14

5.1 Урав­не­ния Мин­ков­ско­го Фор­маль­но урав­не­ния Мак­свел­ла для дви­жу­щей­ся сре­ды мо­гут быть по­лу­че­ны ус­ред­не­ни­ем со­от­но­ше­ний (, (1.1) , (1.2) , (1.3) , (1.4) . (1.5)) с уче­том пре­об­ра­зо­ва­ний Ло­рен­ца . (2.5) , (2.6) . (2.8) для ско­ро­стей, по­лей, плот­но­стей за­ря­да и то­ка. Од­на­ко да­же при дви­же­нии с не­ре­ля­ти­ви­ст­ски­ми ско­ро­стя­ми, удоб­нее, как это бы­ло от­ме­че­но Г. Мин­ков­ским, рас­сма­т­ри­вать ре­ля­ти­ви­ст­скую за­да­чу, а за­тем, при не­об­хо­ди­мо­сти, пе­ре­хо­дить к не­ре­ля­ти­ви­ст­ско­му пре­де­лу.

5.2эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся ком­по­нен­ты ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких по­лей. Для это­го тен­зо­ра спра­ве­д­ли­во урав­не­ние . (2.13) , ко­то­рое эк­ви­ва­лент­но пер­вой па­ре (1.28) и (1.29) урав­не­ний Мак­свел­ла в сре­де. С дру­гой сто­ро­ны, бу­ду­чи спра­ве­д­ли­вой как для не­под­ви­ж­ных, так и для дви­жу­щих­ся сред, вто­рая па­ра урав­не­ний (1.30) ,(1.31) дол­ж­на со­хра­нять свой вид при пре­об­ра­зо­ва­ни­ях Ло­рен­ца. Для по­ля в пу­с­то­те ве­к­то­ры D и H сов­па­да­ют с ве­к­то­ра­ми Е и В. По­э­то­му для обес­пе­че­ния ре­ля­ти­ви­ст­ской ин­ва­ри­ант­но­сти урав­не­ний (1.30) и (1.31) не­об­хо­ди­мо, что­бы ком­по­нен­ты ве­к­то­ров D и H пре­об­ра­зо­вы­ва­лись как ком­по­нен­ты 4-тен­зо­ра Н_ik, по­стро­ен­но­го ана­ло­ги­ч­но 4-тен­зо­ру F_ik ви­да (2.10): . (2.15) Вве­ден­ный тен­зор удо­в­ле­тво­ря­ет урав­не­нию, ана­ло­ги­ч­но­му урав­не­нию . (2.14) для по­ля в пу­с­то­те и яв­ля­ю­ще­му­ся

5.3 Гра­ни­ч­ные ус­ло­вия Кро­ме ма­те­ри­аль­ных урав­не­ний в слу­чае дви­жу­щей­ся сре­ды ну­ж­но пе­ре­фор­му­ли­ро­вать и гра­ни­ч­ные ус­ло­вия к урав­не­ни­ям по­ля. Гра­ни­ч­ные ус­ло­вия в со­пут­ст­ву­ю­щей си­с­те­ме ко­ор­ди­нат име­ют вид (1.32) Е_1 = Е_2. [n(H₁ – H₂)] = 4i/c. (1.33) B_1n = B_2n. (1.34) D_2n – D_1n = 4. (1.35)толь­ко в том слу­чае, ко­г­да ча­ст­ные про­из­вод­ные по вре­ме­ни, вхо­дя­щие в урав­не­ния Мак­свел­ла, яв­ля­ют­ся ог­ра­ни­чен­ны­ми ве­ли­чи­на­ми, как это име­ет ме­с­то в не­под­ви­ж­ной сре­де. Ес­ли же те­ло дви­жет­ся, то в тот мо­мент, ко­г­да его гра­ни­ца про­хо­дит че­рез то­ч­ку на­блю­де­ния, по­ле в этой то­ч­ке ме­ня­ет­ся ска­ч­ком, и ча­ст­ные про­из­вод­ные D/t и В/t об­ра­ща­ют­ся в бес­ко­не­ч­ность. Для то­го что­бы по­лу­чить гра­ни­ч­ные ус­ло­вия для тан­ген­ци­аль­ных ком­по­нент на­пря­жен­но­стей элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­лей, пе­рей­дем к си­с­те­ме от­сче­та, дви­жу­щей­ся вме­сте с дан­ным эле­мен­том по­верх­но­сти те­ла. Про­ек­цию ско­ро­сти это­го эле­мен­та на нор­маль n к по­верх­но­сти те­ла обо­з­на­чим v_n. В со­пут­ст­ву­ю­щей си­с­те­ме спра­ве­д­ли­вы обы­ч­ные ус­ло­вия (1.32) и (1.33) для тан­ген­ци­аль­ных ком­по­нент Е_ и Н_. E + [v´B]/c и H + [D´v]/c. Про­еци­руя их на пло­с­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ную к n и учи­ты­вая ус­ло­вия (1.34), (1.35), а так­же фор­му­лы (2.21) и (2.22) в пер­вом по­ряд­ке ма­ло­сти по от­но­ше­нию v/c, по­лу­чим: [n(Е₁ – Е₂)] = v_n(B₂ – B₁)/c  v_n(₂ – ₁)H_/c (2.23) [n(H₁ – H₂)] = 4pi/c –v_n(D₂ – D₁)/c  4pi/c –v_n(₂ – ₁)E_/c. (2.24) От­ме­тим, что ес­ли те­ло дви­жет­ся так, что его по­верх­ность не сме­ща­ет­ся в пер­пен­ди­ку­ляр­ном к са­мой се­бе на­пра­в­ле­нии, на­при­мер при по­во­ро­те те­ла вра­ще­ния во­к­руг оси, то v_n = 0. В этом слу­чае гра­ни­ч­ные ус­ло­вия (2.23) и (2.24) сво­дят­ся к обы­ч­ным ус­ло­ви­ям для тан­ген­ци­аль­ных ком­по­нент (1.32) и (1.33).

