- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
Раздел 1 элементы теории множеств
1.1. Множества и операции над ними
Введём понятие множества с элементами любой природы. Это понятие не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о множестве яблок в мешке, множестве квадратов на плоскости, множестве натуральных чисел и т.д.
Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит он этому множеству или нет.
В дальнейшем множества обозначим прописными латинскими буквами, а их элементы – строчными буквами. Если элемент x принадлежит множеству X , то пишут xX, в противном случае пишут xX.
Пример 1. Если X – множество русских слов из словаря В.И. Даля, то «семья» X, а 8 X.
Пример 2. Если N – множество натуральных чисел, то 4N, а 0,3N.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество равносторонних треугольников равно множеству равноугольных треугольников, а множество параллелограммов – множеству четырехугольников, имеющих центр симметрии. Если множества Х и Y равны, то пишут Х =Y.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают Ø.
Множества бывают конечными и бесконечными. Множество яблок в мешке, рыб в океане, видов живых существ конечны – количество их элементов можно выразить натуральным числом (хотя мы не всегда знаем значение этого числа). Множества натуральных чисел, ромбов на плоскости, шаров в пространстве бесконечны. Конечное множество можно задать списком его элементов. Два списка элементов одного и того же множества Х могут отличаться друг от друга лишь порядком элементов. Например, {1,2,3} и {2,3,1} – списки одного и того же множества {1,2,3} = {2,3,1}.
В дальнейшем мы будем обозначать число элементов конечного множества Х через |X| и называть это число мощностью множествa Х. Множество X, содержащее n элементов, будем называть n – элементным множеством, где |X| = n.
Пример 3. Пусть Х – множество простых чисел, меньших, чем 20, т.е. Х= {2,3,5,7,11,13,17,19}. |X|=8.
Бесконечное множество списком задать нельзя. Его задают обычно характеристическим свойством, т.е. свойством, которым обладают все элементы множества и не обладают элементы, не принадлежащие этому множеству.
Множество, заданное характеристическим свойством Р(х), обозначают {х | Р(х)}. Например, запись {х | х² -7х+ 12= 0} обозначает множество корней уравнения х² -7х+12= 0, т.е. множество {3,4}.
Если каждый элемент множества Х является в то же время элементом множества Y, то говорят, что Х – подмножество множества Y. В этом случае пишут: Х Y. Например, множество квадратов является подмножеством множества ромбов, а множество ромбов – подмножеством множества параллелограммов. Множество натуральных чисел, делящихся на 10, является подмножеством множества четных натуральных чисел.
Очевидно, что
1) если Х Y и Y Z , то Х Z;
2) если Х Y и Y X , то Х = Y;
3) Ø Хи Х X.
Определение. Пересечением множеств Х и Y называется множество Х ∩Y , состоящее из элементов, которые принадлежат как X, так и Y.
Например, множество квадратов является пересечением множества прямоугольников с множеством ромбов.
Определение. Объединением множеств Х и Y называется множество ХUY, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х,Y.
Например, множество треугольников является объединением множеств косоугольных и прямоугольных треугольников.
Аналогично определяются операции пересечения и объединения над юбыми совокупностями множеств.Определение. Разностью множеств Х и ается множество Х \ Y, состоящее из всех элементов множества Х, не принадлежащих множеству Y. Если Y Х,то разность Х \ Y = Y΄x называют дополнением множества Y в множестве X (т.е. Х = Y U Y΄x).
Например, разностью множества четных чисел и множества чисел, кратных 3, является множество четных чисел, не делящихся на 6. Дополнением множества квадратов в множестве прямоугольников является множество прямоугольников с неравными соседними сторонами.
Изобразим схематически операции над множествами Х и Y:
Такие изображения множеств и операций над ними называют диаграммами Эйлера-Венна.