14

13. 1Элек­т­ро­ста­ти­ка ди­э­лек­т­ри­ков В ди­э­лек­т­ри­ках в от­ли­чие от про­вод­ни­ков от­сут­ст­ву­ют сво­бод­ные за­ря­ды, и не мо­жет су­ще­ст­во­вать ста­ци­о­нар­ный элек­т­ри­че­с­кий ток, но мо­гут су­ще­ст­во­вать на­ве­ден­ные объ­ем­ные за­ря­ды, объ­ем­ная плот­ность ко­то­рых в си­лу фор­мул (1.16) и D = Е + 4Р, (1.24) рав­на  = –div P = div (E – D)/4. (4.21) Про­ин­тег­ри­ру­ем урав­не­ние (4.21) по объ­е­му бес­ко­не­ч­но ма­ло­го ци­лин­д­ра, рас­по­ло­жен­но­го в пе­ре­ход­ном слое так, что его вы­со­та  есть тол­щи­на пе­ре­ход­но­го слоя, а ос­но­ва­ние пло­ща­дью S па­рал­лель­но воз­ни­ка­ю­щей при   0 гра­ни­це раз­де­ла. Ис­поль­зуя те­о­ре­му о сре­д­нем и те­о­ре­му Га­ус­са – Ост­ро­град­ско­го, учи­ты­вая, что в ва­ку­у­ме Р = 0 и пе­ре­хо­дя к пре­де­лу   0, най­дем плот­ность по­верх­но­ст­ных свя­зан­ных за­ря­дов:  = P_n. (4.22) Со­от­но­ше­ния (1.30) , D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37) и E(r) = – grad (r). (4.4) по­з­во­ля­ют по­лу­чить урав­не­ние для по­тен­ци­а­ла элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля в ди­э­лек­т­ри­ке . (4.23) В слу­чае, ко­г­да сре­да элек­т­ри­че­с­ки од­но­род­ная, изо­троп­ная и мо­ж­но пре­не­б­речь про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­си­ей, урав­не­ние (4.23) пре­вра­ща­ет­ся в урав­не­ние Пу­ас­со­на  = –4_е/. (4.24) Гра­ни­ч­ные ус­ло­вия (1.32) Е_1 = Е_2. и (1.35) D_2n – D_1n = 4. для урав­не­ния (4.24) при­ни­ма­ют вид: ₁ =₂, ₁₁/n – ₂₂/n = 4_e. (4.25) В яв­ном ви­де ста­ти­че­с­кая ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость мо­жет быть вы­чи­с­ле­на толь­ко в рам­ках той или иной мо­де­ли ве­ще­ст­ва. Для вы­чи­с­ле­ния по­ля­ри­за­ции по фор­му­ле

13.2(1.47) сле­ду­ет, что . (4.26) Из­ме­не­ние ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти сре­ды при ее де­фор­ма­ции, опи­сы­ва­е­мой ве­к­то­ром u, свя­за­но, во-пер­вых, с пе­ре­но­сом эле­мен­та сре­ды из то­ч­ки r – u в то­ч­ку r. Обу­сло­в­лен­ное этим из­ме­не­ние ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти рав­но (r – u) – (r) = –u grad . Во-вто­рых, де­фор­ма­ция вы­зы­ва­ет из­ме­не­ние плот­но­сти сре­ды d = – div u. По­э­то­му по­л­ное из­ме­не­ние ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти сре­ды рав­но  = –u grad  –  div u (/) (4.27) Под­ста­в­ляя фор­му­лу (4.27) в вы­ра­же­ние (4.26) и учи­ты­вая, что из­ме­не­ние энер­гии по­ля рав­но взя­той с об­рат­ным зна­ком ра­бо­те сил, дей­ст­ву­ю­щих на сре­ду, по­лу­чим: . (4.28) Для то­го что­бы най­ти плот­ность элек­т­ри­че­с­кой си­лы f, пре­об­ра­зу­ем вто­рое сла­га­е­мое в ле­вой ча­с­ти со­от­но­ше­ния (4.28) так, что­бы ве­к­тор де­фор­ма­ции u вхо­дил в не­го муль­ти­п­ли­ка­тив­но, как и в пер­вое сла­га­е­мое: . Под­ста­в­ляя эту фор­му­лу в ле­вую часть урав­не­ния (4.28) и вос­поль­зо­вав­шись те­о­ре­мой Ост­ро­град­ско­го – Га­ус­са, пре­об­ра­зу­ем объ­ем­ный ин­те­грал от ди­вер­ген­ции в по­ток ве­к­то­ра  Е²u.(/) че­рез по­верх­ность, ог­ра­ни­чи­ва­ю­щую объ­ем. По­сколь­ку на по­верх­но­сти те­ла ве­к­тор де­фор­ма­ции ра­вен ну­лю и учи­ты­вая про­из­воль­ность ве­к­то­ра де­фор­ма­ции u вну­т­ри те­ла,

