­но­ва­нии пред­по­ло­же­ния, что ве­ли­чи­на E(j + j_e) рав­на ра­бо­те элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля над за­ря­жен­ны­ми ча­с­ти­ца­ми сре­ды. Это ут­вер­жде­ние так­же спра­ве­д­ли­во не все­гда. Ве­ли­чи­на Ej_e дей­ст­ви­тель­но рав­на ра­бо­те элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля над сто­рон­ни­ми за­ря­да­ми, по­сколь­ку по оп­ре­де­ле­нию дви­же­ние сто­рон­них за­ря­дов не за­ви­сит от ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го по­ля. В об­щем слу­чае ра­бо­та по­ля над сре­дой в еди­ни­цу вре­ме­ни в еди­ни­це объ­е­ма рав­на . Вы­чи­с­ле­ние двух пер­вых сла­га­е­мых в пра­вой ча­с­ти этой фор­му­лы и вы­де­ле­ние из них дис­си­па­тив­ной ча­с­ти тре­бу­ет ана­ли­за ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких урав­не­ний дви­же­ния ви­да . (1.8). Ана­ло­ги­ч­но плот­ность энер­гии по­ля в сре­де как сум­му сред­них зна­че­ний энер­гии ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го по­ля и ме­ха­ни­че­с­кой энер­гии ин­ду­ци­ро­ван­ных за­ря­дов сле­ду­ет

10.2Ве­ли­чи­на для ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­ды не яв­ля­ет­ся функ­ци­ей со­сто­я­ния, так как в си­лу фор­му­лы (3.8) зна­че­ние обоб­щен­ной ин­дук­ции за­ви­сит от пред­ше­ст­ву­ю­щих зна­че­ний по­ля. Те­о­ре­ма Пойн­тин­га (1.46) не со­дер­жит ни­ка­ких ука­за­ний на то, как имен­но вы­ра­же­ние в ле­вой ча­с­ти фор­му­лы (3.46) дол­ж­но де­лить­ся на ча­с­ти, опи­сы­ва­ю­щие при­ра­ще­ние энер­гии по­ля в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де, ее дис­си­па­цию и по­ток. Та­кие ука­за­ния мо­ж­но по­лу­чить толь­ко из ма­те­ри­аль­ных урав­не­ний. Од­на­ко, вы­ра­же­ние ра­бо­ты ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го по­ля над ча­с­ти­ца­ми сре­ды че­рез ма­к­ро­ско­пи­че­с­кие по­ле и плот­ность то­ка ин­ду­ци­ро­ван­ных за­ря­дов тре­бу­ет ана­ли­за ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких урав­не­ний дви­же­ния. В на­сто­я­щее вре­мя не уда­ет­ся по­лу­чить об­щее ре­ше­ние та­ких урав­не­ний, вы­ра­жен­ное че­рез фе­но­ме­но­ло­ги­че­с­кое ма­те­ри­аль­ное урав­не­ние ви­да . Вы­ра­же­ние для энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де мо­ж­но по­лу­чить для слу­чая сла­бой дис­си­па­ции, ко­г­да по­ле бли­з­ко к мо­но­хро­ма­ти­че­с­ко­му, и его энер­гия на оп­ре­де­лен­ной ча­с­то­те ве­ли­ка в срав­не­нии с по­те­ря­ми в сре­де. Для ква­зи­мо­но­хро­ма­ти­че­с­ких по­лей E(r, t) = E₀(r, t)exp[i(kr – t)], B(r, t) = B₀(r, t)exp[i(kr – t)] ком­п­лекс­ные ам­п­ли­ту­ды E₀(r, t) и B₀(r, t) яв­ля­ют­ся ме­д­лен­но ме­ня­ю­щи­ми­ся функ­ци­я­ми ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни, то есть |E_0i| << k|E₀|, |E_0i/t| << |E₀|, |B_0i| << k|B₀|, |B_0i/t| << |B₀|. (3.47) Ус­ло­вие ма­лой дис­си­па­ции оз­на­ча­ет, что . (3.48) Под­ста­вив в урав­не­ние

10.3Пре­не­б­ре­гая вто­ры­ми про­из­вод­ны­ми ММА, по­лу­чим: .(3.50) Ус­ред­ним урав­не­ние (3.46) по пе­ри­о­ду Т = 2/, счи­тая при этом ме­д­лен­но ме­ня­ю­щи­е­ся ам­п­ли­ту­ды по­сто­ян­ны­ми. В ле­вой ча­с­ти урав­не­ния (3.46) дей­ст­ви­тель­ные зна­че­ния по­ля и про­из­вод­ной обоб­щен­ной ин­дук­ции возь­мем в ви­де , . Со­от­вет­ст­вен­но, с уче­том фор­му­лы (3.50) .(3.51)