6.1 Ком­п­лекс­ная ди­э­лек­т­ри­че­с­кая про­ни­ца­е­мость Ди­с­пер­сия, как пра­ви­ло, свя­за­на с вну­т­рен­ни­ми свой­ст­ва­ми ма­те­ри­аль­ной сре­ды, обы­ч­но вы­де­ля­ют­ся ча­с­тот­ная (вре­мен­ная) ди­с­пер­сия, ко­г­да по­ля­ри­за­ция в ди­с­пер­ги­ру­ю­щей сре­де за­ви­сит от зна­че­ний по­ля в пред­ше­ст­ву­ю­щие мо­мен­ты вре­ме­ни (па­мять), и про­стран­с­т­вен­ная ди­с­пер­сия, ко­г­да по­ля­ри­за­ция в дан­ной то­ч­ке за­ви­сит от зна­че­ний по­ля в не­ко­то­рой об­ла­с­ти (не­ло­каль­ность). В сре­де с про­стран­с­т­вен­ной и вре­мен­ной ди­с­пер­си­ей ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)) и j_i = _ikE_k, (1.40) име­ют опе­ра­тор­ный вид: Это – наи­бо­лее об­щая фор­ма ли­ней­ных ма­те­ри­аль­ных урав­не­ний, учи­ты­ва­ю­щая не­ло­каль­ность, за­па­з­ды­ва­ние и ани­зо­тро­пию. Для од­но­род­ной и ста­ци­о­нар­ной сре­ды ма­те­ри­аль­ные ха­ра­к­те­ри­сти­ки ,  и , на­зы­ва­е­мые функ­ци­я­ми от­кли­ка, дол­ж­ны за­ви­сеть толь­ко от раз­но­стей ко­ор­ди­нат и вре­ме­ни R = r – r₁,  = t – t₁: , (3.1)

­6.2 ока­зы­ва­ет­ся не­ло­каль­ной. Эф­фе­к­ты не­ло­каль­но­сти тем боль­ше, чем силь­нее по­ле ме­ня­ет­ся в про­стран­с­т­ве. Обы­ч­но с ро­с­том R функ­ции от­кли­ка _ij(R), _ij(R), _ij(R) до­с­та­то­ч­но бы­ст­ро убы­ва­ют. Пред­ста­в­ля­ет ин­те­рес во­п­рос о со­в­ме­с­ти­мо­сти ди­с­пер­си­он­ных яв­ле­ний с ма­к­ро­ско­пи­че­с­ким опи­са­ни­ем по­лей в сре­де. Наи­бо­лее бы­ст­рый ме­ха­низм ус­та­но­в­ле­ния по­ля­ри­за­ции – элек­т­рон­ный. Его вре­мя ре­ла­к­са­ции по­ряд­ка a/v, где а – ха­ра­к­тер­ный раз­мер ато­ма (эле­мен­тар­ной ячей­ки), v – ха­ра­к­тер­ная ско­рость дви­же­ния элек­т­ро­нов в ато­ме. Ди­с­пер­сия ста­но­вит­ся су­ще­ст­вен­ной, ес­ли  >> v/a, где  – ча­с­то­та из­ме­не­ния элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля. Ус­ло­вие же при­ме­не­ния ма­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го опи­са­ния тре­бу­ет, что­бы дли­на, на ко­то­рой су­ще­ст­вен­но ме­ня­ет­ся на­пря­жен­ность ма­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го по­ля, зна­чи­тель­но пре­во­с­хо­ди­ла атом­ные раз­ме­ры, то есть с/ >> a, или  << c/a. Так как c/v ~ 137, су­ще­ст­ву­ет об­ласть ча­с­тот, при ко­то­рой оба ус­ло­вия вы­пол­ня­ют­ся Рас­смо­т­рим од­но­род­ную не­пи­ро­э­лек­т­ри­че­с­кую и не­фер­ро­маг­нит­ную сре­ду без про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­сии и без сто­рон­них то­ков и за­ря­дов. Ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния (3.1) – (3.3) с уче­том фор­му­лы (1.38) в этом слу­чае при­ни­ма­ют вид свер­т­ки , (3.5) , 3.6)

6.3 Взяв от со­от­но­ше­ний (3.5) – (3.7) пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье, по­лу­чим: D_i() = _ij()E_j(), (3.9) В_i() = _ij()H_j(), (3.10) j_i() = _ij()E_j(). (3.11) Здесь , , , , – спек­т­ры ком­по­нент элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­ля, элек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной ин­дук­ции и плот­но­сти то­ка со­от­вет­ст­вен­но, , (3.12) , (3.13) ­– (3.14)

7.1 Со­от­но­ше­ния Кра­мер­са – Кро­ни­га Рас­смо­т­рим ана­ли­ти­че­с­кие свой­ст­ва ком­п­лекс­ной про­ни­ца­е­мо­сти. Для про­с­то­ты бу­дем счи­тать ее ска­ляр­ной ве­ли­чи­ной, тен­зор­ный ха­ра­к­тер про­ни­ца­е­мо­сти не ме­ня­ет по­лу­чен­ных вы­во­дов. Ин­тег­ри­руя по ча­с­тям со­от­но­ше­ние (2.11) и учи­ты­вая, что функ­ция (t) глад­кая и () = 0, по­лу­чим: . (3.17) Сле­до­ва­тель­но, , . Ана­ло­ги­ч­но по­ка­зы­ва­ет­ся, что , , , , , Ес­ли рас­сма­т­ри­вать ча­с­то­ту  как ком­п­лекс­ную пе­ре­мен­ную  =  + i, то функ­ция () не име­ет по­лю­сов в верх­ней по­лу­пло­с­ко­сти, то есть яв­ля­ет­ся там ана­ли­ти­че­с­кой. Дей­ст­ви­тель­но, экс­по­нен­та в по­дын­те­граль­ном вы­ра­же­нии фор­му­лы ,

7.2. Ус­т­ре­мим R к бес­ко­не­ч­но­сти, а r к ну­лю. В си­лу со­от­но­ше­ния (3.17) по­дын­те­граль­ное вы­ра­же­ние стре­мит­ся к ну­лю при ||   бы­ст­рее, чем 1/||, сле­до­ва­тель­но ин­те­грал по ду­ге С₁ при R   стре­мит­ся к ну­лю. При r  0 ин­те­гра­лы по ду­гам С₂ и С₃ со­от­вет­ст­вен­но рав­ны –4²(0)/ и –. По­э­то­му . Раз­де­ляя в этой фор­му­ле дей­ст­ви­тель­ную и мни­мую ча­с­ти, по­лу­чим со­от­но­ше­ния Кра­мер­са – Кро­ни­га: , (3.19) . (3.20) Не­соб­ст­вен­ные ин­те­гра­лы в этих фор­му­лах по­ни­ма­ют­ся в смы­с­ле глав­но­го зна­че­ния. Ана­ло­ги­ч­но лег­ко по­лу­чить со­от­но­ше­ния Кра­мер­са – Кро­ни­га для ди­э­лек­т­ри­че­с­кой

8.1 Про­стран­с­т­вен­ная ди­с­пер­сия Связь ме­ж­ду воз­дей­ст­ви­ем по­ля и ре­ак­ци­ей сре­ды яв­ля­ет­ся ин­те­граль­ной не толь­ко во вре­ме­ни. Эта связь мо­жет быть не­ло­каль­ной, то есть ре­ак­ция си­с­те­мы в не­ко­то­рой то­ч­ке мо­жет оп­ре­де­лять­ся не толь­ко на­пря­жен­но­стью по­лей в той же са­мой то­ч­ке, но и по­ля­ми в ок­ре­ст­но­сти дан­ной то­ч­ки. Это­му со­от­вет­ст­ву­ет ин­те­грал по объ­е­му в со­от­но­ше­ни­ях , (3.1) , (3.2) . (3.3). Ана­ло­ги­ч­ное со­от­но­ше­ние в слу­чае не­маг­нит­ной сре­ды мо­ж­но за­пи­сать и для обоб­щен­ной ин­дук­ции , (3.4) .(3.26)

8.2ний (3.30) вид­но, что , , Ес­ли связь ре­ак­ции сре­ды с элек­т­ри­че­с­ким по­лем но­сит ло­каль­ный ха­ра­к­тер, то есть _ij(r, t) = (r)_ij(t),_ij(r, t) = (r)_ij(t) то из урав­не­ний (3.26) и (3.30) сле­ду­ет , , , то есть функ­ция не за­ви­сит от во­л­но­во­го ве­к­то­ра k и мо­жет быть за­пи­са­на толь­ко как функ­ция од­ной ча­с­то­ты , по­ло­жим в ней k = 0. Та­ким об­ра­зом, пе­ре­ход к пре­де­лу со­от­вет­ст­ву­ет пре­не­б­ре­же­нию про­стран­с­т­вен­ной ди­с­пер­си­ей, а учет за­ви­си­мо­сти ком­п­лекс­ной про­ни­ца­е­мо­сти от во­л­но­во­го ве­к­то­ра – не­ло­каль­но­му ха­ра­к­те­ру свя­зи ме­ж­ду по­лем и ре­ак­ци­ей сре­ды.

8.3(3.32) Здесь обо­з­на­че­но E_|| = k(kE)/k² – про­ек­ция ве­к­то­ра Е на на­пра­в­ле­ние во­л­но­во­го ве­к­то­ра k, со­от­вет­ст­вен­но Е_ = Е – E_|| – со­ста­в­ля­ю­щая ве­к­то­ра Е, пер­пен­ди­ку­ляр­ная во­л­но­во­му ве­к­то­ру k. Не­тру­д­но ви­деть, что, ес­ли ве­к­тор на­пря­жен­но­сти элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля пер­пен­ди­ку­ля­рен во­л­но­во­му ве­к­то­ру, то kE = 0 и . Та­ким об­ра­зом, ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся ком­п­лекс­ной про­ни­ца­е­мо­стью для по­пе­ре­ч­но­го (по от­но­ше­нию к во­л­но­во­му ве­к­то­ру) по­ля. Ес­ли же ве­к­то­ра k и E па­рал­лель­ны, то , то есть ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся ком­п­лекс­ной про­ни­ца­е­мо­стью для про­доль­но­го по­ля. Рас­смо­т­рим изо­троп­ную маг­нит­ную сре­ду. Из Фу­рье-об­ра­зов урав­не­ния (1.30) с ма­те­ри­аль­ным урав­не­ни­ем (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)) ikE = 4( + _e), урав­не­ния не­пре­рыв­но­сти . (1.21) и за­ко­на Ома j_i = _ikE_k, (1.40) i = kЕ по­лу­чим ikE( + 4i/) = 4_e. Срав­ни­вая это урав­не­ние и Фу­рье-об­раз урав­не­ния , (1.43) с ма­те­ри­аль­ным урав­не­ни­ем (3.32) ikE = 4_e, по­лу­ча­ем .

8.4 по­лу­чив­ше­е­ся двой­ное ве­к­тор­ное про­из­ве­де­ние и со­кра­щая на Е обе ча­с­ти, по­лу­чим . (3.34) Со­от­вет­ст­вен­но, из урав­не­ний (3.31) и (3.34) по­лу­ча­ем: . (3.35) Та­ким об­ра­зом, в изо­троп­ной сре­де раз­ли­чие про­доль­ной и по­пе­ре­ч­ной про­ни­ца­е­мо­стей обу­сло­в­ле­но маг­нит­ны­ми свой­ст­ва­ми сре­ды. Для пе­ре­мен­ных по­лей, по­ка ве­к­тор В мо­ж­но вы­ра­зить че­рез ве­к­тор Е с по­мо­щью урав­не­ния (1.28) как , для по­л­но­го опи­са­ния и элек­т­ри­че­с­ких и маг­нит­ных свойств изо­троп­ной сре­ды до­с­та­то­ч­но знать 2 за­ви­ся­щие от k и от  ве­ли­чи­ны – ди­э­лек­т­ри­че­с­кие про­ни­ца­е­мо­сти и . Для по­сто­ян­ных по­лей при  = 0 ве­к­тор В уже нель­зя вы­ра­зить че­рез ве­к­тор Е, по­э­то­му в этом слу­чае для по­л­но­го опи­са­ния элек­т­ро­маг­нит­ных свойств од­но­род­ных сред тре­бу­ет­ся зна­ние и за­ви­ся­щей толь­ко от во­л­но­во­го ве­к­то­ра маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­сти (k).

плот­но­стью . С уче­том то­ка свя­зан­ных за­ря­дов (1.18) по­л­ное вы­ра­же­ние для сред­ней плот­но­сти ми­к­ро­ско­пи­че­с­ко­го то­ка мо­жет быть за­пи­са­но в ви­де: . (1.19) При вы­чи­с­ле­нии сред­ней плот­но­сти за­ря­да сле­ду­ет учесть, что те­перь элек­т­ро­ней­т­раль­ность те­ла в це­лом обес­пе­чи­ва­ет­ся со­во­куп­но­стью как сво­бод­ных, так и свя­зан­ных за­ря­дов, по­э­то­му пер­вое сла­га­е­мое в фор­му­ле (1.14) от­ли­ч­но от ну­ля, фи­зи­че­с­ки ма­лый объ­ем при этом мо­жет уже не быть элек­т­ро­ней­т­раль­ным: , (1.20) где – ма­к­ро­ско­пи­че­с­кая плот­ность сво­бод­ных за­ря­дов, не­пре­рыв­ная функ­ция, в от­ли­чие от ми­к­ро­ско­пи­че­с­кой плот­но­сти, оп­ре­де­лен­ной со­от­но­ше­ни­ем (1.6). Под­ста­в­ляя вы­ра­же­ния (1.19) и (1.20) в ус­ред­нен­ное ми­к­ро­ско­пи­че­с­кое урав­не­ние не­пре­рыв­но­сти (1.13), по­лу­чим ма­к­ро­ско­пи­че­с­кое урав­не­ние не­пре­рыв­но­сти: . (1.21) Под­ста­вим те­перь вы­ра­же­ния (1.19) и (1.20) в ус­ред­нен­ные урав­не­ния (1.10) и (1.11): , (1.22)