14.1 Тер­мо­ди­на­ми­ка ди­э­лек­т­ри­ков По­сколь­ку в ди­э­лек­т­ри­ках от­сут­ст­ву­ют сво­бод­ные за­ря­ды, вну­т­ри них на­пря­жен­ность и ин­дук­ция элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля от­ли­ч­ны от ну­ля, сле­до­ва­тель­но, в си­лу фор­му­лы , (1.47) от­ли­ч­на от ну­ля и плот­ность энер­гии элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля в ди­э­лек­т­ри­ках. От­ме­тим, что при вы­во­де фор­му­лы (1.47) учи­ты­ва­лась связь ви­да (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)) D_i = _ijE_j, пред­ста­в­ля­ю­щая урав­не­ние со­сто­я­ния ди­э­лек­т­ри­ка как тер­мо­ди­на­ми­че­с­кой си­с­те­мы. По­э­то­му фор­му­ла (1.47) спра­ве­д­ли­ва для ди­э­лек­т­ри­ка толь­ко в со­сто­я­нии тер­мо­ди­на­ми­че­с­ко­го рав­но­ве­сия. Об­щие диф­фе­рен­ци­аль­ные тер­мо­ди­на­ми­че­с­кие со­от­но­ше­ния, спра­ве­д­ли­вые да­же для ди­с­пер­ги­ру­ю­щих ди­э­лек­т­ри­ков, мо­ж­но по­лу­чить из рас­смо­т­ре­ния ра­бо­ты, со­вер­ша­е­мой внеш­ним по­лем при по­ля­ри­за­ции ди­э­лек­т­ри­ка. Пусть внеш­нее по­ле E со­з­да­ет­ся про­вод­ни­ка­ми с фи­к­си­ро­ван­ны­ми по­тен­ци­а­ла­ми _i. Бу­дем счи­тать, что эти про­вод­ни­ки на­хо­дят­ся до­с­та­то­ч­но да­ле­ко от рас­сма­т­ри­ва­е­мо­го ди­э­лек­т­ри­ка, так что со­з­да­ва­е­мое ими в от­сут­ст­вии ди­э­лек­т­ри­ка элек­т­ри­че­с­кое по­ле E мо­ж­но счи­тать од­но­род­ным. Рас­смо­т­рим замк­ну­тую си­с­те­му, то есть со­дер­жа­щую ис­то­ч­ни­ки, под­дер­жи­ва­ю­щие фи­к­си­ро­ван­ные по­тен­ци­а­лы про­вод­ни­ков. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая над про­вод­ни­ка­ми при из­ме­не­нии их за­ря­дов рав­на . В свою оче­редь, из­ме­не­ние за­ря­дов на dq_i вы­зы­ва­ет из­ме­не­ние ин­дук­ции во всем про­стран­с­т­ве на D. Из фор­му­лы (1.35) D_2n – D_1n = 4. , учи­ты­вая, что вну­т­ри про­вод­ни­ка D = 0, а весь за­ряд со­сре­до­то­чен на по­верх­но­сти, по­лу­ча­ем, счи­тая нор­маль к по­верх­но­сти про

14.2фор­му­ле (4.34) мо­ж­но за­ме­нить на ее диф­фе­рен­ци­ал. Вве­дем в этом слу­чае но­вый тер­мо­ди­на­ми­че­с­кий по­тен­ци­ал (функ­цию со­сто­я­ния) G = F – ED/(4), при­чем dG = –SdT – DdE/(4). (4.35) Из фор­му­лы (4.35) сле­ду­ет, что D_i = –(G/E_i)_{T, }. С дру­гой сто­ро­ны, из урав­не­ния свя­зи (1.37) вид­но, что _ij = (D_i/E_j)_{T, }. Та­ким об­ра­зом . То есть, тен­зор ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­сти рав­но­ве­с­ной си­с­те­мы яв­ля­ет­ся сим­мет­ри­ч­ным. Вы­де­лим те­перь в рас­сма­т­ри­ва­е­мом ди­э­лек­т­ри­ке сфе­ру объ­е­ма V ма­к­ро­ско­пи­че­с­ки ма­ло­го ра­ди­у­са. В при­сут­ст­вии внеш­не­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля ве­ще­ст­во, на­хо­дя­ще­е­ся вну­т­ри сфе­ры, так же как и в ос­таль­ных то­ч­ках сре­ды, бу­дет по­ля­ри­зо­ва­но. Ес­ли сре­да изо­троп­ная, то ве­к­тор по­ля­ри­за­ции Р па­рал­ле­лен внеш­не­му по­лю Е, при­чем Р = ( – 1)Е/(4). При этом внеш­нее од­но­род­ное по­ле и внеш­ние от­но­си­тель­но сфе­ры свя­зан­ные за­ря­ды в ди­э­лек­т­ри­ке со­з­да­дут вну­т­ри сфе­ры по­ле E, сов­па­да­ю­щее с по­лем вну­т­ри сфе­ри­че­с­кой по­ло­с­ти, вы­ре­зан­ной в од­но­род­ном ди­э­лек­т­ри­ке с про­ни­ца­е­мо­стью : . (4.36) Сле­дуя ме­то­ду Ло­рен­ца и Х. Фре­ли­ха, про­ана­ли­зи­ру­ем по­ве­де­ние ве­ще­ст­ва вну­т­ри вы­де­лен­ной сфе­ры на ос­но­ве ста­ти­сти­че­с­кой фи­зи­ки. Обо­з­на­чим u_i – сме­ще­ние i-го за­ря­да от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия при по­ля­ри­за­ции ве­ще­ст­ва вну­т­ри сфе­ры. Пусть Q(u₁, ..., u_i, ...) – со­во­куп­ность всех та­ких сме­ще­ний, U₀(Q) – по­тен­ци­аль­ная энер­гия за­ря­дов, на­хо­дя­щих­ся вну­т­ри вы­де­лен­ной сфе­ры, в от­сут­ст­вие внеш­не­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля.

