Элементарных функций.

Пользоваться определением производной функции для нахождения производной есть процедура, которая требует большого количества времени. Поэтому производные всех элементарных функции были найдены и сведены в таблицу. Таблица производных элементарных функций есть в любом учебнике по высшей математике, поэтому в данном пособии она приведена в качестве иллюстрации в небольшом объеме.

Функция f(х)	Производная f'′(х)
f(х)=С С=const	0
f(х)=хn	nxn—1
f(х)=eх	ех
f(х)=aх	aх lna
f(х)=ln х	1/x
f(х)=sin x	cos x
f(х)=cos x	- sin x
f(х)=tg x	1/cos2 x
f(х)=ctg x	-1/sin2 x
f(х)=arcsin x	1/
f(х)=arccos x	- 1/
f(х)=arctg x	1/(1+x2 )
f(х)=arcctg x	-1/(1+x2 )

На практике приходится дифференцировать алгебраические комбинации элементарных математических функций. Рассмотрим правила дифференцирования для двух простых функций U(х) и V(х):

(U+V)' = U'+V',

(UV)' = U'V+UV',

5. Примеры дифференцирования простых и сложных функций.

1. Y = х³ у'=3х²

2. Y = sin2x y´= cos2x(2x)΄ = 2cos2x

3. Y = sin³2x y´=3sin2x(sin2x)΄ = 3sin2xcos2x(2x)΄= 3sin2xcos2x(2)= 6sin2xcos2x = 3sin2xsin4x

4. Y= x^x у′= (x^x) = (e^xlnx) = e^xlnx(lnx+1).

6. Приближенное значение функции при малых значениях аргумента.

Приращение функции приблизительно равно дифференциалу функции, если приращение аргумента ∆x достаточно мало:

∆у = f(х+∆х)—f(х) ≈ dy ≈ f '(х)∆х.

Приближенное вычисление значения функции равно:

f(х+∆х) ≈ f(х)+f '(х)∆х.

В близи нуля (х=0) можно записать:

f(∆х) ≈ f(0)+f '(0)∆х.

Заменяя ∆x на x имеем: f(х) ≈ f(0) +f '(0)х.

В качестве примера рассмотрим функцию у=(1+х)^1/2 .

Вблизи нуля имеем:

y = у(0)+у'(0)х= (1+х)^1/2 |_x=0+= 1 +х

2.7. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная y´= f'΄(х )данной дифференцируемой функции y = f'(х), называемая производной первого порядка, представляет собой некоторую новую функцию. Пусть эта функция, в свою очередь, имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка называется производной второго порядка или второй производной и обозначается y′′ = ( y′ )′= f ′′ (х).

Аналогично, если существует производная от производной второго порядка, то она называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y′′′= ( y′′ )′= f ′′′ (х).

Производная от производной (n-1) порядка называется производной порядка n и обозначается :

′.

Пусть для функции y = f'(х) существует дифференциал

dy = f'΄(х)dx.

Так как dy есть функция от х, можно говорить о дифференциале данной функции. Дифференциал от дифференциала данной функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом этой функции и обозначается как d²y:

d ( dy ) = d²y