Алгоритмы построения деревьев

Существует простой и важный тип графов - это деревья. Деревья важны не только потому, что они находят приложения в различных областях знания, но и в силу их особого положения в самой теории графов.

Часто при решении какой-либо задачи о графах ее сначала исследуют на деревьях [Харари,1973].

Определение: Дерево - это связный ациклический граф.

Граф, не содержащий циклов, называется лесом (компонентами леса являются деревья).

Если зафиксирована некоторая вершина a_o, то она называется корнем дерева, а само дерево называется деревом с корнем.

Другие определения понятия "дерево" [Харари,1973]:

Пусть задан графа G, имеющего p вершин и q ребер

Утверждения:

(1) граф G - дерево;

(2) любые две вершины в графе G соединены единственной цепью;

(3) граф G - связный граф и p=q+1;

(4) граф G - ациклический граф и p=q+1;

(5) граф G - ациклический граф, и если любую пару несмежных вершин соединить ребром x, то в графе G+x будет точно один цикл;

(6) граф G - связный граф, отличный от K_p для p ≥3, и если любую пару несмежных вершин соединить ребром x, то в графе G+x будет точно один цикл.

(7) граф G - граф, отличный от K₃_K₁ и K₃_K₂, p=q+1, и если любую пару несмежных вершин соеди-нить ребром x, то в графе G+x будет точно один цикл.

Cледствия:

(1) в любом нетривиальном дереве имеется, по крайней мере, две висячие вершины [Харари,1973];

(2) каждое дерево с n вершинами имеет ровно n-1 ребро [Липский,1988].

Определение: Неориентированный граф, получающийся в результате "снятия ориентации с дуг" ориентированного графа G, называется лежащим в основе неориентированного графа G.

Ориентированный граф G называется деревом, если лежащий в его основе неориентированный граф также является деревом.

Ориентированный граф G называется ориентированным (корневым) деревом, если он является деревом и имеет корень. Поддеревом корневого дерева T называется его часть T', которая является корневым деревом, удовлетворяющим следующему условию: вместе с корнем v' дерево T' содержит все вершины и дуги, достижимые в T из v'.

Вершины графа G с нулевой полустепенью исхода (иными словами, не имеющие приемников), называются листьями.

Корневое дерево удовлетворяет следующим условиям:

(а) имеется ровно одна вершина, называемая корнем, в которую не входит ни одна дуга;

(б) в каждую вершину, отличную от корня, входит ровно одна дуга;

(в) приемники всякой вершины упорядочены.

Определение [Берж,1962]: Ориентированный конечный граф (V,E) есть прадерево с корнем x₁V (корневое дерево с корнем x₁V), если:

(1) в каждую вершину, отличную от вершины x₁, заходит единственная дуга;

(2) в вершину x₁ не заходит ни одна дуга;

(3) граф (V,E) не содержит контуров.

Определения

Двоичное дерево - это корневое дерево, в котором каждая вершина имеет не более двух преемников, называемых левыми и правыми приемниками (сыновьями).

2-3-дерево - это корневое дерево, в котором расстояния от корня до всех листьев совпадают, а каждая вершина, отличная от листа, имеет двух или трех преемников.

Деревом двоичного поиска для множества чисел S называется размеченное двоичное дерево, в котором каждая вершина v помечена числом l(v)ОS, и которое удовлетворяет следующим условиям:

(а) l(u)<l(v) для всех вершин u, v, если вершина u находится в поддереве, корень которого - левый преемник v;

(б) l(u)>l(v) для всех вершин u, v, если вершина u находится в поддереве, корень которого правый преемник v;

(в) для всякого A, принадлежащего S, существует единственная вершина v, для которой l(v)=A.

Обозначим через r(T) максимум среди расстояний от корня дерева T до его листьев.

АВЛ-деревом называется дерево двоичного поиска, в котором для каждой вершины v выполнено следующее условие: |(T₁)-  (T₂)|≤1, где v₁,v₂ - приемники v, а T₁,T₂ - поддеревья с корнями v₁,v₂.