14.3про­ек­ции элек­т­ри­че­с­ко­го ди­поль­но­го мо­мен­та сфе­ры на на­пра­в­ле­ние внеш­не­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля Е с уче­том фор­мул (4.37) и (4.38), вы­брав в ка­че­ст­ве по­ляр­ной оси на­пра­в­ле­ние ве­к­то­ра Е: , (4.39) где  – угол ме­ж­ду ве­к­то­ра­ми и Е. Ес­ли на­пря­жен­ность элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля Е ма­ла, так что , то экс­по­нен­ту в фор­му­ле (4.39) мо­ж­но раз­ло­жить в ряд Тей­ло­ра, ог­ра­ни­чи­ва­ясь ли­ней­ным по Е сла­га­е­мым: . Под­ста­в­ляя это вы­ра­же­ние в фор­му­лу (4.39) и вы­пол­няя ин­тег­ри­ро­ва­ние по уг­лам  и , по­лу­чим , (4.40) где обо­з­на­че­но

14.4 плот­ность ве­ро­ят­но­сти то­го, что сме­ще­ние за­ря­дов в вы­бран­ной мо­ле­ку­ле рав­но u, а сме­ще­ние дру­гих за­ря­дов про­из­воль­но. Со­от­вет­ст­вен­но, – сред­ний ди­поль­ный мо­мент сфе­ры при фи­к­си­ро­ван­ном сме­ще­нии за­ря­да толь­ко в этой мо­ле­ку­ле. Ес­ли ди­э­лек­т­рик со­сто­ит из по­ляр­ных мо­ле­кул, аб­со­лют­ную ве­ли­чи­ну ди­поль­но­го мо­мен­та р ко­то­рых мо­ж­но счи­тать по­сто­ян­ной, то (u) = (u – u₀), со­от­вет­ст­вен­но . То­г­да из фор­му­лы (4.43) по­лу­ча­ем . Под­ста­в­ляя это вы­ра­же­ние в со­от­но­ше­ние (4.42), по­лу­чим фор­му­лу Он­са­ге­ра: . (4.44) Из со­от­но­ше­ния (4.44) вид­но, что ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость сре­ды, со­сто­я­щей из по­ляр­ных мо­ле­кул, за­ви­сит от тем­пе­ра­ту­ры.

15.1 Пье­зо­э­лек­т­ри­ки и сег­не­то­э­лек­т­ри­ки Плот­ность объ­ем­ной элек­т­ри­че­с­кой си­лы, дей­ст­ву­ю­щей на жид­кий ди­э­лек­т­рик в элек­т­ри­че­с­ком по­ле, опи­сы­ва­ет­ся фор­му­лой . (4.29) . Ес­ли учесть еще ме­ха­ни­че­с­кую си­лу, свя­зан­ную с гра­ди­ен­том рав­но­ве­с­но­го да­в­ле­ния р₀, для по­л­ной плот­но­сти объ­ем­ной си­лы по­лу­чим фор­му­лу . (4.45) Эта си­ла со­з­да­ет в сре­де тен­зор на­пря­же­ний , (4.46) а так­же при­во­дит к из­ме­не­нию да­в­ле­ния в ди­э­лек­т­ри­ке и его плот­но­сти. Это яв­ле­ние на­зы­ва­ет­ся элек­т­ро­стрик­ци­ей. Ус­ло­вие рав­но­ве­сия ка­ж­до­го эле­мен­та жид­ко­сти за­клю­ча­ет­ся в ра­вен­ст­ве ну­лю по­л­ной си­лы, дей­ст­ву­ю­щие на этот эле­мент. Пол­ная си­ла скла­ды­ва­ет­ся из си­лы f, обу­сло­в­лен­ной элек­т­ри­че­с­ким по­лем, и си­лы, свя­зан­ной с гра­ди­ен­том ги­д­ро­ста­ти­че­с­ко­го да­в­ле­ния, то есть f – grad (p – р₀) = 0. Под­ста­вим в это ус­ло­вие вы­ра­же­ние для си­лы f ви­да (4.46) и уч­тем, что для од­но­род­ной сре­ды grad  = (/) grad . По­с­ле не­сло­ж­ных пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим

15.2(4.48) Тен­зор тре­тье­го ран­га _ijk на­зы­ва­ет­ся пье­зо­э­лек­т­ри­че­с­ким. По­сколь­ку тен­зор на­пря­же­ний _jk сим­мет­ри­чен, то и пье­зо­э­лек­т­ри­че­с­кий тен­зор _ijk сим­мет­ри­чен по двум по­с­лед­ним ин­де­к­сам. За­пи­шем диф­фе­рен­ци­ал плот­но­сти сво­бод­ной энер­гии пье­зо­э­лек­т­ри­ка в элек­т­ри­че­с­ком по­ле. С уче­том энер­гии уп­ру­гой де­фор­ма­ции фор­му­ла (4.34) при­ни­ма­ет вид dF = –SdT + ED/(4) + _ij du_ij, (4.49) где тен­зор де­фор­ма­ции име­ет вид du_ij = (u_i/r_j + u_j/r_i)/2. Здесь u_i – ве­к­тор сме­ще­ния эле­мен­тов сре­ды при де­фор­ма­ции. Ес­ли в ка­че­ст­ве не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных вы­би­ра­ют­ся Т, Е и _ij, удоб­но вве­сти тер­мо­ди­на­ми­че­с­кий по­тен­ци­ал G = F – ED/(4) – _ij u_ij, то­г­да по ана­ло­гии с фор­му­лой dG = –SdT – DdE/(4). (4.35) по­лу­чим dG = –SdT – DdE/(4) – u_ij d_ij. (4.50) Из фор­му­лы (4.50) сле­ду­ет, что u_ij = –(G/_ij)_{Е, Т}. (4.51) С дру­гой сто­ро­ны, ин­тег­ри­руя урав­не­ние (4.50) с уче­том фор­му­лы (4.48), по­лу­чим G(T, _ij, E) = G₀(T, _ij) – _ijE_iE_j/(8) – _ijk E_i _jk. Диф­фе­рен­ци­руя это со­от­но­ше­ние по _ij, с уче­том фор­му­лы (4.51) по­лу­чим: u_ij = –G₀/_ij + _kij E_k. Здесь по­с­лед­нее сла­га­е­мое оп­ре­де­ля­ет де­фор­ма­цию сре­ды, воз­ни­ка­ю­щую при на­ло­же­нии элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля: . (4.52) На­ря­ду с ди­э­лек­т­ри­ка­ми, по­ля­ри­зу­ю­щи­ми­ся под дей­ст­ви­ем внеш­не­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля или ме­ха­ни­че­с­кой де­фор­ма­ции сре­ды, су­ще­ст­ву­ют ве­ще­ст­ва, ко­то­рые са­мо­про­из­воль­но по­ля­ри­зу­ют­ся в не­ко­то­ром ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур. Та­кие ве­ще­ст­ва на­зы­ва­ют­ся сег­не­то­э­лек­т­ри­ка­ми. Сег­не­то­э­лек­т­ри­ки яв­ля­ют­ся элек­т­ри­че­с­ки­ми ана­ло­га­ми фер­ро­маг­не­ти­ков и ино­гда на­зы­ва­ют­ся фер­ро­элек­т­ри­ка­ми. Сег­не­то­э­лек­т­ри­ки от­ли­ча­ют­ся боль­шой ди­э­лек­т­ри­че­с­кой про­ни­ца­е­мо­стью и на­ли­чи­ем пет­ли ди­э­лек­т­ри­че­с­ко­го ги­с­те­ре­зи­са. Сег­не­то­э­лек­т­ри­ки, спон­тан­ная по­ля­ри­за­ция ко­то­рых со­хра­ня­ет­ся во всем ин­тер­ва­ле тем­пе­ра­тур, на­зы­ва­ют­ся пи­ро­э­лек­т­ри­ка­ми.

15.3 P( + P²) = 0. (4.54) Урав­не­ние (4.54) име­ет два кор­ня: Р₁ = 0 и . (4.55) Рав­но­ве­с­но­му со­сто­я­нию со­от­вет­ст­ву­ет ми­ни­мум энер­гии, то есть d²F/dP² > 0. Для со­сто­я­ния с ну­ле­вой по­ля­ри­за­ци­ей Р₁ = 0 это со­от­вет­ст­ву­ет ус­ло­вию  > 0. По­сколь­ку по­ля­ри­за­ция сег­не­то­э­лек­т­ри­ка при тем­пе­ра­ту­ре вы­ше тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри  рав­на ну­лю, а при тем­пе­ра­ту­ре ни­же тем­пе­ра­ту­ры Кю­ри ус­той­чи­ва пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­кая фа­за со спон­тан­ной по­ля­ри­за­ци­ей Р₂  0, то при (T > ) > 0, (T < ) < 0. Сле­до­ва­тель­но, мо­ж­но по­ло­жить () = 0 и раз­ло­жить за­ви­си­мость (T) вбли­зи то­ч­ки T =  в ряд Тей­ло­ра, ог­ра­ни­чив­шись ли­ней­ным чле­ном: . (4.56) Под­ста­в­ляя это со­от­но­ше­ние в урав­не­ние (4.55), по­лу­чим: . (4.57) Во внеш­нем элек­т­ри­че­с­ком по­ле Е вы­ра­же­ние (4.53) для плот­но­сти сво­бод­ной энер­гии Гиб­бса (4.35) при­ни­ма­ет вид G = G₀ + P²/2 + P⁴/4 – РЕ, (4.58) где G₀ = F₀ – E²/(4). Ус­ло­вие (4.54) ус­той­чи­во­го рав­но­ве­сия при этом мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де P + P³ – Е= 0, P + 3P² > 0. (4.59) В сла­бых по­лях из фор­му­лы (4.59) сле­ду­ет, что Е = P, то есть ^–1 есть ди­э­лек­т­ри­че­с­кая вос­при­им­чи­вость ве­ще­ст­ва в па­ра­элек­т­ри­че­с­кой фа­зе. С уче­том со­от­но­ше­ния (4.56) по­лу­ча­ем за­кон Кю­ри – Вей­са . (4.60)

16.1 Ки­не­ти­че­с­кие яв­ле­ния В про­во­дя­щих сре­дах элек­т­ри­че­с­кое по­ле вы­зы­ва­ет пе­ре­ме­ще­ние за­ря­жен­ных ча­с­тиц. В од­но­род­ном изо­троп­ном про­вод­ни­ке, во всех то­ч­ках ко­то­ро­го тем­пе­ра­ту­ра оди­на­ко­ва, элек­т­ри­че­с­кий ток обу­сло­в­лен толь­ко элек­т­ри­че­с­ким по­лем. В ли­ней­ном по по­лю при­бли­же­нии плот­ность то­ка опи­сы­ва­ет­ся за­ко­ном Ома ви­да j_i = _ikE_k, (1.40) j = E. При про­те­ка­нии в сре­де по­сто­ян­но­го то­ка про­ис­хо­дит дис­си­па­ция энер­гии по­ля, плот­ность ко­то­рой в еди­ни­цу вре­ме­ни опи­сы­ва­ет­ся за­ко­ном Джо­у­ля – Лен­ца ви­да – (3.39) q = jE = E² = ^­–1j². По­ми­мо ква­д­ра­ти­ч­но­го по по­лю за­ко­на Джо­у­ля – Лен­ца су­ще­ст­ву­ет и ли­ней­ный эф­фект. Пе­ре­ме­ща­ю­щи­е­ся под дей­ст­ви­ем элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля элек­т­ро­ны вза­и­мо­дей­ст­ву­ют с ио­на­ми сре­ды, по­ро­ж­дая по­ток те­п­ла s = E. В не­од­но­род­ных сре­дах ки­не­ти­че­с­кие про­цес­сы ус­ло­ж­ня­ют­ся. Так, гра­ди­ент тем­пе­ра­ту­ры при­во­дит к диф­фу­зии за­ря­жен­ных ча­с­тиц из бо­лее на­гре­тых об­ла­с­тей в ме­нее на­гре­тые. С этим диф­фу­зи­он­ным дви­же­ни­ем за­ря­дов бу­дут свя­за­ны как до­по­л­ни­тель­ный элек­т­ри­че­с­кий ток, так и по­ток те­п­ла: j = E +  grad T, (4.63) s = E +  grad T. (4.64) Ко­эф­фи­ци­ент  в фор­му­ле (4.63) ха­ра­к­те­ри­зу­ет ве­ли­чи­ну тер­мо­элек­т­ри­че­с­ко­го эф­фе­к­та, а ко­эф­фи­ци­ент  в фор­му­ле (4.64) обу­сло­в­лен обы­ч­ной те­п­ло­про­вод­но­стью. Ко­эф­фи­ци­ен­ты , , ,  и дру­гие по­доб­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты, ко­то­рые опи­сы­ва­ют ре­ак­цию си­с­те­мы на внеш­нее воз­дей­ст­вие, вы­во­дя­щее си­с­те­му из со­сто­я­ния тер­мо­ди­на­ми­че­с­ко­го рав­но­ве­сия, на­зы­ва­ют­ся ки­не­ти­че­с­ки­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Раз­ли­ч­ные ки­не­ти­че­с­кие ко­эф­фи­ци­ен­ты не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Их вза­им­ная связь вы­ра­жа­ет­ся прин­ци­пом сим­мет­рии ки­не­ти­че­с­ких ко­эф­фи­ци­ен­тов Он­са­ге­ра.

16.2Ес­ли ток про­хо­дит че­рез спай двух раз­ли­ч­ных про­вод­ни­ков, то в об­ла­с­ти спая мо­жет по­гло­щать­ся или вы­де­лять­ся те­п­ло. Та­кое яв­ле­ние но­сит на­зва­ние эф­фе­к­та Пель­тье. Ес­ли оба кон­та­к­ти­ру­ю­щих про­вод­ни­ка под­дер­жи­ва­ют­ся при од­ной и той же тем­пе­ра­ту­ре, то те­п­ло­вой по­ток оп­ре­де­ля­ет­ся толь­ко пер­вым сла­га­е­мым в фор­му­ле (4.71). Обо­з­на­чим П = –T/. Эта ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся ха­ра­к­те­ри­сти­кой ме­тал­ла, у раз­ных ме­тал­лов она раз­ная. по­э­то­му раз­ность по­то­ков те­п­ла, под­во­ди­мо­го и уно­си­мо­го то­ком от кон­та­к­та, рав­на s = (П₁ – П₂)j_n. (4.73) Здесь ин­де­к­сы 1 и 2 от­но­сят­ся, со­от­вет­ст­вен­но, к пер­во­му и вто­ро­му про­вод­ни­кам. Знак эф­фе­к­та Пель­тье за­ви­сит от на­пра­в­ле­ния то­ка, че­му со­от­вет­ст­ву­ет вы­де­ле­ние или по­гло­ще­ние те­п­ла на кон­та­к­те. Ес­ли тем­пе­ра­ту­ра раз­ных то­чек од­но­род­но­го по со­ста­ву про­вод­ни­ка раз­ли­ч­на, то grad T  0 и вто­рое сла­га­е­мое в фор­му­ле (4.72) при­ни­ма­ет вид jTgrad(/) = jTgrad(T)d(/)/dT. Обо­з­на­чив  = –Td(/)/dT, по­лу­чим фор­му­лу для плот­но­сти мощ­но­сти те­п­ло­вы­де­ле­ния в про­вод­ни­ке с гра­ди­ен­том тем­пе­ра­ту­ры, по ко­то­ро­му про­те­ка­ет ток q_T = j grad(T). (4.74) Это яв­ле­ние на­зы­ва­ет­ся эф­фе­к­том Том­со­на. Он от­ли­ча­ет­ся от эф­фе­к­та Джо­у­ля – Лен­ца тем, что ли­не­ен по то­ку. По­э­то­му, в за­ви­си­мо­сти от на­пра­в­ле­ния то­ка по от­но­ше­нию к на­пра­в­ле­нию гра­ди­ен­та тем­пе­ра­тур­но­го гра­ди­ен­та, а так­же в за­ви­си­мо­сти от зна­ка ко­эф­фи­ци­ен­та Том­со­на , мо­жет на­блю­дать­ся как по­гло­ще­ние, так и вы­де­ле­ние те­п­ла. Ес­ли при­ве­с­ти в кон­такт три про­вод­ни­ка, из ко­то­рых пер­вый кон­та­к­ти­ру­ет со вто­рым, а вто­рой – с треть­им, при­чем пер­вый и тре­тий сде­ла­ны из од­но­го и то­го же ма­те­ри­а­ла, и под­дер­жи­вать раз­ли­ч­ные тем­пе­ра­ту­ры кон­та­к­тов, со­от­вет­ст­вен­но Т₁ и Т₂, а тем­пе­ра­ту­ру кон­цов це­пи оди­на­ко­вой, то в та­кой це­пи воз­ни­ка­ет раз­ность по­тен­ци­а­лов. Раз­ность по­тен­ци­а­лов, из­ме­рен­ная на кон­цах це­пи, на­зы­ва­ет­ся тер­мо­элек­т­ро­дви­жу­щей си­лой E_T.

