Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4624 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тюменский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Dynamic_System_Modeling_and_Control.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
5.61 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

numerical methods - 17.27

17.8 A MAP OF TECHNIQUES FOR LAPLACE ANALYSIS

The following map is to be used to generally identify the use of the various topics covered in the course.

System Model

Some input

(differential equations)

disturbance in

 

terms of time

 

Laplace Transform

Transfer

Input described with

Function

Laplace Equation

 

We can figure out from plots

Experiments

Substitute

Root-Locus

 

for stability

Output Function (Laplace form)

Bode and Phase Plots

Phasor Transform

- Straight line

 

 

 

 

- Exact plot

Equations for gain and phase

 

 

Approximate equations for

at different frequencies

 

 

steady state vibrations

 

 

Steady state

 

 

frequency response

 

 

Output Function (Laplace terms) Partial Fraction

Inverse Laplace

Time based response equation

Figure 17.32 A map of Laplace analysis techniques

numerical methods - 17.28

17.9SUMMARY

•Transfer and input functions can be converted to the s-domain

•Output functions can be calculated using input and transfer functions

•Output functions can be converted back to the time domain using partial fractions.

17.10PRACTICE PROBLEMS

1. Convert the following functions from time to laplace functions using the tables.

a)

L[ 5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o)

 

··

·

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L[ x + 5x + 3x],

x( 0) = 8, x( 0) = 7

b)

 

 

–3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

L

[ e

 

 

 

]

 

 

 

 

 

 

p)

L

 

 

( 6t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---- sin

 

 

 

L[ 5e–3t]

 

 

 

 

 

dt

3

 

 

 

 

 

 

 

c)

 

 

q)

L

 

d

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 5te

–3t

]

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

d)

L

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r)

L

 

∫ ydt

 

 

 

 

 

 

 

e)

L

[ 5t]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s)

L[ 3t3( t – 1) + e–5t]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f)

L[ 4t2]

 

 

 

 

 

 

t)

L[ u( t – 1) – u( t – 2) ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g)

L

[ cos ( 5t) ]

 

 

u)

L[ e–2tu( t – 2) ]

 

 

–( t + 1)

 

 

h)

L[ 3( t – 1) + e

]

v)

L[ e–( t – 3) u( t – 1) ]

 

 

 

i)

L

[ 5e

–3t

cos ( 5t) ]

 

w)

L[ 5e–3t

+ u( t – 1) – u( t – 2) ]

 

 

 

 

 

 

 

j)

L

[ 5e

–3t

cos ( 5t + 1) ]

x)

L[ cos ( 7t + 2) + et – 3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k)

L[ sin ( 5t) ]

 

 

y)

L[ cos ( 5t + 1) ]

 

l)

L

[ sinh ( 3t) ]

 

 

z)

L[ 6e–2.7t cos ( 9.2t + 3) ]

 

 

 

m)

L

[ t2 sin ( 2t) ]

 

 

aa)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n)

L

 

d

 

2

e

–3t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

numerical methods - 17.29

2. Convert the following functions below from the laplace to time domains using the tables.

a)

L

–1

 

1

 

 

 

 

g)

L

–1

 

5

1 – e

–4.5s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----------

 

 

 

 

 

--(

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

s + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

L

–1

 

5

 

 

 

 

 

 

–1

 

4 + 3j

 

 

 

4 – 3j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----------

 

 

 

 

h)

L

 

 

s + 1 – 2j + s + 1 + 2j

 

 

 

 

s + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

L

–1

 

6

 

 

 

 

 

 

i)

L

–1

 

6

+

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----

 

 

 

 

 

 

 

----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s4

 

s

2 + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d)

L

–1

 

6

 

 

 

 

 

 

j)

L

–1

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

----

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s3

 

s + 2

 

 

 

 

 

s2 + 5s + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)

L

–1

 

 

 

 

k)

L

–1

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(--------------------------------s + 3) ( s + 4)

 

 

----------------------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4s

2

+ 20s + 24

 

 

f)

L–1

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Convert the following functions below from the laplace to time domains using partial fractions and the tables.

a)

L

–1

 

 

 

s + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

g)

L

–1

 

s3 + 9s2 + 6s + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

--------------------------------( s + 3) ( s + 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s----------------------------------------

3

+ 5s

2

+ 4s + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

L–1[

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h)

L–1

 

9s + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( s + 3) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

L–1[

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i)

L–1

 

 

9s + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----------------------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s3( s + 3) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d)

L

–1

[

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j)

L

–1

 

s2 + 2s + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------s2 + 3s + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)

L

–1

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k)

L

–1

 

s2 + 3s + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s----------------

2 + 5s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------

6s2 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f)

L

–1

 

9s2 + 6s + 3

 

 

 

 

 

 

 

l)

L

–1

 

s2 + 2s + 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s----------------------------------------

3 + 5s2 + 4s + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

-------------------------s2 + 2s + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Convert the output function below Y(s) to the time domain Y(t) using the tables.

 

 

 

 

 

 

 

 

Y( s)

5

 

12

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= --s

+ -------------

2

+ 4

+ s----------------------+ 2 – 3j

+ s----------------------+ 2 + 3j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
s2 + 4
------------------------------------------------------------------
s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24
9. Convert the output function to functions of time.
a) s3 + 4s2 + 4s + 4
----------------------------------------
s3 + 4s
b)

numerical methods - 17.30

5.Convert the following differential equations to transfer functions.

···

a)5x + 6x + 2x = 5F

b)

·

y + 8y = 3x

c)

·

y – y + 5x = 0

6. Given the transfer function, G(s), determine the time response output Y(t) to a step input X(t).

G( s)

=

4

 

=

Y( s)

X( t) = 20 When t >= 0

-----------

----------

 

 

s +

2

 

X( s)

 

7. Given the following input functions and transfer functions, find the response in time.

 

Transfer Function

 

Input

 

 

 

 

 

 

 

x( s)

 

s + 2

m

F( t) = 5N

a)

----------

=

--------------------------------

---

F( s)

( s + 3) ( s + 4)

N

 

x( s)

 

s + 2

m

x( t) = 5m

b)

----------

=

--------------------------------

---

F( s)

( s + 3) ( s + 4)

N

 

 

 

8.Do the following conversions as indicated.

a)L[ 5e–4t cos ( 3t + 2) ] =

b)L[ e–2t + 5t( u( t – 2) – u( t) ) ] =

c)

 

 

 

d 3

 

d

 

 

 

 

 

 

where at t=0

y0 = 1

y0'

=

2

L

 

 

y + 2

y + y

=

 

 

 

 

----

----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

y0'' = 3

y0'''

=

4

d)

 

–1

 

1 + j

 

 

1 – j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

s + 3 + 4j + s + 3 – 4j

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)

L–1

 

s +

1

+

2

3

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s + 2

s

+ 4s + 40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Solve the differential equation using Laplace transforms. Assume the system starts undeflected and at rest.

θ··· + 40θ·· + 20θ· + 2θ = 4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности