4.4. Замена переменной в определенном интеграле.

Замена переменной в определенном интеграле позволяет сначала найти неопределенный интеграл, а затем, воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, найти определенный интеграл.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке a; b, функция x = (t) имеет на отрезке а;b непрерывную производную, при этом и. Тогда:

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой подстановки.

Если при вычислении неопределенного интеграла с помощью замены переменной необходимо от новой переменной t возвращаться к старой переменной х, то при вычислении неопределенного интеграла этого делать не надо.

Алгоритм нахождения определенного интеграла методом замены переменной.

Алгоритм нахождения определенного интеграла методом замены переменной состоит из следующих шагов.

1. Подберем такую переменную x = (t), которая сведет первоначальный интеграл к табличному виду.

2. Заменим старые пределы интегрирования на новые. Для этого равенство x = (t) разрешается относительно t:

t= ψ(x).

Нижний предел интегрирования равен α=ψ(a). Верхний предел интегрирования равен β=ψ(b).

Таким образом, вместе с заменой переменной в первоначальном интеграле меняются и пределы интегрирования. Первоначальный определенный интеграл свелся к табличному интегралу относительно t:

3. Пусть его первообразная равна F(t), на основании формулы Ньютона – Лейбница можно написать:

F(t)= F(β) – F(α).

Первоначальный интеграл найден.

Приведем полную последовательность вычислений:

Следует обратить внимание на то, что в первообразной F(t) нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной х ( t= ψ(x), F(ψ(x) ). Возврат к первоначальной переменной приведет к необходимости вернуться к старым пределам интегрирования. Это не ошибка – просто увеличится объем вычислений.