10.4.) Здесь уч­те­но, что сре­да яв­ля­ет­ся про­стран­с­т­вен­но од­но­род­ной. Тре­тье сла­га­е­мое фор­му­лы (3.51) для ста­ци­о­нар­ной сре­ды при­ни­ма­ет вид: (3.54) Под­ста­в­ляя фор­му­лы (3.51), (3.52), (3.53) и (3.54) в ле­вую часть ус­ред­нен­но­го по пе­ри­о­ду урав­не­ния (3.46) и учи­ты­вая, что , , по­лу­чим:

10.5по­лу­ча­ем . Под­ста­в­ляя это со­от­но­ше­ние в фор­му­лу (3.56) и пре­не­б­ре­гая , по­лу­чим: , что сов­па­да­ет с фор­му­лой (1.47). Для ди­с­пер­ги­ру­ю­щей изо­троп­ной маг­нит­ной сре­ды из фор­мул (3.35) и (3.56) ана­ло­ги­ч­но мо­ж­но по­лу­чить вы­ра­же­ние для сред­ней за пе­ри­од плот­но­сти энер­гии в ви­де: , (3.58

11. 1Элек­т­ро­ста­ти­ка про­вод­ни­ков В ди­э­лек­т­ри­ках нет сво­бод­ных за­ря­дов, то есть  = 0, а рас­пре­де­ле­ние сто­рон­них за­ря­дов _e за­да­ет­ся внеш­ни­ми ус­ло­ви­я­ми. Сле­до­ва­тель­но, для ди­э­лек­т­ри­ка си­с­те­ма ста­ци­о­нар­ных урав­не­ний (1.28) , (1.30) , (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37) ) яв­ля­ет­ся замк­ну­той. Для про­вод­ни­ков же плот­ность сво­бод­ных за­ря­дов за­ви­сит от на­пря­жен­но­сти по­ля и не мо­жет быть за­да­на про­из­воль­но. По­э­то­му си­с­те­му урав­не­ний сле­ду­ет до­по­л­нить урав­не­ни­ем не­пре­рыв­но­сти . (1.21) и за­ко­ном Ома j_i = _ikE_k, (1.40) . В ста­ци­о­нар­ном слу­чае при /t = 0 по­лу­ча­ем div j = 0, то есть (_ijE_j)/x_i = 0 (4.1) Урав­не­ние (4.1) за­ме­ня­ет для вну­т­рен­них об­ла­с­тей про­вод­ни­ка урав­не­ние (1.30), ко­то­рое, в свою оче­редь, по­з­во­ля­ет най­ти ста­ци­о­нар­ное рас­пре­де­ле­ние сво­бод­ных за­ря­дов по най­ден­но­му рас­пре­де­ле­нию элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля. Элек­т­ри­че­с­кое по­ле, вы­зы­ва­ю­щее ток в про­вод­ни­ке, про­из­во­дит над пе­ре­ме­ща­ю­щи­ми­ся сво­бод­ны­ми за­ря­да­ми ра­бо­ту. Энер­гия по­ля дис­си­пи­ру­ет в про­вод­ни­ке, пе­ре­хо­дя в те­п­ло. Про­цесс дис­си­па­ции энер­гии в про­вод­ни­ке мо­жет быть ста­ци­о­нар­ным (но не ста­ти­че­с­ким) при на­ли­чии в про­вод­ни­ке сто­рон­них сил f_e не­элек­т­ри­че­с­ко­го про­ис­хо­ж­де­ния, вхо­дя­щих в пра­вую часть урав­не­ния (1.5). Эле­мен­та­ми про­во­дя­щей це­пи, вклю­ча­ю­щи­ми сто­рон­ние си­лы, мо­гут быть ак­ку­му­ля­то­ры

