Лекция №7. Пересечение поверхностей общего положения
Для построения линии пересечения поверхностей общего положения необходимо применение одного из методов решения позиционных задач.
Оба метода базируются на одном и том же принципе — построения линий пересечения некоторых вспомогательных поверхностей с заданными.
В качестве таковых выбираются либо плоскости (метод вспомогательных секущих плоскостей), либо сферы (метод вспомогательных секущих концентрических сфер). В любом случае задача сводится к построению линий пересечения этих вспомогательных поверхностей с заданными, а затем определению точек их пересечения между собой.
7.1. Взаимное пересечение поверхностей вращения. Метод вспомогательных секущих плоскостей
Для построения линии пересечения поверхностей вращения, расположенных произвольно в пространстве, удобно использовать известный метод вспомогательных секущих плоскостей.
Решим задачу о пересечении прямого конуса и сферы (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Пересечение конуса и сферы.
Ось конуса – горизонтально-проецирующая прямая i , а ось сферы - i*.
В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, так как на П2 линиями их пересечения с конусом и сферой являются горизонтальные прямые, а на П1 – дуги окружностей, построение которых не вызывает затруднений. Так, для произвольной горизонтальной плоскости Г* имеем: линиями ее пересечения с конусом и сферой являются окружности, которые на П2 проецируются в горизонтальные прямые, совпадающие с Г2*. Тогда на П1 эти линии представляют собой дуги окружностей, радиусами R и r, каждый из которых равен расстоянию от соответствующей оси до контура конуса и сферы на П2. Пересечение этих дуг и дает точки 21 и 21*, являющиеся искомыми горизонтальными проекциями точек пересечения конуса и сферы. Проводя вертикальную линию связи до пересечения с Г2*, получаем фронтальные проекции 22 и 22* найденных точек.
Аналогично находим горизонтальные и фронтальные проекции точек 1, 3, 4, 1*, 3*, 4*, которые являются парными, так как лежат в одной горизонтальной плоскости уровня. Исключение составляет точка 5, поскольку она является точкой перегиба линии пересечения.
Характерными в данном примере будут точки 1 и 1*, лежащие на экваторе сферы. Как видим, эти точки определяют на П1 переход видимого участка искомой линии в невидимый. Также характерными являются точки 6 и 7, лежащие на главном меридиане, которые на П2 разделяют видимый и невидимый участки линии пересечения конуса и сферы.
Проведя плавные кривые через найденные проекции точек, получим фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения конуса и сферы.
7.2. Пересечение соосных поверхностей вращения. Метод концентрических сфер
При построении линии пересечения соосных поверхностей вращения, т.е. таких, оси которых пересекаются, наиболее эффективным является метод вспомогательных секущих концентрических сфер.
Оговоримся, что этот метод применим лишь в случае выполнения трех условий:
1). Обе поверхности, линию пересечения которых мы определяем, являются поверхностями вращения;
2). Оси этих поверхностей вращения должны быть параллельны одной из плоскостей проекций;
3). Оси заданных поверхностей должны пересекаться.
Как видим, для решения предыдущей задачи о пересечении конуса и сферы указанный метод неприменим, так как не выполняется третье условие.
Решим задачу о пересечении двух конусов, оси которых пересекаются и параллельныП2(рис. 7.2).
Рис. 7.2. Построение точек пересечения конусов.
Центромконцентрических сфер, которые обеспечивают дополнительные построения, необходимые для решения задачи, является точка пересечения осей поверхностей вращения. В данном случае это точкаОпересечения осей конусов.
Рассмотрим построение точек пересечения конусов с помощью произвольной сферы (рис. 7.2). Ее проекция на П2представляет собой окружность такого же радиуса, как и сфера.
А проекцией на П2линии пересечения построенной секущей сферы с конусом является прямая, параллельная основанию конуса. Ее можно построить, соединив точки пересечения окружности и контура конуса. Очевидно, что таких прямых две для каждого конуса.
Точки А2,В2,С2пересечения этих прямых между собой и являются фронтальными проекциями точек пересечения конусов. Как видим, используя только одну окружность, можно получить несколько точек пересечения конусов. Ясно, что их не может быть более четырех для одной дополнительно построенной сферы.
Далее не составляет труда построить горизонтальные проекции точек А, В, С, учитывая, что каждая из них является точкой на поверхности прямого конуса. Как излагалось ранее (п.4.1), для этого достаточно измерить расстояния от оси конуса до его контура по прямой, проходящей через точку, горизонтальную проекцию которой строим. Затем этим радиусом из точкиО1провести окружность и на ней по линии связи найти горизонтальную проекцию. На рис. 7.2 указанные построения выполнены для точкиС. Поскольку ей на П1соответствует две точкиС1иС1*, то понятно, что на П2имеем дело с двумя конкурирующими точками. Поэтому, уточняя предыдущие замечания, следует отметить, что построенная секущая сфера дает не три, а шесть точек пересечения конусов. Построение горизонтальных проекций остальных точек ничем не отличается от вышеприведенного.
Для того, чтобы построить линию пересечения конусов, точек, через которые она проходит, должно быть достаточное количество. Дальнейшее решение поставленной задачи рассмотрим на рис. 7.3. Четыре точки 12, 22, 32, 42 имеем без дополнительных построений, так как они лежат на пересечении образующих конусов. Остальные точки наП2получим, проведя четыре окружности. Для окружности радиусаR1фронтальными проекциями точек пересечения конусов являются 52, 52*, 52**, 52***. Для окружности радиусаR2таких точек две – 62, 62*. Окружность радиусаR3дает также две точки - 72, 72*. Окружность радиусаR4позволяет получить лишь одну точку 82. Очевидно, что проводить окружности радиусом, большим чемО242, и меньшим, чемR2, не имеет смысла, так как не получим ни одной точки пересечения.
Как видно на рис. 7.3, четырех окружностей достаточно для того, чтобы построить фронтальную проекцию линии пересечения конусов, соединив найденные точки.
Рис. 7.3. Пересечение двух конических поверхностей.
Для построения горизонтальной проекции полученных точек необходимо решить рассмотренную ранее задачу построения точек на поверхности конуса. Так, для построения точки, например, 71надо измерить расстояние по горизонтальной линии, проходящей через 72, от оси до контура конуса, а затем этим радиусом из точкиО1провести дугу. Точка 71лежит на пересечении этой дуги с линией связи, проведенной из 72. Аналогично строятся горизонтальные проекции остальных точек.
Поскольку точки 5* и 5** лежат на образующей горизонтального конуса, которая на П1является контурной, то, очевидно, что точки 51* и 51** служат точками перехода линии пересечения конусов из видимой зоны в невидимую.
С учетом того, что изображенные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня, соединив построенные
точки кривой линией, получим решение в окончательном виде (рис. 7.3).
В частном случае, когда размеры пересекающихся поверхностей вращения таковы, что обе они могут быть описаны вокруг одной и той же сферы, применима теорема Монжа.