![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
Раздел 3 алгебра логики
3.1. Булевы функции
Рассмотрим
2-х элементное множество
,
далее n-ю декартовую степень множества
,
элементами этого множества являются
наборы:
.
Определение.
Булевой
функцией
называется функция, у которой как
переменные, так и сама функция принимают
значения из
.
Таким
образом, булева функцияотображает
.
Функцию
удобнее всего задать в виде таблицы:
|
|
0 0 … 0 0 0 … 1 . . . . . . . 1 1 … 0 1 1 … 1 |
. . . . . . .
|
Обозначим
через
множество всех булевых функций (или
– двухзначная логика), через
– множество всех функций из
,
зависящих от
n
переменных.
Утверждение
1. ||=
.
Доказательство: Это соотношение непосредственно следует из табличного построения функций.
Наборов
значений переменных длины
из нулей и единиц в таблице –
.
Для
набора
функция принимает значение 0 или 1.
Поэтому всего количество функций –
.
Примеры некоторых элементарных булевых функций:
1) Функции от одной переменной:
x |
0(x) |
1(x) |
x |
|
0 1 |
0 0 |
1 1 |
0 1 |
1 0 |
2) Функции от двух переменных:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0 0 0 1 |
0 1 1 1 |
0 1 1 0 |
1 1 0 1 |
1 1 1 0 |
1 0 0 0 |
1 0 0 1 |
Приведем названия этих функций.
–тождественная
функция.
=
¬ x
– отрицание
,
читается «не
»
или «неверно, что
».
–конъюнкция
и
,
читается «
и
».
–
дизъюнкция
и
,
читается «
или
».
–сумма
по модулю 2
и
,
читается
«
плюс
».
–
импликация
и
,
читается «если
,
то
».
–штрих
Шеффера
и
,
читается «не
или не
».
–стрелка
Пирса
и
,
читается
«не
и не
».
–эквиваленция
и
,
читается
«
эквивалентно
».
Определение.
Рассмотрим функцию
.
1.
Переменная
,
называется существенной
для функции
,
если
такие значения
,
что
.
2.
Переменная
называетсянесущественной
или фиктивной
для функции
,
если она не является существенной.
Примеры:
В функциях
переменная
фиктивная.
В функциях
переменная
существенная.
Пусть нам дана функция f(x1,x2) =
.
а)
проверим
на существенность, пусть
,
тогда
,
тогда по определению
–
существенная переменная;
б)
проверим
на
существенность, пусть
,
тогда
;
пусть
,
тогда
,
значит,
по определению существенная.
Таким
образом, в функции f(x1,x2)
=
обе переменные существенные.
4)
В функциях
,
,
,x1↓x2
, x1↔x2
, x1→x2
проверить переменные на существенность
самостоятельно.
Определение.
Две функции
и
называютсяравными
,
если они отличаются друг от друга только
фиктивными переменными.
Примеры:
;
.
Замечание.
В дальнейшем всюду функции рассматриваются
с точностью до фиктивных переменных,
т.е. если задана функция
,
то задана и любая равная ей функция
.
Как сравнивать функции с разными переменными – рассматривать функции на наборах всех различных переменных, введя последние в данную функцию как фиктивные.
Пример:
|
|
|
0 0 0 1 1 0 1 1 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
![](/html/2706/394/html_LlUw0RxtLp.SCH1/img-uYsemJ.png)
.
Из
таблицы видно, что
.