11.2. (4.6) На по­верх­но­сти про­вод­ни­ков дол­ж­ны вы­пол­нять­ся гра­ни­ч­ные ус­ло­вия (1.32) Е_1 = Е_2. и (1.35) D_2n – D_1n = 4. . Из ус­ло­вия не­пре­рыв­но­сти тан­ген­ци­аль­ной со­ста­в­ля­ю­щей элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля с уче­том то­го, что вну­т­ри про­вод­ни­ка Е = 0, сле­ду­ет, что по­тен­ци­ал  по­сто­я­нен на по­верх­но­сти S_i i-го про­вод­ни­ка: . (4.7) Ана­ло­ги­ч­но из ус­ло­вия (1.35), учи­ты­вая, что в ва­ку­у­ме D = E, а в про­вод­ни­ке D = E = 0, по­лу­чим: . (4.8) Пол­ный за­ряд q_i i-го про­вод­ни­ка мо­ж­но най­ти, ин­тег­ри­руя по его по­верх­но­сти со­от­но­ше­ние (4.8): . (4.9) Урав­не­ние Ла­п­ла­са (4.5) с гра­ни­ч­ны­ми ус­ло­ви­я­ми (4.7) и нор­ми­ров­кой (4.6) (за­да­ча Ди­рих­ле) име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние, а функ­ции, удо­в­ле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию Ла­п­ла­са, на­зы­ва­ют­ся гар­мо­ни­че­с­ки­ми. В ча­ст­но­сти, за­да­ние по­тен­ци­а­лов всех про­вод­ни­ков _i од­но­зна­ч­но оп­ре­де­ля­ет рас­пре­де­ле­ние по­верх­но­ст­ных за­ря­дов (4.8) на них и по­тен­ци­а­ла (r) в про­стран­с­т­ве ме­ж­ду про­вод­ни­ка­ми, ко­то­рый мень­ше, чем наи­боль­ший из по­тен­ци­а­лов про­вод­ни­ков _i, и боль­ше, чем наи­мень­ший.

11.3Ана­ло­ги­ч­но, под­ста­в­ляя E(r) = –grad (r), по­лу­чим . Та­ким об­ра­зом, . (4.12) Со­от­но­ше­ние (4.12) на­зы­ва­ет­ся те­о­ре­мой вза­им­но­сти. Пусть в пер­вом слу­чае от­ли­чен от ну­ля по­тен­ци­ал толь­ко i-го про­вод­ни­ка, а во вто­ром – толь­ко j-го. То­г­да из фор­му­лы (4.10) сле­ду­ет, что q_j = C_ji_i, q_i = C_ij_j, а те­о­ре­ма вза­им­но­сти (4.12) при­ни­ма­ет вид _iq_i = _jq_j, от­ку­да сле­ду­ет, что C_ji = C_ij, (4.13) то есть ма­т­ри­ца (4.10) сим­мет­ри­ч­ная.

12.1Тер­мо­ди­на­ми­ка про­вод­ни­ков Рас­смо­т­рим энер­гию элек­т­ро­ста­ти­че­с­ко­го по­ля, со­з­да­ва­е­мо­го за­ря­жен­ны­ми про­вод­ни­ка­ми. Как сле­ду­ет из фор­му­лы , (1.47) , плот­ность энер­гии элек­т­ро­ста­ти­че­с­ко­го по­ля рав­на w = ED/(8). Так как вну­т­ри про­вод­ни­ков Е = 0, а вне их D = E, то для по­л­ной энер­гии по­ля по ана­ло­гии с вы­во­дом со­от­но­ше­ния (4.12) с уче­том фор­мул div E = 0. (4.3), E(r) = – grad (r). (4.4) . (4.6) , . (4.7) и . (4.9) по­лу­ча­ем . (4.14) Здесь ин­те­грал по объ­е­му бе­рет­ся по об­ла­с­ти про­стран­с­т­ва вне про­вод­ни­ков. С уче­том фор­му­лы (4.11) со­от­но­ше­ние (4.14) мо­ж­но за­пи­сать в ви­де ква­д­ра­ти­ч­ной фор­мы: . (4.15) Из ус­ло­вия су­ще­ст­вен­ной по­ло­жи­тель­но­сти ква­д­ра­ти­ч­ной фор­мы (4.15) сле­ду­ет ряд не­ра­венств, ко­то­рым дол­ж­ны удо­в­ле­тво­рять эле­мен­ты ма­т­ри­цы C_ij.

12.2. (4.18) На за­ря­жен­ный про­вод­ник в элек­т­ри­че­с­ком по­ле дей­ст­ву­ет си­ла, по об­ще­му пра­ви­лу рав­ная про­из­вод­ной по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­с­те­мы по ко­ор­ди­на­там про­вод­ни­ка, взя­той с об­рат­ным зна­ком. Фор­маль­но мо­ж­но най­ти эту си­лу диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем со­от­но­ше­ний (4.16) или (4.18). Так, для си­с­те­мы изо­ли­ро­ван­ных про­вод­ни­ков с фи­к­си­ро­ван­ны­ми за­ря­да­ми . (4.19) Од­на­ко на пра­к­ти­ке удоб­нее вы­ра­жать да­в­ле­ние, то есть си­лу, дей­ст­ву­ю­щую на еди­ни­цу по­верх­но­сти про­вод­ни­ка, че­рез на­пря­жен­ность по­ля вбли­зи этой по­верх­но­сти. Ес­ли ма­лый уча­сток пло­ща­дью s пе­ре­ме­с­тит­ся на ма­лое рас­сто­я­ние dr, то при не­из­мен­ном по­л­ном за­ря­де про­вод­ни­ка ос­та­нет­ся по­сто­ян­ным плот­ность по­верх­но­ст­но­го за­ря­да  и, в си­лу фор­му­лы (4.8), по­ле Е на по­верх­но­сти про­вод­ни­ка. Из­ме­не­ние энер­гии по­ля со­ста­вит dW = –wsndr = –E²sndr/(8), где n –внеш­няя нор­маль к по­верх­но­сти про­вод­ни­ка. По­сколь­ку на по­верх­но­сти про­вод­ни­ка E = nE, для си­лы f, дей­ст­ву­ю­щей на еди­ни­цу по­верх­но­сти про­вод­ни­ка, с уче­том фор­му­лы (4.8) по­лу­ча­ем f = EE/(8) = E/2. (4.20

