2.5. Взаимное положение прямых и плоскостей

Для решения некоторых задач начертательной геометрии существенное значение имеет расположение рассматриваемых геометрических объектов либо параллельно, либо перпендикулярно друг другу. В связи с этим рассмотрим признаки, по которым можно определить параллельность либо перпендикулярность геометрических объектов, а также зависящие от них правила построения проекций геометрических объектов, расположенных под определенным углом друг к другу.

Следует отметить, что эти признаки хорошо известны из курса планиметрии, нашей же целью является их применение к задачам начертательной геометрии.

Параллельность прямых и плоскостей

а). Если прямые параллельны друг другу, тогда параллельны и их одноименные проекции. Это свойство достаточно очевидно и в пояснениях не нуждается.

б). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда для построения параллельной прямой а (рис. 2.9, а) необходимо, чтобы обе ее проекции были параллельны одноименным проекциям прямой (например, АВ), лежащей в данной плоскости. В соответствии с рис. 2.9, а прямая а параллельна плоскости Н, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС. В математической форме это можно записать так: а Н (АВ  ВС).

Рис. 2.9. Построение параллельно расположенных геометрических объектов

в) Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости попарно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Для интерпретации этого свойства достаточно дополнить построения на рис. 2.9, а еще одной прямой в,пересекающейа и параллельнойВС(рис. 2.9, б). Математическая запись выглядит так:Г(а  в) Н (АВВС).

.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Вопрос перпендикулярности геометрических объектов начинаем с рассмотрения перпендикулярности прямой и плоскости, так как остальные сочетания зависят от этого признака.

а). Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости, одна из которых фронталь, а другая горизонталь.

Дополнение насчет горизонтали и фронтали весьма существенно. Хотя для перпендикулярности вполне достаточно чтобы указанными пересекающимися прямыми были любые прямые в данной плоскости, однако только горизонталь и фронталь позволяют получить без искажений проекции прямого угла (в соответствии с Теоремой о прямом угле), образованного перпендикуляром к плоскости и фронталью (наП₂) и перпендикуляром к плоскости и горизонталью (наП₁). Тогда очевидно, что горизонтальная проекция этого перпендикуляра расположена под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Покажем на примере (рис. 2.10, а). Пусть плоскость задана треугольником АВС. Требуется построить перпендикулярную к ней прямую, проходящую через точкуD.

Рис. 2.10. Построение перпендикулярно расположенных геометрических объектов.

Сначала вычертим главные линии плоскости горизонталь и фронталь, затем из точки D₁проведем перпендикулярg₁кh₁, а из точкиD₂- перпендикулярg₂ кf₂. Математически результат можно записать так:gH(АВС).

б). Плоскости перпендикулярны друг к другу, если одна из них содержит перпендикуляр к другой.

Тогда, возвращаясь к рис. 2.10, а, где перпендикуляр gк плоскости уже построен, необходимо через точкуDпровести произвольную прямуюq(рис. 2.10, б). В математической форме запись выглядит так:Г(g  q)  Н(АВС).

То, что вторая прямая qпроводится произвольно неудивительно, так как через перпендикуляр к плоскости можно построить веер плоскостей, перпендикулярных к данной.

в). Прямые взаимно перпендикулярны, если на одной из них можно построить плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Пусть требуется построить перпендикуляр к g,проходящий через точкуА. Следуя вышеуказанному признаку, сначала нужно построить плоскость, перпендикулярную кgи проходящую через точкуА. Эта плоскость будет задана фронтальюfи горизонтальюh,причемh₁  g₁ и f₂  g₂, а проекцииh₂ иf₁ проводим параллельно осиОХ(рис. 2.11).

Рис. 2.11. Построение взаимно перпендикулярных прямых.

Любая прямая, лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна g.Например, прямаяАВ, полученная по точкам пересечения 1 и 2 с плоскостью, заданнойhиf.При решении этой задачи следует учесть, что если мы хотим построить пересекающиеся перпендикулярные прямые, тогда прямаяАВдолжна быть построена единственным образом. А именно, сначала требуется найти точкуВ, пересеченияgи плоскостиН (h  f),затем провестиАВ. В нашем случаеАВвыбрана произвольно и точкаВне является точкой пересеченияg и плоскостиН (h  f).Вопросы пересечения прямой и плоскости рассматриваются ниже.