Найдем явное выражение для второго дифференциала. По определению дифференциала имеем:

d²y = (f'′(х)dx)′dx .

Так как dx есть постоянная, получается:

d²y = (f'′(х)dx)′dx = f'′′ (х)(dx)² = f'′′ (х)dx²

d²y = f'′′ (х)dx²

Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом называется дифференциал от её второго дифференциала:

d³y = d(d²y)= (f'′′ (х)dx²)′dx = f'′′′ (х)dx³ .

Дифференциалом n порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1) порядка :

dⁿy = f (х)dxⁿ

Неопределенный интеграл.

Определение неопределенного интеграла.

Восстановление функции по известной производной этой функции называется интегрированием функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором отрезке [а;в] если для всех значений х на данном отрезке выполняется равенство F(x) = f(x).

Множество всех функций, производные которых равны f(x), обозначается символом

f(x)dx

и называется неопределенным интегралом от функции f(x).

В данной формуле по определению:

f(x) – подинтегральная функция,

f(x)dx – подинтегральное выражение.

Если F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций

F(x) + C будет неопределенным интегралом от функции f(x), т.е.:

f(x)dx = F(x) + C,

где С – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла.

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

f(x)dx = F(x) + C = F(x) = f (x)

2.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

K f(x)dx = K f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF(x) = F(x) + C

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:

(f(x)  g(x))dx = f(x)dx  g(x)dx

Таблица основных интегралов.

Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.

№

п/п

f(x)dx= F(x) + C