по­лу­чим . (4.29) Для эле­мен­та од­но­род­ной сре­ды, по­ме­щен­ной в по­сто­ян­ное элек­т­ри­че­с­кое по­ле, с уче­том фор­му­лы (4.29) по­лу­ча­ем: , от­ку­да сле­ду­ет, что . (4.30) Из фор­му­лы (4.30) сле­ду­ет, что ес­ли ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость ли­ней­но за­ви­сит от плот­но­сти, что ха­ра­к­тер­но для га­зов, плаз­мы и дру­гих раз­ре­жен­ных сред, то есть  = 1 + с, то эф­фе­к­тив­ное по­ле сов­па­да­ет со сред­ним по­лем в сре­де. В кон­ден­си­ро­ван­ных сре­дах ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость яв­ля­ет­ся не­ли­ней­ной функ­ци­ей плот­но­сти и эф­фе­к­тив­ное по­ле от­ли­ч­но от сре­д­не­го. Со­от­но­ше­ние (4.30) по­з­во­ля­ет ус­та­но­вить связь ме­ж­ду ма­к­ро­ско­пи­че­с­кой ве­ли­чи­ной – ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­стью – и ми­к­ро­ско­пи­че­с­кой атом­ной по­ля­ри­зу­е­мо­стью. По­сколь­ку р = _аЕ­эф, то Р = ( – 1)/(4)Е = np = n_аЕ­эф. То­г­да . (4.31) n = b, по­лу­чим: . (4.32

. (1.15) как сре­д­не­го ди­поль­но­го мо­мен­та сре­ды не­об­хо­ди­мо най­ти сме­ще­ние свя­зан­ных за­ря­дов под дей­ст­ви­ем элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля в сре­де. При этом не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать, что си­ла, дей­ст­ву­ю­щая на при­на­д­ле­жа­щий сре­де свя­зан­ный за­ряд, оп­ре­де­ля­ет­ся не сред­ним по­лем, ко­то­рое скла­ды­ва­ет­ся из по­ля внеш­них ис­то­ч­ни­ков и са­мо­со­г­ла­со­ван­но­го по­ля, со­з­да­ва­е­мо­го все­ми за­ря­да­ми сре­ды, вклю­чая рас­сма­т­ри­ва­е­мый. Си­ла же, дей­ст­ву­ю­щая на рас­сма­т­ри­ва­е­мый за­ряд, оп­ре­де­ля­ет­ся по­лем, со­з­дан­ным все­ми за­ря­да­ми сре­ды, кро­ме рас­сма­т­ри­ва­е­мо­го. Хо­тя чи­с­ло всех ос­таль­ных за­ря­дов в сре­де мо­жет быть очень ве­ли­ко, вклад вы­де­лен­но­го за­ря­да в сум­мар­ное по­ле в бли­жай­шей ок­ре­ст­но­сти это­го за­ря­да мо­жет быть до­с­та­то­ч­но ве­лик. По­ле, дей­ст­ву­ю­щее на от­дель­ную ча­с­ти­цу сре­ды или на от­дель­ный по­ля­ри­зу­ю­щий­ся эле­мент сре­ды, на­зы­ва­ет­ся эф­фе­к­тив­ным по­лем. Эф­фе­к­тив­ное элек­т­ри­че­с­кое по­ле не мень­ше сре­д­не­го. Рас­смо­т­рим эф­фе­к­тив­ное по­ле в сре­де на при­ме­ре жид­ко­го од­но­род­но­го изо­троп­но­го ди­э­лек­т­ри­ка. В слу­чае твер­до­го ди­э­лек­т­ри­ка при­ро­да эф­фе­к­тив­но­го по­ля не ме­ня­ет­ся, но опи­са­ние его ус­ло­ж­ня­ет­ся, по­сколь­ку си­лы, дей­ст­ву­ю­щие на эле­мент сре­ды, при­во­дят не толь­ко к из­ме­не­нию плот­но­сти, как в жид­ко­сти, но и к сдви­го­вым на­пря­же­ни­ям. Пусть элек­т­ри­че­с­кое по­ле в жид­ко­сти со­з­да­ет­ся не­под­ви­ж­ны­ми сто­рон­ни­ми за­ря­да­ми и ос­та­ет­ся по­сто­ян­ным при из­ме­не­нии плот­но­сти жид­ко­сти. То­г­да из­ме­не­ние энер­гии ста­ци­о­нар­но­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля в сре­де под дей­ст­ви­ем сил эф­фе­к­тив­но­го по­ля свя­за­но толь­ко с из­ме­не­ни­ем ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти сре­ды. Из фор­му­лы ,

