![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
3.13. Классы и их свойства
Определение.
– класс всех булевых функций
,
сохраняющих константу 0, то есть функций,
для которых выполнено
.
1)
,
но
.
2)
.
Утверждение
2.
–
замкнутый класс.
Доказательство:
Так как
,
рассмотрим суперпозицию
,
где
.
Тогда
.
Это
означает, что любая суперпозиция функций
из класса
сохраняет
константу 0, т.е. класс
замкнут.
Определение.
– класс всех булевых функций
,
сохраняющих константу 1, то есть функций,
для которых выполнено
.
1)
,
но
.
2)
.
Утверждение
3.
–
замкнутый класс.
Доказательство:
Так как
,
то достаточно показать, что функция
,
если
.
Действительно,
.
3.14. Линейные функции и их свойства
Пусть
– класс всех линейных функций.
Определение.
называется линейной
функцией, если её представление в виде
полинома Жегалкина содержит только
линейные члены, то есть
,
(8)
где
;
существенные переменные входят с
коэффициентом 1, фиктивные – с коэффициентом
0.
1)
Очевидно, что класс
замкнут, так как линейное выражение,
составленное из линейных выражений,
является линейным.
2)
Функции
;
3)
Функции
;
4)
,
так как выбор констант
в
представлении (8) осуществляется именно
2n+1
способами.
Докажем леммы о нелинейной функции.
Лемма
1. Если
,
то из неё путем подстановки констант 0
и 1 можно получить нелинейную функцию,
зависящую от двух переменных.
Доказательство:
Из теоремы 6 известно, что любая функция
из
может быть представлена в виде полинома
Жегалкина, причем единственным образом.
Рассмотрим
.
Так как
– нелинейная, то её разложение в виде
полинома содержит нелинейные слагаемые.
Пусть
–
конъюнкция в полиноме Жегалкина,
содержащая наименьшее число переменных.
При этом
.
Делаем следующую подстановку констант:
–оставляем,
,
.
В
результате мы получили, что
есть нелинейная функция, конъюнкция
переходит в
.
Так как
–
конъюнкция, содержащая наименьшее число
переменных, то остальные конъюнкции
обратятся в 0. Лемма доказана.
Лемма
2. Из
нелинейной функции от 2-х переменных
подстановкой функций вида
можно получить либо конъюнкцию
,
либо функцию вида
.
Доказательство:
Любая нелинейная функция от 2-х переменных
может быть представлена в виде:
.
Так
как
–
нелинейная, то
;
так как
;
.
Тогда
;
.
Лемма доказана.
3.15. Принцип двойственности
Определение.
Функция
,
равная
,
называется двойственной
функцией к функции
.
Легко
видеть, что среди функций
функция
двойственна
,
двойственна
,
двойственна
,
двойственна
,
двойственна
,
двойственна
.
Действительно,
,
.
Из
определения двойственности вытекает,
что
,
то есть функция
является двойственной к
(свойство взаимности).
Утверждение
4.
Пусть
,
тогда
.
Доказательство:
.
Из утверждения 4 вытекает принцип двойственности:
Если
формула
,
построенная над множеством
,
реализует функцию
,
то формула
,
построенная заменой
на
для
,
реализует функцию
,
двойственную той, которую реализует
формула
.
Пример:
Для формул над множеством
принцип двойственности может быть
сформулирован так: для получения формулы
над
,
двойственной к формуле над
,
нужно в формуле над
всюду заменить
на
,
на
,
на
,
на
.