![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
3.16. Самодвойственные функции, их свойства
Определение.
Функция
,
для которой выполняется равенство
,
называется самодвойственной.
Класс
всех самодвойственных функций из
обозначим через
.
Очевидно,
.
Покажем, что
.
Действительно, согласно принципу двойственности,
.
.
Из
определения следует, что
самодвойственная функция
,
то есть на противоположных наборах
и
самодвойственная функция принимает
противоположные значения. Отсюда
следует, что самодвойственная функция
полностью определяется своими значениями
на первой половине строк её табличного
представления, то есть
.
Утверждение
5. Класс
замкнут.
Доказательство:
Так как
,
то достаточно показать, что функция
является самодвойственной, если функции
самодвойственны.
по
утверждению 4. Так как
самодвойственны, то
.
3.17. Лемма о несамодвойственной функции
Лемма
3. Если
,
то из неё путем подстановки функций
и
можно получить константу.
Доказательство:
Так как
,
то найдется набор
такой, что
.
Рассмотрим
функции
.
Положим
.
Мы
имеем
то
есть
Так
как
,
то
,
значит
– константа.
Лемма доказана.
Пример:
Пусть дана функция
такая, что
.
Рассмотрим
функцию
–константа.
3.18. Монотонные функции, их свойства
Рассмотрим
два набора
,
.
Определение.
Для двух наборов
и
выполненоотношение
предшествования
,
если
.
Пример:
,
.
Очевидно,
если
и
,
то
.
Отметим, что не любые пары наборов
находятся в отношении предшествования,
поэтому множество всех наборов длины
по отношению к операции предшествования
является частично упорядоченным.
Определение.
Функция
называется монотонной,
если для любых двух наборов
и
,
таких, что
,
имеет место неравенство
.
Обозначим
через
множество всех монотонных функций из
.
,
.
Утверждение
6. Класс
замкнут.
Доказательство:
Так как
,
то для установления замкнутости класса
достаточно показать, что функция
является монотонной, если
монотонны.
Пусть
и
– два набора длины
значений переменных
,
причем
.
Надо
показать, что
.
,
где
– поднаборы
.
,
где
– поднаборы
.
Так
как
,
то
.
А
поскольку
монотонны, то
.
Тогда
.
Так
как
монотонна, то
.
Отсюда
следует, что
,
а это значит,
монотонна.
3.19. Лемма о немонотонной функции
Лемма
4. Если
,
то из неё путем подстановки констант 0
и 1 и функции
можно получить функцию
.
Доказательство:
Пусть
,
тогда найдутся 2 набора
,
такие, что при
.
Так
как
,
то
.
Пусть
наборы
и
различаются в первых
разрядах, где
,
то есть
Рассмотрим
функцию.
так
как при
.
,
это значит,
.
Лемма доказана.
3.20. Теорема о полноте в р2
Теорема
7. Система
функций
из
полна
она целиком не содержится ни в одном
из пяти замкнутых классов
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
полна, то есть
.
Допустим, что
,
где
один из 5 перечисленных классов. Тогда
в силу свойств замыкания и замкнутости
имеем
,
противоречие.
Достаточность
.
Пусть
не содержится целиком ни в одном из пяти
указанных классов, значит в
функции
.
Итак, из системы
выделим подсистему
,
которая также целиком не содержится ни
в одном из пяти указанных классов. Будем
считать, что все эти функции зависят от
одних и тех же переменных
.
I.
Построение констант 0 и 1 при помощи
функций
.
Рассмотрим
.
Возможны два случая:
а)
.
Пусть
.
Возьмем
;
– вторая константа.
б)
.
Пусть
.
Рассмотрим
.
Так как мы имеем
,
то по лемме 3 мы можем получить константу
.
Используя константу
и
можем получить другую константу
.
II.
Построение функции
при помощи констант 0 и 1 и
.
Это следует из леммы 4.
III.
Построение
при помощи констант
.
Это осуществляется на основе лемм 1 и
2.
Таким
образом, при помощи формул над
(а
значит и над
)
реализовали функции
.
.
Теорема доказана полностью.
Из доказательства теоремы 7 следует
Следствие
8. Всякий
замкнутый класс
функций из
такой, что
,
содержится по крайней мере в одном из
классов
.