5. Дифференциальные уравнения.

1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальным уравнением называется алгебраическое равенство, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = (x) и её производные. Если искомая функция является функцией одной переменной х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного дифференциального уравнения.

Общий вид дифференциального уравнения n-порядка следующий:

F(х, у, у…. у⁽ⁿ⁾) = 0 (1)

Всякая функция у =(x), подставленная в уравнение (1), и обращающая его в верное равенство, называется решением данного дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет следующий общий вид:

F(x, y, y) = 0 (2)

Если его можно разрешить относительно у, то

у = (x, y) (3)

Решение уравнения (3), которое содержит произвольную постоянную С, то есть имеющее вид:

y = (х, С) (4)

называется общим решением данного дифференциального уравнения. Если это решение имеет вид:

(х, у, С) = 0 или (х, у) = С (5),

то в этом случае выражение (5) называется общим интегралом уравнения (3). Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение (3) – значит найти его общее решение в виде (4) или общий интеграл в виде (5).

5.2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Запишем уравнение у = (x, y) в виде:

dydx = (x, y),

dy = (x, y)dx

Данному уравнению можно придать следующую форму:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (6)

Предположим, что функции M(x, y) и N(x, y) можно представить следующим образом:

M(x, y) = M₁(x) M₂(y)

N(x, y) = N₁(x) N₂(y)

Тогда уравнение (6) можно переписать в виде:

M₁(x) M₂(y)dx + N₁(x) N₂(y)dy = 0 (7)

Разделим данное уравнение на M₂(y) N₁(x), получим

M₁(x)N₁(x)dx + M₂(y)N₂(y)dy = 0 (8)

Уравнение (7) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (8) – уравнением с разделенными переменными. Чтобы окончательно решить уравнение (8) перепишем его в следующем виде:

M₂(y)N₂(y)dy = M₁(x)N₁(x)dx (9)

Переменные разделились относительно знака равенства: слева от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от у, справа от знака равенства алгебраическое выражение зависящее только от х. Проинтегрируем обе части уравнения (9):

M₂(y)N₂(y)dy = M₁(x)N₁(x)dx +C (10)

Данное решение (10) есть общее решение уравнения (7)

Частным решением уравнения(3) называется функция (х,С₀), которая получается из общего решения у = (х,С) при определенном значении константы С = С₀, которое определяется из начальных условий у₀ = (х₀,С). Геометрически общее решение у = (х,С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, а частное решение у = (х,С₀) – одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку (х₀, у₀).