5.3. Примеры составления и решения дифференциальных уравнений.

5.3.1. Закон радиоактивного распада в дифференциальной и интегралной формах.

Из курса физики известно, что убыль радиоактивного вещества подчиняется следующему закону:

m = m₀ e^λt , где

m - количество радиоактивного вещества,

m₀ - первоначальное количество радиоактивного вещества, то есть количество вещества в начальный момент времени t = 0:

m │ = m₀ (1)

│t = 0

 - постоянная радиоактивного распада.

Данный закон является решением дифференциального уравнения, которое получается на основе следующих рассуждений.

Пусть на момент времени t = 0 в наличии имелось количество радиоактивного вещества m₀. С течением времени первоначальное количество вещества уменьшается за счет радиоактивного распада, за время dt уменьшается на dm. Опытные данные показывают, что уменьшение dm количества радиоактивного вещества пропорционально времени dt, за которое произошло уменьшение количества вещества и пропорционально текущему количеству радиоактивного вещества. Если ввести коэффициент пропорциональности , то можно записать:

dm =  m dt (2)

Знак минус говорит об убыли (уменьшении) вещества за счет радиоактивного распада.

Данное дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных. Разделим (разнесем) переменные m и t по разные стороны от знака равенства:

dmm =  dt

Проинтегрируем обе части данного дифференциального уравнения:

dmm = dt

ln m =  t +C

Потенцируем данное равенство:

e^lnm = e^{ λt +C}

m = e^C e^{ λt} = Ce^{ λt}

Константу С определяем из начального условия (1), подставляя в уравнение (2) t = 0

Имеем:

m₀= С

m = m₀ e^{ λt} (4)

Уравнение (4) называется законом радиоактивного распада в интегральной форме, дифференциальное уравнение (2) законом радиоактивного распада в дифференциальной форме.

2. Примеры решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

Рассмотрим последовательность следующих дифференциальных уравнений первого порядка в порядке их усложнения.

Левая часть у них есть производная y΄, а правая есть последовательность из комбинаций х и у, величина к есть константа.

y΄= 0, к, кх, ку, кху, kyx, ……

Все вышеприведенные дифференциальные уравнения решаются методом разделения переменных.

1. dydx = 0 (y = 0)

y = C - константа

2. dydx = k (y = k)

dy = kdx

dy = kdx = kdx

y = kx+С

3. dy /dx = kx (y = kx)

dy = kxdx

dy = kxdx = kxdx

y = kx²2 +C

4. dydx = ky (y = ky)

dyy = kdx

dyy = kdx = kdx

ln y = kx+d

y = Ce^kx

5. dydx = kxy (y = kxy)

dyy = kxdx

dyy = kxdx = kxdx

ln y = kx^2²+C

y = e ^kx22e ^C = Ce ^kx22

6. dydx = kyx (y = kyx )

dyy = kdxx

ln y = kln x + C

e ^{ln y} = e ^{klnx +C} = e^Ce^lnxk

y = Cx^k

7. (xy2x) yy = 0

x( y2)dydx = y

(y2)ydy = dxx

dyy 2dy/y = dxx

dyy2dy/y = dxx

y ^0,52dy/y = x^0,5 dx

y ^0,50,5 2ln y = x^0,50,5+C

2y2ln y = 2x +C

yln y = x +C – общее решение

8. (1)

- неопределенный интеграл есть решение дифференциального уравнения (1)