– (4.41) сре­д­нее зна­че­ние ква­д­ра­та ди­поль­но­го мо­мен­та сфе­ры за счет те­п­ло­вых флу­к­ту­а­ций. По­сколь­ку D = E = E + 4P, а , то из фор­му­лы (4.40) сле­ду­ет: . Этой фор­му­ле удоб­но при­дать дру­гой вид , (4.42) свя­зы­ва­ю­щий сред­ний ква­д­рат спон­тан­но­го (флу­к­ту­а­ци­он­но­го) ди­поль­но­го мо­мен­та сфе­ри­че­с­кой об­ла­с­ти в от­сут­ст­вии элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля с ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­стью сре­ды. Та­кая связь яв­ля­ет­ся ча­ст­ным слу­ча­ем флу­к­ту­а­ци­он­но-дис­си­па­тив­ной те­о­ре­мы. Вы­ра­зим вхо­дя­щий в фор­му­лу (4.42) сред­ний ква­д­рат ди­поль­но­го мо­мен­та об­ла­с­ти как сум­му ди­поль­ных мо­мен­тов со­ста­в­ля­ю­щих эту об­ласть ча­с­тиц (ато­мов, мо­ле­кул, эле­мен­тар­ных яче­ек и т. д.). Счи­тая ча­с­ти­цы оди­на­ко­вы­ми, а их плот­ность рав­ной n, с уче­том фор­му­лы (4.41) по­лу­ча­ем: . (4.43) Здесь (u) –

Эта энер­гия вклю­ча­ет в се­бя как вза­и­мо­дей­ст­вие рас­сма­т­ри­ва­е­мых за­ря­дов друг с дру­гом, так и их вза­и­мо­дей­ст­вие с за­ря­да­ми вне вы­де­лен­ной сфе­ры. То­г­да по­тен­ци­аль­ная энер­гия за­ря­дов сфе­ры в од­но­род­ном внеш­нем по­ле Е при­мет вид: , (4.37) где для сум­мар­но­го ди­поль­но­го мо­мен­та, со­з­да­ва­е­мо­го за­ря­да­ми сфе­ры, вве­де­но обо­з­на­че­ние . Пред­по­ла­га­ет­ся, что в от­сут­ст­вии внеш­не­го по­ля все на­пра­в­ле­ния ве­к­то­ра рав­но­прав­ны, по­э­то­му энер­гия U₀ за­ви­сит толь­ко от мо­ду­ля ве­к­то­ра . Сфе­ри­че­с­кая об­ласть на­хо­дит­ся в те­п­ло­вом кон­та­к­те с внеш­ней ча­стью ди­э­лек­т­ри­ка и че­рез нее – с тер­мо­ста­том. Плот­ность ве­ро­ят­но­сти то­го, что сфе­ра ока­жет­ся в со­сто­я­нии с энер­ги­ей да­ет­ся рас­пре­де­ле­ни­ем Больц­ма­на . (4.38) Вы­чи­с­лим сре­д­нее зна­че­ние