из фор­му­лы ­– (3.16) сле­ду­ет . То­г­да из со­от­но­ше­ния (3.37) по­лу­ча­ем – (3.39) за­кон Джо­у­ля – Лен­ца. Ес­ли сре­да изо­троп­ная и не­маг­нит­ная, то , . В изо­троп­ной маг­нит­ной сре­де в со­от­вет­ст­вии с фор­му­лой (3.34) , (3.40) Под­ста­в­ляя со­от­но­ше­ние (3.40) в фор­му­лу (3.37), по­лу­чим: . (3.41) За­пи­шем

Су­ще­ст­вен­но знать, как имен­но ме­ня­лось по­ле во все пред­ше­ст­ву­ю­щие мо­мен­ты. Про­ана­ли­зи­ру­ем ча­ст­ный, но очень ва­ж­ный слу­чай дис­си­па­ции энер­гии мо­но­хро­ма­ти­че­с­ко­го по­ля. Ам­п­ли­ту­да мо­но­хро­ма­ти­че­с­ко­го по­ля по­сто­ян­на. Это оз­на­ча­ет, что су­ще­ст­ву­ет внеш­ний ис­то­ч­ник по­ля, та­кой, что под­вод энер­гии по­ля от ис­то­ч­ни­ка ком­пен­си­ру­ет дис­си­па­цию энер­гии по­ля в сре­де. Энер­гия са­мо­го элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в сре­де как функ­ция со­сто­я­ния яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­с­кой функ­ци­ей и ее из­ме­не­ние за пе­ри­од рав­но ну­лю. Сле­до­ва­тель­но, в си­лу пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки, сред­няя по пе­ри­о­ду Т ра­бо­та элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля над за­ря­жен­ны­ми ча­с­ти­ца­ми сре­ды опи­сы­ва­ет ту часть энер­гии по­ля, ко­то­рая си­с­те­ма­ти­че­с­ки и не­об­ра­ти­мо пе­ре­хо­дит в те­п­ло: . (3.36) Ве­к­тор j в фор­му­ле (3.36) опи­сы­ва­ет пол­ный ин­ду­ци­ро­ван­ный ток, то есть сум­му то­ков про­во­ди­мо­сти, по­ля­ри­за­ции и на­маг­ни­чен­но­сти. В си­лу со­от­но­ше­ний (1.19), . (1.41) (1.42) . Со­от­вет­ст­вен­но для гар­мо­ни­че­с­ких по­лей

(3.55) Урав­не­ние (3.55) име­ет стру­к­ту­ру те­о­ре­мы Пойн­тин­га (1.46), по­сколь­ку в пра­вой его ча­с­ти со зна­ком ми­нус сто­ят сред­ние за пе­ри­од ра­бо­та элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля над внеш­ни­ми за­ря­да­ми и мощ­ность те­п­ло­вых по­терь. По­э­то­му для сред­них за пе­ри­од плот­но­сти энер­гии и по­то­ка энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де по­лу­ча­ем со­от­но­ше­ния: , (3.56) . (3.57) От­ме­тим, что в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де по­ток энер­гии ока­зы­ва­ет­ся не рав­ным ну­лю и в слу­чае без­ви­х­ре­во­го по­ля, ко­г­да В = 0. В этом слу­чае пе­ре­нос энер­гии по­лем обу­сло­в­лен про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­си­ей. Ес­ли сре­да яв­ля­ет­ся изо­троп­ной и маг­нит­ной, но не ди­с­пер­ги­ру­ю­щей, то, счи­тая про­ни­ца­е­мо­сти  и  не за­ви­ся­щи­ми от ча­с­то­ты, из фор­му­лы . (3.35)

