ogurtsov_a_n_vvedenie_v_biofiziku_fizicheskie_osnovy_biotekh

состояние B равно

равен изменению энергии Гиббса при добавлении одного моля газа к бесконечно большому количеству этого же газа. Поэтому

его концентрация равна единице. Тогда химический потенциал компонента i смеси газов

нейтральных веществ и ионов изменение электрохимического потенциала имеет вид

Δμ = Δμ +We = μ0B −μ0A + RT ln ccB + zFΔϕ.

A

Условием равновесия является G = 0 . Тогда в общем случае, когда имеется перенос нейтральных и заряженных частиц, равновесие будет определяться соотношением μ = 0 или равенством электрохимических

потенциалов

μA = μB .

60

2.7. СРОДСТВО ХИМИЧЕСКОЙРЕАКЦИИ

Перейдем теперь от рассмотрения закрытых систем, к открытым системам, в которых происходят постоянные притоки и оттоки вещества. В этом случае изменение термодинамического потенциала в зависимости от состава системы происходит не только за счет протекания химических реакций, но и за счет притока вещества из внешней среды – существуют потоки вещества через границу системы.

Роль химического потенциала как "источника" сил, формирующих эти потоки вещества можно проиллюстрировать следующим примером. Если в ведро с водой капнуть каплю синих чернил, то они будут постепенно диффундировать из области высокой концентрации до тех пор, пока концентрация чернил не выровняется по всему объему ведра, вода при этом приобретет в равномерную бледно-голубую окраску. Значение химического потенциала в концентрированном растворе выше, чем в разбавленном и разность химических потенциалов играет ту же роль

вустановлении потоков вещества, что и температурный градиент при теплопереносе.

Входе химической реакции синхронно расходуются молекулы исходных веществ и образуются молекулы продуктов реакции. Например,

вреакции синтеза аммиака

N2 + 3H2 = 2NH3

при образовании двух молей аммиака расходуется один моль азота и три моля водорода. Поэтому, сохраняется постоянной величина, называемая

степенью полноты реакции

d ζ = d ni , vi

где d ni –изменение количества i -го компонента системы в ходе реакции, νi –соответствующий стехиометрический коэффициент с учетом правила

знаков (в данном примере νN2 = −1, νH2 = −3 , νNH3 = +2 ). Изменение энергии Гиббса в этой реакции

61

ddGt = −Aυ < 0 ,

где ddζt = υ – скорость химической реакции.

Условие

− Aυ < 0

может быть только в случае, когда A и υ имеют один и тот же знак. 62

В рассматриваемом примере перед достижением равновесия молекулы аммиака образуются, поэтому скорость реакции положительна, следовательно, сродство A для синтеза аммиака тоже величина положительная

3μH2 + μN2 − 2μNH3 > 0 .

Реакция самопроизвольно идет слева направо до тех пор, пока сродство положительно.

Если, например, в равновесную смесь добавить некоторое количество аммиака (сохраняя неизменным реакционный объем), то

сродство для синтеза аммиака становится величиной отрицательной, но в то же самое время сродство для образования водорода и азота из распавшихся молекул аммиака будет величиной положительной, и реакция будет протекать в обратном направлении.

В состоянии равновесия

A = −∑νi μi = 0 ,

Правая часть равенства представляет собой стандартное сродство химической реакции при данной температуре –стандартное изменение энергии Гиббса химической реакции

Для рассматриваемой реакции

63

Таким образом, зная стехиометрическое уравнение реакции, с помощью табличных значений химического сродства можно рассчитать константу равновесия и предсказать возможность протекания реакции.

Если в открытой системе проходят необратимые процессы, тогда изменение энтропии можно представить как

где de S –изменение энтропии за счет обмена с внешней средой, di S – производство (прирост) энтропии в самой системе вследствие необратимых процессов таких, как теплопроводность, диффузия, химические реакции. Так, вследствие химической реакции, изменение массы i -го компонента при химическом преобразовании имеет вид

d mi = νi Mi d ζ,

следовательно,

d ni = d mi = νi d ζ ,

Mi

где νi – стехиометрический коэффициент, ni –число молей вещества, Mi – молярная масса, ζ – степень полноты реакции.

Энтропия является полным дифференциалом, и изменение энтропии S(n1,n2 ,..., ni ) запишется как

64

или

di S = TA d ζ.

Общее изменение энтропии в открытой системе с учетом обмена энергией с внешней средой имеет вид

d S = δTQ + TA d ζ.

3.Как связаны универсальная газовая постоянная и постоянная Больцмана?

4.В чем отличие средней квадратичной скорости, наиболее вероятной скорости и средней скорости молекулы газа?

5.Что называется эффективным диаметром молекулы?

6.Перечислите явления переноса.

7.Какой процесс называется обратимым?

8.Какие функции называются термодинамическими потенциалами?

9.Что называется химическим потенциалом данного компонента?

10.В чем отличие химического и электрохимического потенциалов?

11.Что называется степенью полноты реакции?

12.Запишите определение сродства химической реакции.

13.Каким образом знак сродства химической реакции связан с ее

направлением?

65

Глава 3

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

Майкл Фарадей писал: "Как ни удивительны электрические явления, присущие неорганической материи, они не идут ни в какое сравнение с теми, которые связаны с деятельностью нервной системы и жизненными процессами". Способность животных и растений генерировать электрические потенциалы – одно из наиболее удивительных свойств биологических систем. Электрическая активность биологических клеточных систем непосредственно определяет как жизнедеятельность организмов вообще, так и способность организмов синтезировать целевые продукты в частном биотехнологическом процессе. Зачастую именно целенаправленное изменение электрической активности является самым эффективным способом управления метаболизмом биотехнологических систем.

3.1. ОСНОВНЫЕПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Электростатика – это раздел учения об электричестве, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов и свойства постоянного электрического поля.

Электрический заряд–это внутреннее свойство тел или частиц, характеризующее их способность к электромагнитным взаимодействиям. Единица электрического заряда – кулон( Кл) –электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с. Существует элементарный (минимальный) электрический заряд: e =1,6 10–19 Кл. Носитель элементарного отрицательного заряда– электрон. Его масса me =9,11 10–31 кг. Носитель элементарного положительного заряда – протон.Его масса mp =1,67 10–27 кг.

Перечислим фундаментальные свойства электрического заряда, установленные опытным путем.

66

•Электрический заряд существует в двух видах: положительный и отрицательный. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются.

•Электрический заряд инвариантен –его величина не зависит от

системы отсчета, т.е.от того,движется он или покоится.

•Электрический заряд дискретен –заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e .

•Электрический заряд аддитивен – заряд любой системы тел (частиц) равен сумме зарядов тел (частиц), входящих в систему.

•Электрический заряд подчиняется закону сохранения заряда: Алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри данной системы.

Под замкнутой системой в данном случае понимают систему, которая не обменивается зарядами с внешними телами.

находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q1 и q2 , и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

F = 4πε1 0 qr1q2 2 .

Сила FG направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т. е. является центральной, и соответствует притяжению ( F < 0 ) в случае разноименных зарядов и отталкиванию ( F > 0 ) в случае одноименных зарядов. В векторной форме, сила, действующая на заряд q1 со стороны заряда q2

FG12 = 4πε1 0 qr1q2 2 rr12 .

67

В свою очередь на заряд q2 со стороны заряда q1 действует сила

F21 = −FG12 .

ε0 –это электрическая постоянная, относящаяся к числу фундаментальных физических постоянных

или

ε0 =8,85 10−12 Фм ,

где фарад (Ф) –единица электрической емкости.

Если взаимодействующие заряды находятся в изотропной среде, то кулоновская сила

F = 1 q1q2 , 4πε0 εr2

где ε – диэлектрическая проницаемость среды –безразмерная величина,

показывающая во сколько раз сила взаимодействия F между зарядами в данной среде меньше их силы взаимодействия F0 в вакууме

(например, в случае заряженной пластины) или объема. Соответственно пользуются понятиями линейной, поверхностной и объемной плотностей зарядов.

Объемная плотность электрических зарядов

ρ = ddVq ,

где d q – заряд малого элемента заряженного тела объемом dV .

Поверхностная плотность электрических зарядов

σ= ddSq , 68

где d q – заряд малого участка заряженной поверхности площадью d S .

неподвижными электрическими зарядами. Электростатическое поле описывается двумя величинами –потенциалом (энергетическая скалярная характеристика поля) и напряженностью (силовая векторная характеристика поля).

Напряженность электростатического поля – векторная физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный заряд q0 ,помещенный в данную точку поля

EG = F . q0

Единица напряженности электростатического поля –ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл = 1 В/м, где В (вольт) –единица потенциала электростатического поля.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме (ε = 1)

зарядом, то вектор EG направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положительного заряда). Если поле создается отрицательным зарядом, то вектор EG направлен к заряду( притяжение).

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора E (рисунок 11(а )). Линиям напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора напряженности. Так как в данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по модулю и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности.

а

б –направление поля, в–к определению потока векторанапряженности

Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности– радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен, и входящие в него, если заряд отрицателен (рисунок 11(б)).

Понятие потока вектора E . Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, их проводят с определенной

70

должно быть равно модулю вектора E . Тогда число линий напряженности,пронизывающих элементарную площадку d S ,равно

поля и однозначно определяют A ( rG) –векторную функцию векторного аргумента.

