ogurtsov_a_n_vvedenie_v_biofiziku_fizicheskie_osnovy_biotekh

называется магнитной проницаемостью вещества. Именно эта величина использовалась ранее в соотношении B =μ0μHG . Для диамагнетиков μ <1, для парамагнетиков μ >1.

Закон полного тока для магнитного поля в веществе является обобщением закона полного тока для магнитного поля в вакууме. Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и молекулярных токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную

постоянную

G JG

v∫ Bdl = v∫ Bl dl = μ0 (I + I′) ,

L L

где I и I′ –соответственно алгебраические суммы макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L .

При этом циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме молекулярных токов, а циркуляция вектора HG –сумме токов проводимости, охватываемых

этим контуром

JG

v∫ H dl = I .

L

120

Вихревое электрическое поле. Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных проводниках (второй опыт Фарадея) Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое основное положение теории Максвелла). Циркуляция вектора напряженности EGB этого поля

Здесь и в дальнейшем мы используем частную производную по времени, поскольку в общем случае электрическое поле может быть неоднородным, и может зависеть не только от времени,но и от координат.

Таким образом, циркуляция вектора EB не равна нулю, т.е.

электрическое поле EGB , возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.

Суммарное электрическое поле складывается из электрического

Это выражение является первым уравнением системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Максвелл предположил, что аналогично магнитному полю и всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем пространстве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории Максвелла). Поскольку магнитное поле есть основной, обязательный признак всякого тока, то Максвелл назвал переменное электрическое поле током смещения, в отличие от тока проводимости, обусловленного движением заряженных частиц.

Надо сказать, что термин ток смещения не является удачным. Он имеет некоторое основание в случае диэлектриков, так как в них действительно смещаются заряды в атомах и молекулах. Однако понятие тока смещения применяется и для полей в вакууме, где никаких зарядов, а, следовательно, и никакого их смещения нет. Тем не менее, этот термин сохранился в силу исторических традиций.Плотность тока смещения:

Gjсм = ∂∂Dt .

Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется производной

G

вектора D , но не самим вектором D . Так, например, в поле плоского

G

конденсатора вектор D всегда направлен от положительной пластины к

отрицательной. Но в случае, если электрическое поле возрастает, то ∂∂Dt ,

отрицательной пластины к положительной, и магнитное поле противоположно (рисунок 26(б)) по сравнению с первым случаем.

Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри проводника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри проводника имеется и ток проводимости, и ток смещения, и магнитное поле проводника определяется суммой этих двух токов.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимости и смещения.

122

Плотность полного тока

Gjполн = Gj + ∂∂Dt .

Полный ток всегда замкнут. На концах проводников обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике (или в вакууме) между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает ток проводимости. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

аб

Рисунок 26 – Вихревое магнитное поле: а – при возрастании электрического поля,б –при убыванииэлектрического поля

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора HG , использовав полный ток

Обобщенная теорема о циркуляции вектора H представляет собой второе уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Третье уравнение системы уравнений Максвелла для электромагнитного поля это теорема Гаусса для поля D . Для заряда, непрерывно распределенного внутри замкнутой поверхности с объемной плотностью ρ,это уравнение имеет вид

123

JJG

v∫ Dd S = ∫ρdV .

S V

Четвертое уравнение Максвелла – это теорема Гаусса для поляB

JJG

v∫ Bd S = 0 .

S

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид

Для того чтобы эта система уравнений была полной ее необходимо дополнить такими соотношениями, в которые входили бы величины, характеризующие индивидуальные свойства среды, в которой возбуж-

1)источниками электрического поля являются либо электрические заряды,либо изменяющиеся во времени магнитные поля,

2)магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями,

3)переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им

электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда

124

пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла – интегральная и дифференциальная –эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва –поверхности , на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Для того чтобы эти уравнения Максвелла в дифференциальной форме были справедливы и на границах сред, где величины, входящие в уравнения, меняются скачкообразно, необходимо дополнить эти уравнения граничными условиями, которым должно удовлетворять магнитное поле на границе раздела двух сред

Dn1 = Dn2 , Eτ1 = Eτ2 , Bn1 = Bn2 , Hτ1 = Hτ2 .

