Таким образом:

Из данной формулы следует другое определение производной:

производная есть отношение дифференциала функции

к дифференциалу аргумента.

Формула для дифференциала функции очень важна при взятии интегралов, приближенного вычисления функции в данной точке и решении дифференциальных уравнений.

1. Геометрический смысл производной.

Пусть функция y=f(х) определена на отрезке X=[a;b] и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х, а точка Р значению х+∆х (смотри Рис.1). Проведем через точку М и Р прямую и назовем ее секущей (S₁). Значение функции в точках М и Р

равно f(х) и f(х+∆х) соответственно. Из рассмотрения Рис. 1 видно, что тангенс угла наклона секущей S₁ равен

Касательной S к графику функции y=f(х) в точке М (х;у) будем называть предельное положение секущей МР(S₁) при Р→М‚ т.е. при Δх→0.

f(x+x)

f(x)

Рис. 1.

Производная функции y=f(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке М (х;f(х)) = М(х,y):

f'^΄(х) = tg φ₀ =

2. Физический смысл производной.

Пусть функция s=s(t) описывает закон движения материальной точки М по прямой траектории, т.е. s=s(t) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время t. Тогда путь, пройденный М за время t + ∆t равен f(t + ∆t). За промежуток времени ∆t тело М пройдет путь, равный

∆s= s(t + ∆t) —s(t).

Средняя скорость Vср. движения точки М на отрезке ∆у за время ∆t равна:

Vср= ∆s/∆t.

Предел данного отношения при ∆t→ 0 называется мгновенной скоростью движения тела М в момент времени t:

По определению это и есть производная функции s=s(t) в точке t, т. е. производная функции s=s(t) в момент времени t есть мгновенная скорость тела М в данной точке.

3. Производная сложной функции.

До сих пор при нахождении производной предполагалось, что производная находится для функции у=f(х), где аргумент х—простая независимая переменная. Однако, в свою очередь, x может быть какой-то функцией, т.е. х = φ(t). Требуется найти производную такой сложной «двухэтажной» функции у=f[φ(t)] по аргументу t.

Докажем следующее правило для нахождения производной сложной функции у = f[φ(t)]:

у'_t=f'′_x ∙ φ'_t

Доказательство.

По определению нахождения производной:

У_t' = lim f[φ(t+∆t)] — f[φ(t)]

Δt→0 ∆t

Умножим и разделим числитель и знаменатель на выражение φ(t+∆t) — φ(t) и перегруппируем сомножители числителя и знаменателя:

У_t' = lim f[φ(t+∆t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0 ∆t φ(t+∆t) — φ(t)

= lim f[φ(t+∆t)] — f[φ(t)] φ(t+∆t) — φ(t) =

Δt→0φ(t+∆t) — φ(t) ∆t

= f'′_x ∙ φ'_t

Теорема доказана.

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от х через промежуточную элементарную функцию φ. Возможна и более сложная зависимость с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных каждая из которых элементарная функция. Однако правило дифференцирования остается таким же.

Пусть, например, у = f(х), где х=φ(u),u=ψ(v), v=λ(t). Тогда

У'_t= f'′_х (х) φ'_U(u) ψ'_V(v) λ'_t(t).

4. Таблица производных