­вод­ни­ка вну­т­рен­ней: . Так как на по­верх­но­сти про­вод­ни­ка в си­лу ус­ло­вия . (4.7) _i = const, вы­ра­же­ние для ра­бо­ты мо­ж­но пред­ста­вить в ви­де объ­ем­но­го ин­те­гра­ла: .(4.33) При вы­во­де фор­му­лы (4.33) ис­поль­зо­ва­но урав­не­ние E(r) = – grad (r). (4.4) E(r) = –grad (r) и то­ж­де­ст­во div ( D) =  div D + D grad . Ин­те­грал в со­от­но­ше­нии (4.33) бе­рет­ся по все­му объ­е­му вне про­вод­ни­ков, при­чем ин­те­грал по бес­ко­не­ч­но уда­лен­ной по­верх­но­сти ра­вен ну­лю. По­сколь­ку все сво­бод­ные и сто­рон­ние за­ря­ды со­сре­до­то­че­ны на внеш­них про­вод­ни­ках, вне их в си­лу ус­ло­вия (1.30) div D = 0. Вну­т­ри про­вод­ни­ков элек­т­ри­че­с­кое по­ле и ин­дук­ция рав­ны ну­лю, по­э­то­му ин­тег­ри­ро­ва­ние мо­ж­но рас­про­стра­нить на все про­стран­с­т­во. Ра­бо­та, про­из­ве­ден­ная над изо­ли­ро­ван­ной си­с­те­мой, рав­на из­ме­не­нию ее энер­гии. Ес­ли при по­ля­ри­за­ции ди­э­лек­т­ри­ка его плот­ность не ме­ня­ет­ся, для плот­но­сти F сво­бод­ной энер­гии из фор­му­лы (4.33) по­лу­ча­ем dF = –SdT + ED/(4), (4.34) где S – плот­ность эн­тро­пии. Для рав­но­ве­с­ной си­с­те­мы, ко­г­да ин­дук­ция яв­ля­ет­ся функ­ци­ей со­сто­я­ния ви­да (1.37), ва­ри­а­цию ин­дук­ции в

Ве­ли­чи­на Т_с в фор­му­ле (4.60) на­зы­ва­ет­ся кон­стан­той Кю­ри – Вей­са, для раз­ли­ч­ных сег­не­то­э­лек­т­ри­ков по­ря­док ве­ли­чи­ны по­сто­ян­ной Т_с со­ста­в­ля­ет 10³ ... 10⁵ К. Из за­ко­на Кю­ри – Вей­са (4.60) сле­ду­ет, что вбли­зи тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость па­ра­элек­т­ри­че­с­кой фа­зы ре­з­ко воз­рас­та­ет. В пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­кой фа­зе, как сле­ду­ет из урав­не­ния (4.59), Е= P + P³, (4.61) при­чем по­ля­ри­за­ция со­сто­ит из двух ча­с­тей, спон­тан­ной по­ля­ри­за­ции и ин­ду­ци­ро­ван­ной по­ля­ри­за­ции Р_ин. В сла­бых по­лях Р_ин << Р_сп и Р_ин = –Е/2. Та­ким об­ра­зом, в пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­кой фа­зе ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость так­же силь­но воз­рас­та­ет вбли­зи то­ч­ки Кю­ри, при­чем . (4.62) Урав­не­ние (4.61), ес­ли раз­ре­шить его от­но­си­тель­но по­ля­ри­за­ции Р, да­ет за­ви­си­мость Р(Е) по­ля­ри­за­ции от по­ля. Не­тру­д­но ви­деть, что при  < 0 эта за­ви­си­мость не­од­но­зна­ч­на, при­чем со­сто­я­нию Р(0) = 0 со­от­вет­ст­ву­ет от­ри­ца­тель­ная про­из­вод­ная dP/dE =  < 0, то есть это со­сто­я­ние не­ус­той­чи­во. При плав­ном уве­ли­че­нии на­пря­жен­но­сти элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля по­ля­ри­за­ция ме­ня­ет знак не од­но­вре­мен­но с из­ме­не­ни­ем зна­ка по­ля, а толь­ко то­г­да, ко­г­да по­ле до­с­тиг­нет оп­ре­де­лен­ной ве­ли­чи­ны E_c. Это зна­че­ние по­ля и оп­ре­де­ля­ет ко­эр­ци­тив­ную си­лу. Со­от­вет­ст­вен­но, при плав­ном умень­ше­нии на­пря­жен­но­сти элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля по­ля­ри­за­ция ме­ня­ет знак толь­ко при Е = –Е_с, то есть по­я­в­ля­ет­ся ди­э­лек­т­ри­че­с­кий ги­с­те­ре­зис.