Про­из­ве­де­ние пред­ста­в­ля­ет со­бой эр­ми­то­вый тен­зор вто­ро­го ран­га. За­пи­шем и уч­тем, что свер­т­ка двух эр­ми­то­вых тен­зо­ров – дей­ст­ви­тель­ная ве­ли­чи­на, а свер­т­ка эр­ми­то­ва и ан­ти­эр­ми­то­ва тен­зо­ров – чи­с­то мни­мая ве­ли­чи­на. По­э­то­му, с уче­том фор­му­лы (3.37) по­лу­чим , (3.52) где q – сред­няя за пе­ри­од дис­си­па­ция энер­гии. В двух ос­тав­ших­ся сла­га­е­мых в пра­вой ча­с­ти фор­му­лы (3.51) на ос­но­ва­нии со­от­но­ше­ния (3.48) пре­не­б­ре­жем ан­ти­эр­ми­то­вой ча­стью тен­зо­ра ком­п­лекс­ной вос­при­им­чи­во­сти, то есть, по­ло­жим . Вы­де­ляя в тен­зо­ре эр­ми­то­вую и ан­ти­эр­ми­то­вую со­ста­в­ля­ю­щие по фор­му­лам (3.38) и поль­зу­ясь сно­ва тем, что свер­т­ка эр­ми­то­ва и ан­ти­эр­ми­то­ва тен­зо­ров чи­с­то мни­мая ве­ли­чи­на, по­лу­чим (3.53

, (3.4) для обоб­щен­ной ин­дук­ции, обу­сло­в­лен­ной во­л­ной ММА раз­ло­же­ние ме­д­лен­но ме­ня­ю­щей­ся ам­п­ли­ту­ды в ряд Тей­ло­ра E₀(r – R, t – ) = E₀(r, t) – (R)E₀(r, t) – E₀(r, t)/t + ..., (3.49) по­лу­чим с уче­том со­от­но­ше­ния (3.15):

за­пи­сать в ви­де , где  – по­тен­ци­ал ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля. Вы­чи­с­ле­ние та­ких сред­них и их вы­ра­же­ние че­рез те­ку­щие зна­че­ния ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких по­лей в на­сто­я­щее вре­мя не­воз­мо­ж­но. Ум­но­жим обе ча­с­ти урав­не­ния . (1.44) ска­ляр­но на Е и вы­чтем из по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния урав­не­ние (1.28) , ска­ляр­но ум­но­жен­ное на В: . (3.46) Урав­не­ние (3.46) от­ли­ча­ет­ся от фор­му­лы Пойн­тин­га (1.46) не толь­ко тем, что в его ле­вую часть вхо­дят маг­нит­ная ин­дук­ция и обоб­щен­ная ин­дук­ция вме­сто на­пря­жен­но­сти маг­нит­но­го по­ля и элек­т­ри­че­с­кой ин­дук­ции. По­сколь­ку пра­вая часть со­дер­жит толь­ко ра­бо­ту по­ля над сто­рон­ни­ми за­ря­да­ми, а ра­бо­та над ин­ду­ци­ро­ван­ны­ми (сво­бод­ны­ми и свя­зан­ны­ми) за­ря­да­ми вхо­дит в ле­вую часть, вы­ра­же­ние оп­ре­де­ля­ет од­но­вре­мен­но и при­ра­ще­ние энер­гии по­ля в сре­де, и ее дис­си­па­цию и, как бу­дет по­ка­за­но да­лее, вно­сит вклад в по­ток энер­гии.

Гар­мо­ни­че­с­кая функ­ция (r) не име­ет экс­тре­му­мов в про­стран­с­т­ве ме­ж­ду про­вод­ни­ка­ми. В си­лу од­но­зна­ч­но­сти ре­ше­ния за­да­чи Ди­рих­ле (4.7) и ли­ней­но­сти урав­не­ния Ла­п­ла­са (4.5) за­ряд ка­ж­до­го про­вод­ни­ка ви­да (4.9) яв­ля­ет­ся ли­ней­ной функ­ци­ей по­тен­ци­а­лов всех про­вод­ни­ков: . (4.10) Ди­а­го­наль­ные эле­мен­ты C_ii ма­т­ри­цы (4.10) на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми ем­ко­сти, а не­ди­а­го­наль­ные эле­мен­ты C_ij, i  j – ко­эф­фи­ци­ен­та­ми элек­т­ро­ста­ти­че­с­кой ин­дук­ции. Эле­мен­ты C_ij ма­т­ри­цы (4.10) за­ви­сят от фор­мы, раз­ме­ра и вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния про­вод­ни­ков. Ре­ше­ние си­с­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний (4.10) мо­ж­но за­пи­сать в ви­де . (4.11) Рас­смо­т­рим си­с­те­му не­под­ви­ж­ных про­вод­ни­ков. Пусть при по­тен­ци­а­лах _i эти про­вод­ни­ки име­ют за­ря­ды q_i, а при по­тен­ци­а­лах _i эти про­вод­ни­ки име­ют за­ря­ды со­от­вет­ст­вен­но q_i. Обо­з­на­чим E(r) и E(r) элек­т­ри­че­с­кое по­ле вне про­вод­ни­ков в пер­вом и во вто­ром слу­ча­ях со­от­вет­ст­вен­но и рас­смо­т­рим ин­те­грал , где ин­тег­ри­ро­ва­ние ве­дет­ся по все­му про­стран­с­т­ву вне про­вод­ни­ков. Под­ста­в­ляя в ин­те­грал фор­му­лу (4.4) E(r) = –grad (r), вос­поль­зо­вав­шись то­ж­де­ст­вом div ( E) =  div E + E grad , те­о­ре­мой Га­ус­са и урав­не­ни­я­ми (4.3), (4.6), (4.7) и (4.9) по­лу­чим: .