. (1.23) Вме­сто

их яд­ра . (1.14) Для элек­т­ро­ней­т­раль­ной сре­ды пер­вое сла­га­е­мое в пра­вой ча­с­ти урав­не­ния (1.14) рав­но ну­лю, а вто­рое мо­жет быть вы­ра­же­но че­рез сред­нюю плот­ность ди­поль­но­го мо­мен­та Р: . (1.15) По­э­то­му сред­няя плот­ность свя­зан­ных за­ря­дов в этом слу­чае рав­на: . (1.16) Ана­ло­ги­ч­но мо­ж­но ус­ред­нить и вы­ра­же­ние (1.7) для плот­но­сти то­ка. Ог­ра­ни­чи­ва­ясь пер­вы­ми чле­на­ми раз­ло­же­ния по ма­ло­му па­ра­ме­т­ру |r_i|/|r| с уче­том фор­му­лы (1.15) по­лу­чим: . Здесь a(b)

Здесь k – но­мер ато­ма (мо­ле­ку­лы или эле­мен­тар­ной ячей­ки) в твер­дом те­ле, R_k – ра­ди­ус-ве­к­тор цен­т­ра инер­ции k-го ато­ма, r_i(t) – ра­ди­ус-ве­к­тор i-го за­ря­да q_i,k, от­счи­тан­ный от цен­т­ра инер­ции со­от­вет­ст­ву­ю­ще­го ато­ма, r – ра­ди­ус-ве­к­тор то­ч­ки на­блю­де­ния. ди­на­ми­ка но­си­те­лей за­ря­да мо­жет быть в клас­си­че­с­ком при­бли­же­нии опи­са­на урав­не­ни­я­ми Нью­то­на: . (1.8) В пра­вую часть урав­не­ния (1.8) по­ми­мо сил Ку­ло­на и Ло­рен­ца вхо­дит так­же си­ла f_e не­элек­т­ро­маг­нит­но­го про­ис­хо­ж­де­ния. Та­кие си­лы мо­гут быть свя­за­ны с гра­ви­та­ци­он­ным или ядер­ным вза­и­мо­дей­ст­ви­ем, а так­же опи­сы­вать столк­но­ве­ния ча­с­тиц или кван­то­вые пе­ре­хо­ды. В прин­ци­пе, си­с­те­ма урав­не­ний (1.1) – (1.8) по­л­но­стью опи­сы­ва­ет ми­к­ро­ско­пи­че­с­кое элек­т­ро­маг­нит­ное по­ле. Од­на­ко столь де­таль­ное опи­са­ние по­ля в сре­дах обы­ч­но не­воз­мо­ж­но из-за не­во­об­ра­зи­мо боль­шо­го ко­ли­че­ст­ва урав­не­ний ви­да (1.8), по­сколь­ку та­кое урав­не­ние ну­ж­но на­пи­сать для ка­ж­дой ча­с­ти­цы ве­ще­ст­ва. При этом все ми­к­ро­ско­пи­че­с­кие ве­ли­чи­ны e, b, и v, вхо­дя­щие в урав­не­ния (1.1) – (1.8), ис­пы­ты­ва­ют су­ще­ст­вен­ные из­ме­не­ния на рас­сто­я­ни­ях по­ряд­ка атом­ных раз­ме­ров.Вве­дем обо­з­на­че­ния E = e – на­пря­жен­ность элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля в сре­де, В = b – маг­нит­ная ин­дук­ция в сре­де. , где V(r) – фи­зи­че­с­ки ма­лый объ­ем с цен­т­ром в то­ч­ке r. Урав­не­ния для вве­ден­ных ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких (ус­ред­нен­ных) по­лей по­лу­ча­ют­ся ус­ред­не­ни­ем ли­ней­ных ми­к­ро­ско­пи­че­с­ких урав­не­ний (1.1) – (1.5): , (1.9)