(первое и последнее уравнения выведены для случая, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов,ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла –наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль,как законы Ньютона в механике.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Перечислите фундаментальные свойства электрического заряда.

2.Что называется диэлектрической проницаемостью среды?

3.Как определяются линейная, поверхностная и объемная плотность электрического заряда?

4.Что такое напряженность электростатического поля? Как она связана с потенциалом поля?

5.Как определяется поток вектора напряженности электростатического поля?

6.Запишите теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме и в диэлектрике.

7.Что называется оператором? Приведите примеры операторов.

8.Как определяется циркуляция вектора напряженности?

9.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

126

10.Что называется разностью потенциалов? Как разность потенциалов связана с напряжением?

11.Что называется электрическим диполем?

12.Какие вы знаете типы диэлектриков и типы поляризации диэлектриков?

13.Как связаны диэлектрическая восприимчивость вещества и его диэлектрическая проницаемость?

14.Что называется электрической емкостью проводника?

15.Как связаны сила тока и плотность тока?

16.Какие силы называются сторонними?

17.Как электродвижущая сила связана со сторонними силами? 18.В чем отличие однородных и неоднородных участков электричес-

ких цепей?

19.Как связаны удельная электрическая проводимость и удельное электрическое сопротивление проводника?

20.Запишите закон Ома в дифференциальной форме.

21.Как определяется направление магнитного поля?

22.В чем отличие микротоков и макротоков?

23.Почему контур с током часто называют магнитным диполем? 24.Запишите закон Ампера.

25.Почему сила Лоренцо не совершает работу?

26.В чем отличие двух опытов Фарадея?

27.Что определяет правило Ленца?

28.Какое электрическое поле называется вихревым?

29.Какой вид электромагнитной индукции называется самоиндукцией?

30.Сравните выражения для объемной плотности электрического и магнитного полей.

31.Почему электрический и магнитный моменты электрона противоположно направлены?

32.Что называется прецессией орбиты электрона?

33.В чем отличие парамагнетиков от диамагнетиков?

34.Запишите систему уравнений Максвелла в дифференциальной

форме.

127

Глава 4

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

4.1. ОСНОВНЫЕПОНЯТИЯ ИПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Постулат о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц.

Электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Каждому объекту присущи как

корпускулярные характеристики –энергия E и импульс p , так и волновые характеристики – частота ν и длина волны λ. Соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками частиц

E = hν = ω и p = mυ = λh .

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом (в том числе и частице, в отличие от фотона, обладающей массой покоя), сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по

формуле Луи де Бройля

λ = hp .

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах по дифракции электронов на монокристаллах металлов–естественных дифракционных решетках –и на металлических пленках (рисунок 27). Даже в случае чрезвычайно слабых пучков, когда каждый электрон проходил препятствие независимо от других электронов пучка, формировалась дифракционная картина как в проходящем, так и в отраженном пучке электронов.

Полная энергия частицы определяется частотой волн де Бройля с помощью соотношения

E = hν.

Таким образом, корпускулярно-волновой дуализм является универсальным свойством материи. Это свойство существенным образом проявляется только для микрообъектов. Для макроскопических тел длины волн де Бройля исчезающе малы (так, например, частице массой 1 г,

128

движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует длина волны де Бройля с λ =6,62·10–31 м) и волновыми эффектами пренебрегают.

аб

Рисунок 27 –Дифракция электронов: а – схема опыта, б –дифракционная картина

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц определяет еще одно необычное, с точки зрения классических представлений, свойство микрообъектов – невозможно одновременно точно определить координа-

ту и импульс частицы. В самом деле, поскольку каждой частице соответствует волновой процесс, то неопределенность "местоположения" частицы порядка длины волны де Бройля x ≈ λ и классическое понятие траектории теряет смысл. Для макроскопических объектов длины волн де Бройля исчезающе малы, поэтому для них применимо понятие траектории движения.

Микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x, y, z) и определенную соответствующую проекцию импульса ( px , py , pz ) , причем неопределенности этих величин удовлетворяют

соотношениям

x px ≥ h , y py ≥ h , z pz ≥ h ,

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h .

