- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
Следствие 1. Если в пункте 1 теоремы 3 , то разложение имеет вид:
. (1)
Если , тогда из (1) следует, что
–Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма (СДНФ).
Следствие 2. Если в пункте 3 теоремы 3 , то разложение имеет вид:
. (2)
Если , тогда из (2) следует, что
–Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма (СКНФ).
Следствие 3. Если в пункте 2 теоремы 3 , то разложение имеет вид:
(3)
Если , тогда из (3) следует, что
.
3.7. Полные системы
Теорема 4. Каждая булева функция может быть реализована формулой над множеством .
Доказательство: Рассмотрим 2 случая для функции :
1) , тогда мы можем представить по пункту 3 теоремы 2.
2) , тогда из следствия 1 теоремы 3 следует, что .
Определение. Система функций изназываетсяполной в , если любая булева функция может быть записана в виде формулы над этой системой.
Замечание. Из теоремы 4 следует, что система полна в.
Следующая теорема позволяет сводить вопрос о полноте одних систем к вопросу о полноте других систем.
Теорема 5. Пусть даны две системы функций из :
, (I)
, (II)
относительно которых известно, что система I полна в и каждая её функция выражается в виде формулы через функции системыII. Тогда система II является полной в .
Доказательство: Пусть – произвольная функция из. В силу полноты системыI можно выразить формулой над, то есть
.
По условию теоремы:
,
,
Тогда .
То есть мы выразили произвольную функцию в виде формулы над множеством, значит, системаII полна в .
3.8. Примеры полных систем
Следствие 4. Система является полнойв .
Доказательство: –I – система полна в по теореме 4.
–II.
Каждая функция системы I выражается в виде формулы через функции системы II, так как . По теореме 5 системаII полна в .
Следствие 5. Система является полнойв .
Доказательство: Система – I – полнав по следствию 4.
Система – II.
Так как , то по теореме 5 система II полнав .
Следствие 6. Система является полной в.
Доказательство: – I – полнав по следствию 4.
– II.
Так как то по теореме 5 система II полнав .
Следствие 7. Система является полной в.
Доказательство: – I – полнав по следствию 4.
–II.
Так как , то по теореме 5 система II полнав .
3.9. Полиномы Жегалкина
Пусть дан набор из переменных . Надо найти число конъюнкций, не содержащих отрицание, полученных из этих переменных.
Всего их будет 2n.
Пример:
1) Пусть x1, x2, n = 2, тогда: 2) Пусть x1, x2, x3, n = 3, тогда:
конъюнкций всего
конъюнкций
Пусть – всевозможные конъюнкции, не содержащие отрицания и состоящие из переменных .
Определение. Выражение вида , называется полиномом Жегалкина.