(1.35) Со­от­но­ше­ния (1.32) – (1.35) дол­ж­ны вы­пол­нять­ся в лю­бой то­ч­ке гра­ни­цы раз­де­ла сред и пред­ста­в­ля­ют со­бой гра­ни­ч­ные ус­ло­вия, с по­мо­щью ко­то­рых дол­ж­но про­из­во­дить­ся сши­ва­ние ре­ше­ний си­с­те­мы урав­не­ний Мак­свел­ла, по­лу­ча­е­мых в со­при­ка­са­ю­щих­ся ме­ж­ду со­бой раз­ли­ч­ных сре­дах. От­ме­тим, что по­верх­но­ст­ная плот­ность за­ря­да  и плот­ность по­верх­но­ст­но­го то­ка i в со­от­но­ше­ни­ях (1.33) и (1.34) со­от­вет­ст­вен­но учи­ты­ва­ют как на­ве­ден­ные, так и сто­рон­ние за­ря­ды. Ма­те­ри­аль­ные урав­не­ния Си­с­те­ма урав­не­ний Мак­свел­ла (1.28) – (1.31), . (1.31) да­же до­по­л­нен­ная гра­ни­ч­ны­ми ус­ло­ви­я­ми (1.32) – (1.35) не яв­ля­ет­ся замк­ну­той. Ее ну­ж­но до­по­л­нить еще и ма­те­ри­аль­ны­ми урав­не­ни­я­ми, свя­зы­ва­ю­щи­ми ме­ж­ду со­бой ве­ли­чи­ны H, D, j c B и Е. При этом удоб­но ус­та­но­вить связь на­пря­жен­но­стей по­ля с ве­к­то­ра­ми Р и М, так как эти ве­ли­чи­ны име­ют бо­лее на­гляд­ный фи­зи­че­с­кий смысл.: P_i = P_0i + _ikE_k, M_i = M_0i + _ikH_k, i, k = x, y, z, (1.36) где _ik и _ik – тен­зо­ры ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной вос­при­им­чи­во­сти. Здесь и да­лее по по­в­то­ря­ю­щим­ся тен­зор­ным ин­де­к­сам под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сум­ми­ро­ва­ние по все­му ди­а­па­зо­ну при­ни­ма­е­мых зна­че­ний (пра­ви­ло Эйн­штей­на). Фи­зи­че­с­ки бо­лее по­с­ле­до­ва­тель­но бы­ло бы за­пи­сать в фор­му­ле (1.36) вы­ра­же­ние для М в ви­де ли­ней­ной функ­ции В. Од­на­ко, в рас­сма­т­ри­ва­е­мом при­бли­же­нии, как бу­дет по­ка­за­но ни­же, В и Н ли­ней­но свя­за­ны друг с дру­гом, по­э­то­му обе фор­мы за­пи­си ма­те­ма­ти­че­с­ки эк­ви­ва­лент­ны.

на­при­мер, урав­не­ние (1.28) , по по­верх­но­сти бес­ко­не­ч­но ма­ло­го пря­мо­у­го­ль­ни­ка, рас­по­ло­жен­но­го в пе­ре­ход­ном слое так, что его вы­со­та  есть тол­щи­на пе­ре­ход­но­го слоя, а ос­но­ва­ние дли­ной l па­рал­лель­но воз­ни­ка­ю­щей при   0 гра­ни­це раз­де­ла. По­сколь­ку раз­ме­ры пря­мо­у­го­ль­ни­ка ма­лы в срав­не­нии с рас­сто­я­ни­я­ми, на ко­то­рых из­ме­ня­ют­ся ма­к­ро­ско­пи­че­с­кие по­ля, при вы­чи­с­ле­нии ин­те­гра­лов мо­ж­но вос­поль­зо­вать­ся те­о­ре­мой о сре­д­нем. С уче­том те­о­ре­мы Сто­кса, ус­т­ре­м­ляя вы­со­ту  пря­мо­у­го­ль­ни­ка к ну­лю, то есть, пе­ре­хо­дя к ре­з­кой гра­ни­це, по­лу­чим: . Здесь B_n1 – про­ек­ция ве­к­то­ра маг­нит­ной ин­дук­ции на гра­ни­це раз­де­ла на нор­маль n₁ к по­верх­но­сти пря­мо­у­го­ль­ни­ка, Е_1 и Е_2 – про­ек­ции ве­к­то­ре Е в пер­вой и вто­рой сре­дах со­от­вет­ст­вен­но на на­пра­в­ле­ние, ка­са­тель­ное к гра­ни­це раз­де­ла. В си­лу про­из­воль­ной ори­ен­та­ции ве­к­то­ра l, ка­са­тель­но­го гра­ни­це раз­де­ла, по­лу­чим: Е_1 = Е_2. (1.32) Ана­ло­ги­ч­но, ин­тег­ри­руя урав­не­ние (1.31) по той же об­ла­с­ти, по­лу­ча­ем:

Ве­ли­чи­на w, оп­ре­де­лен­ная со­от­но­ше­ни­ем (1.47), яв­ля­ет­ся сум­мой плот­но­стей энер­гии элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­лей, то есть плот­но­стью энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля. Вы­ра­же­ние (j + j_e)E в пра­вой ча­с­ти урав­не­ния (1.46) пред­ста­в­ля­ет со­бой ра­бо­ту, со­вер­ша­е­мую в еди­ни­цу вре­ме­ни си­ла­ми элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля над за­ря­да­ми в еди­ни­це объ­е­ма. Со­от­вет­ст­вен­но ве­к­тор S, оп­ре­де­лен­ный со­от­но­ше­ни­ем (1.48) и на­зы­ва­е­мый обы­ч­но ве­к­то­ром Пойн­тин­га, яв­ля­ет­ся плот­но­стью по­то­ка энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля, а са­мо урав­не­ние (1.46) на­зы­ва­ет­ся те­о­ре­мой Пойн­тин­га. От­ме­тим, что при вы­во­де те­о­ре­мы Пойн­тин­га (1.46) ис­поль­зо­ва­лось пред­по­ло­же­ние о по­сто­ян­ст­ве ди­э­лек­т­ри­че­с­кой и маг­нит­ной про­ни­ца­е­мо­стей сре­ды (1.37), спра­ве­д­ли­вое лишь для ме­д­лен­но ме­ня­ю­щих­ся по­лей и в ли­ней­ном при­бли­же­нии. В вы­со­ко­ча­с­тот­ном слу­чае и для не­ли­ней­ных сред вы­ра­же­ние для энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля и по­то­ка энер­гии бо­лее сло­ж­ное.

(1.30) и (1.31) при­ни­ма­ют вид: , (1.43) . (1.44) Со­в­ме­ст­но с урав­не­ни­я­ми (1.28) и (1.29) урав­не­ния (1.43) и (1.44) об­ра­зу­ют си­с­те­му урав­не­ний Мак­свел­ла, опи­сы­ва­ю­щую элек­т­ро­маг­нит­ное по­ле в ве­ще­ст­ве с по­мо­щью трех ве­к­то­ров Е, В и D, а не че­ты­рех, как си­с­те­ма (1.28) – (1.31) , (1.29) . (1.31) . Свой­ст­ва сре­ды при этом опи­сы­ва­ют­ся од­ним ма­те­ри­аль­ным урав­не­ни­ем (1.42) с по­мо­щью од­ной обоб­щен­ной про­ни­ца­е­мо­сти . D_2n – D_1n = 4ps. Гра­ни­ч­ное же ус­ло­вие (1.33) в слу­чае ог­ра­ни­чен­но­сти про­из­вод­ной по вре­ме­ни на­пря­жен­но­сти элек­т­ри­че­с­ко­го по­ля Е при­ни­ма­ет вид [n´(В₁ – В₂)] = 4pi/c, (1.45) где i – пол­ная плот­ность по­верх­но­ст­но­го то­ка. Энер­гия элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля Од­ним из ва­ж­ней­ших след­ст­вий урав­не­ний ма­к­ро­ско­пи­че­с­кой элек­т­ро­ди­на­ми­ки яв­ля­ет­ся за­кон, свя­зы­ва­ю­щий плот­ность энер­гии и плот­ность по­то­ка энер­гии элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля в ма­к­ро­ско­пи­че­с­ких те­лах. пусть (D_i = D_0i + _ikE_k, _ik = _ik + 4_ik, (1.37)) D₀ = 0 и В₀ = 0.

. Ва­ж­ней­шим при­ме­ром 4-тен­зо­ра яв­ля­ет­ся тен­зор элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля , (2.10) объ­е­ди­ня­ю­щий ком­по­нен­ты ве­к­то­ров элек­т­ри­че­с­ко­го е и маг­нит­но­го b по­лей. То, что ве­ли­чи­ны F_ik об­ра­зу­ют 4-тен­зор, сле­ду­ет из за­ко­на пре­об­ра­зо­ва­ния элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля (2.5) и оп­ре­де­ле­ния тен­зо­ра. Ан­ти­сим­мет­ри­ч­ный тен­зор по­ля F_ik мо­ж­но пред­ста­вить в ви­де: , (2.11) где 4-ве­к­тор A_i име­ет вид {А, i}, А – ве­к­тор-по­тен­ци­ал маг­нит­но­го по­ля,  – элек­т­ро­ста­ти­че­с­кий по­тен­ци­ал. Срав­ни­вая вы­ра­же­ние (2.11) с оп­ре­де­ле­ни­ем (2.10), по­лу­чим . (2.12) Ва­ж­ность 4-ве­к­то­ров и 4-тен­зо­ров для со­в­ре­мен­ной фи­зи­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что все фи­зи­че­с­кие ве­ли­чи­ны мо­гут быть объ­е­ди­не­ны в та­кие со­во­куп­но­сти, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ли­бо 4-ве­к­то­ра­ми, ли­бо 4-тен­зо­ра­ми, ли­бо 4-спи­но­ра­ми, ква­д­ра­ти­ч­ные ком­би­на­ции ко­то­рых об­ра­зу­ют 4-ве­к­то­ры. При этом иных ма­те­ма­ти­че­с­ких объ­е­к­тов, свя­зан­ных с пре­об­ра­зо­ва­ни­ем Ло­рен­ца,

. (1.8) в ви­де: . Мо­ж­но по­ка­зать, что за­ко­ну (2.5) сло­же­ния ско­ро­стей удо­в­ле­тво­ря­ет пра­ви­ло Ло­рен­ца пре­об­ра­зо­ва­ния элек­т­ри­че­с­ко­го и маг­нит­но­го по­лей: , (2.6) где e_|| и b_|| – со­ста­в­ля­ю­щие по­лей вдоль ско­ро­сти V. Из фор­мул (2.6) сле­ду­ет, что со­ста­в­ля­ю­щие по­лей, па­рал­лель­ные ве­к­то­ру от­но­си­тель­ной ско­ро­сти си­с­тем при пе­ре­хо­де из од­ной си­с­те­мы в дру­гую не ме­ня­ют­ся. При V << c из пре­об­ра­зо­ва­ния Ло­рен­ца (2.6) по­лу­ча­ют­ся из­ве­ст­ные в элек­т­ри­че­ст­ве со­от­но­ше­ния: . (2.7) Тен­зор элек­т­ро­маг­нит­но­го по­ля По­сколь­ку элек­т­ри­че­с­кое и маг­нит­ное по­ля при пе­ре­хо­де к дви­жу­щей­ся си­с­те­ме от­сче­та свя­за­ны пре­об­ра­зо­ва­ни­я­ми Ло­рен­ца (2.6), опи­сы­ва­ю­щи­ми по­во­рот си­с­те­мы ко­ор­ди­нат в 4-х мер­ном про­стран­с­т­ве Мин­ков­ско­го, их удоб­но опи­сы­вать, поль­зу­ясь по­ня­ти­я­ми 4-х мер­ных ве­к­то­ров и тен­зо­ров, со­кра­щен­но 4-ве­к­то­ров и 4-тен­зо­ров. 4-ве­к­то­ром на­зы­ва­ет­ся упо­ря­до­чен­ная со­во­куп­ность че­ты­рех ве­ли­чин {А₁, А₂, А₃, А₄}, ко­то­рая при по­во­ро­те си­с­те­мы ко­ор­ди­нат пре­об­ра­зу­ет­ся так же как ко­ор­ди­на­ты ми­ро­вой то­ч­ки {х₁, х₂, х₃, х₄} в псев­до­ев­к­ли­до­вом

r = r – Vt, t = t, от­но­си­тель­но ко­то­ро­го ин­ва­ри­ант­ны урав­не­ния Нью­то­на, это­му ус­ло­вию не удо­в­ле­тво­ря­ют. Рас­смо­т­рим пло­скую элек­т­ро­маг­нит­ную во­л­ну, рас­про­стра­ня­ю­щу­ю­ся в ва­ку­у­ме вдоль оси х, то­г­да урав­не­ние (2.1), опи­сы­ва­ю­щее ее, ста­но­вит­ся ска­ляр­ным и од­но­мер­ным: . (2.2) Пусть со­пут­ст­ву­ю­щая си­с­те­ма ко­ор­ди­нат (x, y, z) дви­жет­ся от­но­си­тель­но ла­бо­ра­тор­ной си­с­те­мы (x, y, z) с по­сто­ян­ной ско­ро­стью V, на­пра­в­лен­ной вдоль оси х, при­чем со­от­вет­ст­ву­ю­щие оси ос­та­ют­ся па­рал­лель­ны­ми. В со­пут­ст­ву­ю­щей си­с­те­ме во­л­на дол­ж­на ос­тать­ся пло­ской и на­пра­в­лен­ной вдоль оси х. Не­тру­д­но по­ка­зать, что при этом y = y, z = z. Рас­смо­т­рим ли­ней­ное пре­об­ра­зо­ва­ние ко­ор­ди­на­ты х ви­да: x = ax + bt, t= fx + ht, где в си­лу од­но­род­но­сти про­стран­с­т­ва и вре­ме­ни ко­эф­фи­ци­ен­ты a, b, f и h не за­ви­сят ни от ко­ор­ди­нат, ни от вре­ме­ни, но мо­гут за­ви­сеть от ско­ро­сти V со­пут­ст­ву­ю­щей (штри­хо­ван­ной) си­с­те­мы от­но­си­тель­ной ла­бо­ра­тор­ной. Лег­ко ви­деть, что V = b/a. Учи­ты­вая, что , тре­бо­ва­ние не­из­мен­но­сти, или ин­ва­ри­ант­но­сти, во­л­но­во­го урав­не­ния при­во­дит к ус­ло­ви­ям: –f ² + h²/c² = 1, a² – b²/c² = 1, af – bh/c² = 0, от­ку­да сле­ду­ет пре­об­ра­зо­ва­ние Ло­рен­ца, свя­зы­ва­ю­щие ко­ор­ди­на­ты инер­ци­аль­ных си­с­тем