Соотношение неопределенностей– это квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам. Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и

129

соответствующие им проекции импульса имели бы одновременно точные значения. Для неопределенности энергии E некоторого состояния системы и промежутка времени t , в течение которого это состояние существует,также выполняется соотношение неопределенностей

E t ≥ h .

Следовательно, система, имеющая среднее время жизни t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии E = h t возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота ν излученного фотона также должна иметь неопределенность Δν = Eh ,т. е. спектральные линии должны иметь конечную ширину

δν = ν ± hE .

Постулат о волновой функции. Интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства связана с числом частиц, попавших в эту точку, о чем свидетельствуют опыты по дифракции микрочастиц. Поэтому волновые свойства микрочастиц требует статистического (вероятностного) подхода к их описанию. Для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция. Любое состояние системы описывается волновой функцией – функцией состояния системы

Ψ(x, y, z,t) .

Она определяется таким образом, чтобы вероятность d w того, что частица находится в элементе объема dV была равна

d w = Ψ2 dV .

Физический смысл имеет не сама функция Ψ, а квадрат ее модуля Ψ 2 = ΨΨ , которым задается интенсивность волн де Бройля (здесь Ψ –

функция, комплексно сопряженная с Ψ). Величина Ψ 2 имеет смысл

плотности вероятности ρw ,

ρw = ddVw = Ψ 2 .

а сама волновая функция Ψ имеет смысл амплитуды вероятности.

130

Условие нормировки вероятностей получается из того, что вероятность существования частицы где-либо в пространстве равна единице (интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству).

+∞∫ Ψ 2 dV =1.

−∞

Свойства волновой функции. Волновая функция, характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объема должна быть

1)конечной( вероятность не может быть больше единицы),

2)однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной),

3)непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Принцип суперпозиции состояний. Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ1, Ψ2 ,…,Ψn ,…, то она также может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций

Ψ = ∑CnΨn ,

n

где Cn (n =1, 2, …) – произвольные,вообще говоря,комплексные числа

Сложение волновых функций( амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Постулат Шредингера. Основное уравнение нерелятивистской

квантовой механики имеет вид

потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется; 131

– оператор Лапласа.

Это уравнение постулировано Шредингером в1926году и известно как волновое уравнение Шредингера (другое название – общее уравнение Шредингера). Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1)волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2)производные ∂Ψ∂x , ∂Ψ∂y , ∂Ψ∂z , ∂Ψ∂t должны быть непрерывны;

3)функция Ψ 2 должна быть интегрируема (это условие в

простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей).

Важным частным случаем общего уравнения Шредингера, является

уравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключена зависимость Ψ от времени и, поэтому, значения энергии этих состояний являются фиксированными (не изменяются со временем). В

этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т. е.

функция U =U (x, y, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Решение уравнения может быть представлено в виде произведения двух функций – функции только координат и функции

только времени:

Ψ(x, y, z,t) = ψ(x, y, z) exp −i E t ,

после упрощений приобретает вид

2

− 2m Δψ +Uψ = Eψ,

или

Hψ = Eψ .

Гамильтона или оператором полной энергии системы.

Физический смысл имеют только регулярные волновые функции –

конечные, однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Эти условия выполняются только при определенном наборе значений энергии E (квантование энергии). Эти значения энергии называются собственными. Решения уравнения Шредингера, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном) спектре,во втором – о дискретном спектре.

Постулат о самосопряженном операторе. Каждой динамической переменной (координате, импульсу, энергии и т. д.) в классической физике

соответствует линейный самосопряженный оператор в квантовой

∫ψ1* (x)Lψ2 (x)d x = ∫ψ2 (x)Lψ1* (x)d x ,

∞∞

здесь ∫ обозначает интегрирование по всему пространству.

∞

Постулат о средней величине. Если рассматриваемая система находится в состоянии, описываемом волновой функцией ψ, то среднее значение E наблюдаемой энергии определяется выражением

E= ∫ψ*Hψd θ .