Пе­ре­ход сег­не­то­э­лек­т­ри­ка из па­ра­элек­т­ри­че­с­кой фа­зы, в ко­то­рой спон­тан­ной по­ля­ри­за­ции нет, в пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­кую фа­зу с не­рав­ной ну­лю спон­тан­ной по­ля­ри­за­ци­ей мо­жет быть фа­зо­вым пе­ре­хо­дом I или II ро­да. Не­за­ви­си­мо от ти­па фа­зо­во­го пе­ре­хо­да, тем­пе­ра­ту­ра, при ко­то­рой про­ис­хо­дит пе­ре­ход, на­зы­ва­ет­ся сег­не­то­э­лек­т­ри­че­с­кой тем­пе­ра­ту­рой Кю­ри . На­пра­в­ле­ние ве­к­то­ра спон­тан­ной по­ля­ри­за­ции мо­жет быть из­ме­не­но при на­ло­же­нии внеш­не­го по­ля ко­не­ч­ной ве­ли­чи­ны, на­зы­ва­е­мой ко­эр­ци­тив­ной си­лой. При тем­пе­ра­ту­ре ни­же тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри в ну­ле­вом внеш­нем по­ле сег­не­то­э­лек­т­рик мо­жет раз­бить­ся на об­ла­с­ти с про­ти­во­по­ло­ж­но на­пра­в­лен­ной по­ля­ри­за­ци­ей, на­зы­ва­е­мые до­ме­на­ми. Это свя­за­но с тем, что в слу­чае од­но­до­мен­но­го те­ла ко­не­ч­ных раз­ме­ров вне кри­стал­ла воз­ни­ка­ет элек­т­ри­че­с­кое по­ле, на­зы­ва­е­мое де­по­ля­ри­зу­ю­щим. При раз­би­е­нии сег­не­то­э­лек­т­ри­ка на до­ме­ны де­по­ля­ри­зу­ю­щее по­ле силь­но умень­ша­ет­ся. Раз­би­е­ние на до­ме­ны про­ис­хо­дит так, что сум­ма энер­гии де­по­ля­ри­зу­ю­ще­го по­ля и по­верх­но­ст­ной энер­гии гра­ни­ч­ных сло­ев ми­ни­маль­на. В сег­не­то­э­лек­т­ри­ках гра­ни­ца ме­ж­ду до­ме­на­ми име­ет тол­щи­ну по­ряд­ка не­сколь­ких меж­атом­ных рас­сто­я­ний, у фер­ро­маг­не­ти­ков тол­щи­на пе­ре­ход­ной об­ла­с­ти на­мно­го боль­ше. Рас­смо­т­рим фа­зо­вый пе­ре­ход вто­ро­го ро­да од­но­до­мен­но­го сег­не­то­э­лек­т­ри­ка вбли­зи тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри без уче­та вну­т­рен­них на­пря­же­ний. По­сколь­ку сво­бод­ная энер­гия изо­троп­но­го те­ла не за­ви­сит от на­пра­в­ле­ния ве­к­то­ра по­ля­ри­за­ции Р, она мо­жет быть за­пи­са­на в ви­де ря­да по чет­ным сте­пе­ням спон­тан­ной по­ля­ри­за­ции: F = F₀ + P²/2 + P⁴/4 + ...., (4.53) где F₀ – плот­ность сво­бод­ной энер­гии в па­ра­элек­т­ри­че­с­кой фа­зе. По­ля­ри­за­ция, при ко­то­рой сво­бод­ная энер­гия име­ет экс­тре­маль­ное зна­че­ние, оп­ре­де­ля­ет­ся из ус­ло­вия ра­вен­ст­ва ну­лю про­из­вод­ной вы­ра­же­ния (4.53): P + P³ =

. Про­ин­тег­ри­ру­ем это урав­не­ние, учи­ты­вая, что р(Е = 0) = р₀: . Для не­сжи­ма­е­мых жид­ко­стей плот­ность не за­ви­сит от да­в­ле­ния, по­э­то­му  в по­дын­те­граль­ном вы­ра­же­нии мо­ж­но счи­тать по­сто­ян­ным. В этом слу­чае элек­т­ро­стрик­ци­он­ное из­ме­не­ние да­в­ле­ния, обу­сло­в­лен­ное вклю­че­ни­ем элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля, опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой . (4.47) Ква­д­ра­ти­ч­ная за­ви­си­мость тен­зо­ра на­пря­же­ний (4.46) и элек­т­ро­стрик­ци­он­но­го да­в­ле­ния (4.47) в жид­ко­стях от элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля свя­за­на с тем, что из­ме­не­ние ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти жид­ко­сти обу­сло­в­ле­но толь­ко из­ме­не­ни­ем ее плот­но­сти в дан­ной то­ч­ке. В кри­стал­ли­че­с­ких твер­дых те­лах де­фор­ма­ция, на­при­мер сдви­го­вая, и со­от­вет­ст­ву­ю­щее из­ме­не­ние ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти мо­гут про­ис­хо­дить и без из­ме­не­ния плот­но­сти сре­ды. В этом слу­чае вну­т­рен­ние на­пря­же­ния в сре­де мо­гут ока­зать­ся про­пор­ци­о­наль­ны­ми по­лю. Сре­ды, в ко­то­рых де­фор­ма­ция ли­ней­но за­ви­сит от при­ло­жен­но­го по­ля, на­зы­ва­ют­ся пье­зо­э­лек­т­ри­ка­ми. Для пье­зо­э­лек­т­ри­ка ве­к­тор элек­т­ри­че­с­кой ин­дук­ции за­ви­сит не толь­ко от элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля, но и от тен­зо­ра на­пря­же­ний: D_i = _ijE_j + _ijk_jk.

