- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
1.2. Алгебра множеств
Операции над множествами обладают свойствами, которые отчасти напоминают свойства действий над числами, а отчасти отличны от этих свойств.
1. Для любых множеств Х и Y выполняются равенства
а) Х U Y = Y U X;
б) Х ∩ Y = Y ∩ X
(аналог тождеств х+y = y+x и хy = ух).
2. Для любых трех множеств Х, У, Z выполняются равенства
а) (Х U Y) U Z = Х U (Y U Z);
б) (Х ∩Y) ∩ Z = Х ∩ (Y ∩Z)
(аналог тождеств (х+y)+z = х+(y+z) и (хy)z = х(уz)) ;
в) (Х U Y) ∩ Z = (Х ∩Z) U (Y ∩Z)
(аналог тождества (х+y) z = хz+уz);
г) (Х ∩Y) U Z = (Х U Z) ∩ (Y U Z)
(аналога в обычной алгебре нет).
Пусть все рассматриваемые множества являются частями одного и того же универсального множества U. Дополнение множества Х в множестве U обозначим Х΄, опуская индекс U.
3. Для любого множества Х U имеет место равенство (Х΄)΄= Х.
4. Выполняются равенства Ø΄ = U, U΄ = Ø.
5. Для любых двух множеств Х и Y из U имеем:
а) (Х ∩ Y)΄ = Х΄ U Y΄;
б) (Х U Y)΄ = Х΄ ∩ Y΄.
Отметим, что если Х Y, то Х ∩Y= Х, Х U Y= Y.
Всегда верны равенства
Ø ∩ Х = Ø,
Ø U Х = Х,
Х ∩ Х = Х,
Х U Х = Х.
1.3. Разбиение множества на подмножества
В основе всевозможных классификаций лежит операция разбиения множества на попарно непересекающиеся части.
Определение. Пусть U – некоторое множество и Хα (α є А) – система подмножеств из U, обладающая следующими свойствами:
а) объединение всех множеств Хα совпадает с U, т.е. U = Хα по всем α A;
б) если α ≠ β, то пересечение множеств Хα и Хβ пусто , т.е. Хα ∩ Хβ = Ø.
Тогда говорят, что множество U разбито на части Хα , где α є А.
Пример 4. Множество студентов разбивается на части по первым буквам их фамилий.
Пример 5. Если Х – подмножество в U, то U разбивается на множества Х и Х΄.
Пример 6. Множество всех многоугольников разбивается на множества треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д.
Разбиение на непересекающиеся подмножества встречается при решении производственных задач: детали разбиваются на классы по материалу, из которого они изготовлены, форме и размерам, технологии обработки и т.д.
1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
Определение. Пусть даны множества Х1,…,Хn. Кортежем длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность α = (х1,...,хn), где для всех к, 1≤ к≤ n, имеем хк є Хк. Элемент хк называется к-й координатой (или к-й компонентой) кортежа α.
Пример 7. Из множеств {a,b,c} и {1,2} можно составить 6 кортежей длины 2: (а,1), (а,2), (b,1), (b,2), (с,1), (с,2).
Пример 8. Любое слово является кортежем, составленным из букв; десятичная запись любого натурального числа – кортежем, составленным из цифр, и т.д.
Пример 9. Любое упорядоченное конечное множество является кортежем, все координаты которого различны.
Определение. Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны.
Таким образом, кортежи α = (х1,...,хm) и β = (у1,...,уn) равны m = n, причем хк = ук для всех к, где 1≤ к≤ n.
Пример 10. Кортежи (12,22,32) и (√1, √16, √81) равны. Кортежи (1,2,3) и (2,3,1) различны.
Координатами кортежа могут быть множества, кортежи и т.д. При этом, например, кортежи ({a,b},c) и ({b,а},c) равны, так как {a,b} = {b,а}. Кортежи ((a,b),c) и ((b,а),c) различны, так как (a,b)≠ (b,а).
Кортеж, не содержащий ни одной координаты (т.е. кортеж длины 0), называется пустым.
Определение. Пусть А1,…,Аn – некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из всех кортежей вида (а1,…,аn), где ак є Ак, 1≤ к≤ n. Декартово произведение множеств А1,…,Аn обозначают А1x…xАn..
Пример 11. Если А= {1,2,3}, B= {x,y}, то АВ = {(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)} и ВА= {(x,1),(х,2),(х,3),(y,1),(у,2),(y,3)}.
Этот пример показывает, что декартовы произведения АВ и ВА различны, хотя они содержат поровну элементов.
Различны и множества АВС, (АВ)С и А(ВС) – первое состоит из троек (a,b,c), второе – из пар вида ((a,b),c), а третье – из пар вида (a,(b,c)), где во всех трех случаях а є А, b є В, c є C.
Если хотя бы одно из множеств А, В пусто, то считают, что и их декартово произведение пусто: АØ = ØВ = ØØ = Ø.