Поток поля через поверхность. Разобьем данную поверхность S на n элементарных площадок размером Si . Внутри каждой площадки выберем точку Mi и в этой точке построим нормальный к поверхности

единичный вектор nG и вектор Si = nG Si , направление которого n , а 71

модуль Si . Тогда скалярный поток векторного поля определяется как

Принцип суперпозиции электростатических полей. К кулонов-

ским силам применим принцип независимости действия сил –

результирующая сила, действующая со стороны поля на пробный заряд равна векторной сумме сил, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов, создающих электростатическое поле. Напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, также равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности

электростатических полей. Он позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя теорему Гаусса, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность. Рассмотрим поток вектора напряженности через сферическую поверхность радиуса r , охватывающую точечный заряд q , находящийся в ее центре

Этот результат справедлив для любой замкнутой поверхности произвольной формы, охватывающей заряд. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Согласно принципу

суперпозиции напряженность поля E , создаваемого всеми зарядами, 72

равна сумме напряженностей Ei , создаваемых каждым зарядом в отдельности.Поэтому

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0 .

Если заряд распределен в пространстве с объемной плотностью ρ = dq / dV ,то теорему Гаусса можно записать в виде

ΦE = v∫ EndS = ε1 ∫ρdV .

S 0 V

Теорема Гаусса для потока вектора напряженности электростатического поля является частным применением формулы Гаусса-Остроградского, в которой используется понятие дивергенции векторного поля, а, следовательно, производной по объему векторного поля.

Производная по объему. Под производными по объему векторного поля в точке M понимают величину, которую получают следующим

ную по объему поля в точке M

73

источниками поля, а те,в которых div A < 0 – стоками поля.

Формула Гаусса-Остроградского. Для пространственной области

G ,ограниченной замкнутой поверхностью S

∫∫∫div AdV = ∫∫Ad S

G S

или

G JJG

∫div AdV = v∫ Ad S .

G S

Понятие оператора. Подобно тому, как функция " y " есть рецепт, позволяющий по данному числу x найти другое число y = f (x) , так оператор L есть математическое действие, позволяющее по заданной функции( ϕ) x вычислить другую функцию φ(x) = Lϕ(x) . Дивергенция является оператором.Другие примеры операторов.

•Оператор градиента (оператор Гамильтона или набла-

оператор). Градиентом поля U (r ) называется вектор, определяемый в каждой точке поля соотношением

gradU = ∂∂Ux iG + ∂∂Uy Gj + ∂∂Uz kG.

("набла") обозначает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором

Обозначения ротора

rot AG ≡ ∂∂rG, AG ≡[ , AG] .

•Оператор Лапласа (лапласиан). Пусть U (M ) –скалярное поле,

тогда оператор Лапласа U определяется следующим образом

U (M ) = div gradU (M ) ,

или в декартовых координатах:

точечный заряд q0 вдоль произвольной траектории (рисунок 12(а )), то

Работа A12 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы – консервативными.

аб

Рисунок 12 – К определению циркуляции вектора напряженности: а – схема сил, б –взаимная ориентация контура ивектораполя

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L (рисунок 12(б)) равна нулю

v∫d A = 0 .

L

женности электростатического поля по заданному замкнутому контуру L .

Теорема о циркуляции вектора E : Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю

76

JG

v∫ Edl = v∫El dl = 0.

L L

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электрического поля неподвижных зарядов (электростатического).

Потенциальная энергия заряда. В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией, и работа консервативных сил

Потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

W = 4πε1 0 qqr 0 + const .

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем – const = 0 . Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна. Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности

Потенциал электростатического поля. Отношение W не зависит q0

от пробного заряда q0 и является энергетической характеристикой поля,

называемой потенциалом

ϕ= W . q0

77

Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Например, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q равен

ϕ = 4πε1 0 qr .

Разность потенциалов. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

A12 =W1 −W2 = q0 (ϕ1 −ϕ2 ) = q0Δϕ,

т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек 1и 2в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из точки 1в точку 2

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

Если перемещать заряд q0 из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля A∞ = q0ϕ, следовательно

78

ϕ= A∞ . q0

Мы получили еще одно определение потенциала: потенциал –это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки в бесконечность.

Единица потенциала –вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж

(1 В = 1 Дж/1 Кл).

Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей:

если поле создается несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов.

Для потенциального поля, между потенциальной( консервативной)

силой и потенциальной энергией существует связь:

FG = −gradW = − W ,

где ("набла ") – оператор Гамильтона.

Поскольку F = qEG и W = qϕ,то

EG = −gradϕ = − ϕ.

Знак минус показывает, что вектор E направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности –поверхности , во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение (рисунок 13).

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

На рисунке 13пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями – сечения эквипотенциальных поверхностей.

79