Ве­ли­чи­ну тер­мо­элек­т­ро­дви­жу­щей си­лы мо­ж­но по­лу­чить из со­от­но­ше­ния (4.63), пе­ре­пи­сан­но­го в ви­де E = (j – grad T)/. (4.75) По­ло­жив для ра­зомк­ну­той це­пи j = 0 и про­ин­тег­ри­ро­вав это со­от­но­ше­ние вдоль це­пи, по­лу­чим: . (4.76) Ко­эф­фи­ци­ен­ты Пель­тье П и Том­со­на  не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Срав­ни­вая со­от­но­ше­ния (4.71), (4.73) и (4.74), по­лу­чим  = Td(П/T)/dT. (4.77) То­г­да фор­му­лу (4.76) мо­ж­но пе­ре­пи­сать в ви­де . (4.78) Фор­му­лы (4.77) и (4.78) на­зы­ва­ют­ся со­от­но­ше­ни­я­ми Том­со­на

Обо­з­на­чим че­рез J_i плот­ность по­то­ка ка­кой-ли­бо фи­зи­че­с­кой ве­ли­чи­ны, то­г­да ско­рость из­ме­не­ния плот­но­сти эн­тро­пии в сре­де рав­на dS/dt = –J_iX_i. (4.65) Ве­ли­чи­ны X_i в со­от­но­ше­нии (4.65) на­зы­ва­ют­ся обоб­щен­ны­ми си­ла­ми, а са­ми по­то­ки J_i вы­ра­жа­ют­ся ли­ней­но че­рез обоб­щен­ные си­лы J_i = _ijX_j (4.66) Фор­му­лу (4.66) мо­ж­но рас­сма­т­ри­вать как оп­ре­де­ле­ние ки­не­ти­че­с­ких ко­эф­фи­ци­ен­тов. Ма­те­ма­ти­че­с­кая фор­му­ли­ров­ка прин­ци­па Он­са­ге­ра, ко­то­рый до­ка­зы­ва­ет­ся в кур­се ста­ти­сти­че­с­кой фи­зи­ки, гла­сит _ij = _ji. (4.67) При на­ли­чии в сре­де те­п­ло­вы­де­ле­ния и гра­ди­ен­та тем­пе­ра­ту­ры за­кон со­хра­не­ния энер­гии при­ни­ма­ет вид dS/dt = (jE – div s)/T = ­–[–jE/T – s grad (1/T)] – div (s/T) (4.68) По­с­лед­нее сла­га­е­мое в пра­вой ча­с­ти фор­му­лы (4.68) при ин­тег­ри­ро­ва­нии по объ­е­му дол­ж­но об­ра­тить­ся в нуль, так как че­рез внеш­нюю по­верх­ность те­ла по­ток те­п­ла от­сут­ст­ву­ет. То­г­да из вы­ра­же­ний (4.65) и (4.68) сле­ду­ет, что в сре­де име­ют­ся две обоб­щен­ные си­лы X_j = –E/T и X_s = –grad (1/T). В свою оче­редь, из срав­не­ния урав­не­ний (4.63), (4.64) и (4.66) сле­ду­ет, что _jj = T, _js = –T², _sj = T, _ss = –T². (4.69) Из фор­мул (4.69) и прин­ци­па Он­са­ге­ра (4.67) вы­те­ка­ет, что  = –T. (4.70) Вы­ра­же­ние для плот­но­сти по­то­ка те­п­ла (4.64) с уче­том фор­мул (4.63) и (4.70) мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де s = –jT/ – grad T, (4.71) где обо­з­на­че­но  = –( + ²T/). То­г­да из фор­му­лы (4.68) сле­ду­ет, что пол­ная плот­ность мощ­но­сти, вы­де­ля­ю­щей­ся в сре­де в ви­де те­п­ла, рав­на dQ/dt = (j²/ – j grad T)/ + div s = j²/ + jTgrad(/) + div(grad T). (4.72) Пер­вое сла­га­е­мое в пра­вой ча­с­ти фор­му­лы (4.72) яв­ля­ет­ся джо­у­ле­вым те­п­ло­вы­де­ле­ни­ем, тре­тье – обу­сло­в­ле­но те­п­ло­про­вод­но­стью. Вто­рое же сла­га­е­мое свя­за­но с тер­мо­элек­т­ри­че­с­ки­ми эф­фе­к­та­ми. Его вклад в те­п­ло­вы­де­ле­ние ли­не­ен по j, по­э­то­му он мо­жет быть как по­ло­жи­тель­ным, так и от­ри­ца­тель­ным, в за­ви­си­мо­сти от на­пра­в­ле­ния то­ка.