, галь­ва­ни­че­с­кие эле­мен­ты, уча­ст­ки с гра­ди­ен­том тем­пе­ра­ту­ры и т. д. В об­ла­с­ти та­ких эле­мен­тов за­кон Ома в фор­ме (1.40) не­при­ме­ним. По­ло­жи­тель­ная ра­бо­та над за­ря­да­ми сто­рон­них сил в этих эле­мен­тах ком­пен­си­ру­ет умень­ше­ние энер­гии при дис­си­па­ции в про­вод­ни­ках. Рас­смо­т­рим си­с­те­му за­ря­жен­ных про­вод­ни­ков, по­ме­щен­ную в ва­ку­ум ( =  = 1,  = _e = 0, j = j_e = 0). В ста­ти­че­с­ком слу­чае на­пря­жен­ность элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля вну­т­ри ка­ж­до­го про­вод­ни­ка рав­на ну­лю, а в про­стран­с­т­ве ме­ж­ду про­вод­ни­ка­ми удо­в­ле­тво­ря­ет ус­ред­нен­ным урав­не­ни­ям , (1.1) , (1.2) rot E = 0, (4.2) div E = 0. (4.3) Ус­ло­вие (4.2) по­з­во­ля­ет вме­сто ве­к­тор­ной функ­ции E(r) вы­брать ска­ляр­ную функ­цию (r), свя­зан­ную с E(r) со­от­но­ше­ни­ем E(r) = – grad (r). (4.4) Под­ста­нов­ка со­от­но­ше­ния (4.4) в урав­не­ние (4.2) оно об­ра­ща­ет­ся в то­ж­де­ст­во, а из урав­не­ния (4.3) по­лу­ча­ем, что в про­стран­с­т­ве ме­ж­ду про­вод­ни­ка­ми ска­ляр­ный по­тен­ци­ал удо­в­ле­тво­ря­ет урав­не­нию Ла­п­ла­са  = 0. (4.5) Ска­ляр­ный по­тен­ци­ал име­ет смысл по­тен­ци­аль­ной энер­гии еди­ни­ч­но­го то­че­ч­но­го за­ря­да в элек­т­ри­че­с­ком по­ле, в ча­ст­но­сти раз­ность зна­че­ний по­тен­ци­а­ла  в то­ч­ках 1 и 2 да­ет ра­бо­ту сил по­ля при пе­ре­ме­ще­нии еди­ни­ч­но­го за­ря­да из то­ч­ки 1 в то­ч­ку 2. Ска­ляр­ный по­тен­ци­ал оп­ре­де­лен с то­ч­но­стью до про­из­воль­ной по­сто­ян­ной, обы­ч­но ее оп­ре­де­ля­ют, тре­буя об­ра­ще­ния в нуль по­тен­ци­а­ла на бес­ко­не­ч­но­сти. Это тре­бо­ва­ние мо­жет быть вы­пол­не­но, ко­г­да за­ря­ды рас­по­ло­же­ны в ог­ра­ни­чен­ной об­ла­с­ти про­стран­с­т­ва. Пред­по­ла­гая, что си­с­те­ма про­вод­ни­ков за­ни­ма­ет ог­ра­ни­чен­ное про­стран­с­т­во, нор­ми­ру­ем по­тен­ци­ал так, что­бы

В ча­ст­но­сти все ко­эф­фи­ци­ен­ты ем­ко­сти C_ii > 0, а все ко­эф­фи­ци­ен­ты элек­т­ро­ста­ти­че­с­кой ин­дук­ции C_ij < 0 при i  j. Си­с­те­ма за­ря­жен­ных про­вод­ни­ков по­ми­мо элек­т­ро­ста­ти­че­с­ко­го по­ля и вза­и­мо­дей­ст­ву­ю­щих с ним сво­бод­ных за­ря­дов со­дер­жит еще и са­ми про­вод­ни­ки как ма­те­ри­аль­ные те­ла, по­э­то­му пол­ная энер­гия си­с­те­мы рав­на . (4.16) Здесь W₀(T, V) – энер­гия си­с­те­мы не­за­ря­жен­ных про­вод­ни­ков. Диф­фе­рен­ци­руя со­от­но­ше­ние по q_i, по­лу­чим с уче­том фор­му­лы (4.11): . (4.17) Та­ким об­ра­зом, по­тен­ци­ал _i име­ет смысл обоб­щен­ной си­лы, от­но­ся­щей­ся к обоб­щен­ной ко­ор­ди­на­те q_i. В со­от­но­ше­нии (4.16) в ка­че­ст­ве не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных вы­бра­ны за­ря­ды на про­вод­ни­ках q_i, так как в си­с­те­ме изо­ли­ро­ван­ных про­вод­ни­ков удоб­нее за­да­вать имен­но за­ря­ды. Си­с­те­ма с за­дан­ны­ми по­тен­ци­а­ла­ми про­вод­ни­ков не яв­ля­ет­ся замк­ну­той. Для под­дер­жа­ния по­тен­ци­а­лов по­сто­ян­ны­ми не­об­хо­ди­мо со­еди­нять про­вод­ни­ки с ка­ки­ми-то "ре­зер­ву­а­ра­ми", то есть про­вод­ни­ка­ми, об­ла­да­ю­щи­ми бес­ко­не­ч­но боль­шой ем­ко­стью. За­ря­жа­ясь за­ря­дом q_i, про­вод­ник от­би­ра­ет от "ре­зер­ву­а­ра" энер­гию q_i_i. По­э­то­му энер­гия замк­ну­той си­с­те­мы, со­сто­я­щей из про­вод­ни­ков, по­ля и "ре­зер­ву­а­ров", с уче­том фор­му­лы (4.10) рав­на