∫ψ*ψd θ

Принцип неразличимости тождественных частиц. Тождествен-

ные частицы экспериментально различить невозможно. В квантовой физике частицы, имеющие одинаковые физические свойства–массу , электрический заряд, спин и т.д. являются тождественными. Этот фундаментальный принцип квантовой физики не имеет аналога в классической физике. В классической механике одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и отследить их траекторию. В квантовой механике, поскольку понятие траектории лишено смысла, то частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Математическая запись принципа неразличимости (тождественности)

ψ(x1, x2 ) 2 = ψ(x2 , x1) 2 ,

где x1 и x2 –соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Возможны два случая

ψ(x1, x2 ) = ψ(x2 , x1)

и

ψ(x1, x2 ) = −ψ(x2 , x1) .

В первом случае волновая функция системы при перемене частиц местами не меняет знака; такая функция называется симметричной. Во втором случае при перемене частиц местами знак волновой функции изменяется; такая функция называется антисимметричной. При этом характер

ными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака – эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым или

134

целочисленным спином (например, π-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе– Эйнштейна – эти частицы называются бозонами.

Принцип (запрет) Паули. Из принципа неразличимости частиц следует, что в одном и том же атоме (система фермионов) не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, m, ms .

4.2. ОСНОВЫ СИСТЕМАТИКИАТОМНЫХ СОСТОЯНИЙ

На примере атома водорода –простейшего атома, содержащего единственный внешний электрон, –рассмотрим основы систематики квантовых состояний атомов. Поле водородоподобного атома – это пример центрального поля. В таком поле удобно использовать сферическую систему координат: r , θ, ϕ (рисунок 28(а)).

Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия электрона с атомным ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z =1) записывается в виде

= − Ze2

U (r) 4πε0r ,

где r – расстояние между электроном и ядром.

135

Стационарное уравнение Шредингера для водородоподобного атома

имеет решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции(ψ, r, θ) ϕ только для дискретного набора отрицательных энергий

В центральном поле волновую функцию можно представить в виде произведения радиальной функции, зависящей только от расстояния от центра атома, и угловой функции, описывающей пространственное расположение электронного облака.

ψ(r,θ,ϕ) = Rn,l (r) Yl,m (θ,ϕ) .

Собственные волновые функции водородоподобного атома определяются квантовыми числами n , l , m и ms (таблица 2).

Таблица 2 –Квантовые числа для водородоподобного атома

энергетические уровни электрона в атоме. Орбитальное квантовое число l при заданном n принимает значения l = 0,1, 2, …, (n −1) и определяет величину момента импульса (механического орбитального момента)

электрона в атоме Ll = l(l +1) .

Магнитное квантовое число m при данном l принимает значения

m= 0, ±1, ± 2, …, ± l

иопределяет величину момента импульса электрона в заданном

136

направлении. Так орбитальный момент импульса электрона Ll может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых проекция Llz

вектора Ll на направление внешнего магнитного поля принимает только квантованные значения,кратные (пространственное квантование)

Llz = m .

Ll для электронов с l =1 (рисунок 29(а)) и l = 2 (рисунок 29(б)).

аб

Рисунок 29 – Квантованиеорбитальногомомента : а–приl = 1,б – приl = 2

Правила отбора для атомных переходов. Переходы между электронными состояниями возможны только в том случае,если

Электронные радиальные волновые функции для атома водорода и плотности вероятности нахождения электрона в зависимости от расстояния от центра атома (в единицах боровского радиуса a0 ) приведены на рисунке 30.

137

Рисунок 30 – Радиальныеволновые функции (слева) иплотности вероятности

Боровский радиус a0 –это наиболее вероятное расстояние между электроном и протоном в 1s состоянии атома водорода

Пространственное изображение электронных орбиталей в зависимости от углов θ,ϕ представляют:

1)в виде плотности расположения точек для воспроизведения вероятности нахождения электрона в какой-либо области пространства (рисунок 31),

2)в виде поверхностей вращения, охватывающих область

пространства содержащей порядка 80%электронной плотности данной орбитали (рисунок 32).

Рисунок 31 – Наглядное изображение электронных орбиталей в виде плотности расположенияточек