
- •Едеральное агентство по образованию
- •Оглавление
- •Раздел 1. Элементы теории множеств 8
- •Раздел 2. Элементы комбинаторики 20
- •Раздел 3. Алгебра логики 36
- •Раздел 4. Синтез управляющих систем 62
- •Раздел 5. Теория графов 77
- •Введение
- •Раздел 1 элементы теории множеств
- •1.1. Множества и операции над ними
- •1.2. Алгебра множеств
- •1.3. Разбиение множества на подмножества
- •1.4. Кортежи и декартово произведение множеств
- •1.5. Отображение множеств
- •1.6. Отношения
- •1.7. Свойства бинарных отношений
- •1.8. Алгебра подмножеств
- •1.9. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 2 элементы комбинаторики
- •2.1. Комбинаторика
- •2.2. Различные комбинаторные соотношения
- •2.3. Свойства биномиальных коэффициентов. Биномиальная теорема. Полиномиальная теорема
- •2.4. Принцип включения и исключения
- •2.5. Формула решета
- •2.6. Производящие функции
- •2.7. Производящие функции числа основных комбинаторных объектов
- •2.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3 алгебра логики
- •3.1. Булевы функции
- •3.2. Формулы
- •3.3. Сопоставление формулам над множеством функций
- •3.4. Свойства элементарных функций
- •3.5. Разложение булевых функций
- •3.6. Совершенная д. Н. Ф., совершенная к. Н. Ф.
- •3.7. Полные системы
- •3.8. Примеры полных систем
- •3.9. Полиномы Жегалкина
- •3.10. Единственность представления булевых функций полиномами Жегалкина
- •3.11. Методы построения полиномов
- •I. Метод построения с помощью таблицы.
- •II. Метод неопределенных коэффициентов.
- •III. Метод суперпозиции.
- •3.12. Замыкание. Свойства операции замыкания. Замкнутые классы
- •3.13. Классы и их свойства
- •3.14. Линейные функции и их свойства
- •3.15. Принцип двойственности
- •3.16. Самодвойственные функции, их свойства
- •3.17. Лемма о несамодвойственной функции
- •3.18. Монотонные функции, их свойства
- •3.19. Лемма о немонотонной функции
- •3.20. Теорема о полноте в р2
- •3.21. Предполные классы
- •3.22. Возможность выделить из любой полной системы полную подсистему, состоящую из не более чем 4-х функций
- •3.23. Представление о результатах Поста
- •3.24. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 4 синтез управляющих систем
- •4.1. Схемы из функциональных элементов
- •4.2. Определение схем из функциональных элементов
- •4.3. Основные понятия и определения
- •4.4. Возможность реализации любой функции алгебры логики сфэ
- •4.5. Простейшие методы синтеза
- •4.6. Метод Шеннона
- •4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)
- •4.8. Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 5 теория графов
- •5.1. Элементы теории графов
- •5.2. Основные понятия и определения
- •5.3. Способы задания графа
- •5.4. Некоторые соотношения в графе
- •5.5. Перечисление графов
- •5.6. Оценка числа неизоморфных графов с p вершинами
- •5.7. Оценка числа неизоморфных графов с q ребрами
- •5.8. Укладки графов. Укладка графов в трехмерном пространстве
- •5.9. Планарность. Формула Эйлера для плоских графов
- •5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
- •5.11. Операция подразделения ребра
- •5.12. Гомеоморфность графов
- •5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
- •5.14. Деревья и их свойства
- •5.15. Деревья и операции над ними
- •5.16. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев на p вершинах
- •5.17. Задания для самостоятельной работы
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Михеева Елизавета Алексеевна
5.10. Следствия из формулы Эйлера для плоских графов
Следствие
1. Пусть G
– связный плоский (p,q,m)-граф
без петель и кратных ребер. Тогда q3p–6.
Доказательство.
Пусть gi
– некоторая грань графа G.
Обозначим через
(gi)
число ребер, ограничивающих грань gi.
(gi)
3,
так как нет петель и кратных ребер. Тогда
(m
–
число граней в графе G),
так как каждое ребро ограничивает 2
грани,
(gi)
3.
Следовательно, 3m
2q.
По формуле Эйлера p+m = q+2,
т.е. m = q+2–p,
то
3(q+2–p)
2q
q
3p–6.
Следствие 2. Граф K5 не планарен.
Доказательство.
Предположим, что граф K5
планарен, тогда существует плоский граф
G
такой, что
.
Так
как полный граф без петель и кратных
ребер, то по следствию 1
т.е. 10
3
5–6
= 9. Получаем противоречие, значит, граф
K5
– не планарен.
Следствие 3. Граф K3,3 не планарен.
Доказательство.
Пусть граф K3,3
планарен, т.е.
,
где G
– плоский граф и p(G) = 6,
q(G) = 9.
Пусть граф G
имеет m
граней: g1,
…,gm.
–
это следует из того, что в графе нет
треугольников, т.е. нет цикла из 3 ребер.
Значит, из вершины в нее саму мы можем
попасть лишь за четное число шагов.
Рассмотрим
,
но
.
Но, так как граф G
плоский, то справедлива формула Эйлера:
p+m
= q+2
m
= q+2–p.
.
Получаем противоречие, значит, граф K3,3 не планарен.
Следствие
4. В любом
плоском связном графе G
без петель и кратных ребер существует
вершина
,
степень которой не больше 5, т.е.
.
Доказательство.
Как известно,
.
Предположим, что
для
,
где
.
Тогда
,
т.е.
,
.
В силу следствия 1 q
3p–6,
пришли к противоречию. Значит, существует
вершина
,
что
.
5.11. Операция подразделения ребра
Пусть
дан граф G=(V,E).
Пусть ребро e=(v,w)
– произвольное ребро графа G
и
.
Операция
подразделения ребра
e=(v,w)
графа G
состоит в построении графа
,имеющего своими
вершинами множество
,содержащего
все ребра графа G,
кроме выделенного e=(v,w),
и плюс два новых ребра e
=(v,v
),
e
=(v
,w),
т.е.
.
Определение. Граф H называется подразделением графа G, если он может быть получен из графа G путем применения конечного числа раз операций подразделения ребра.
5.12. Гомеоморфность графов
Определение. Графы G и H называются гомеоморфными, если существуют такие их подразделения, которые изоморфны.
Пример:
Из данного примера видно, что графы G и H не изоморфны, т.е.
, но графы G и H гомеоморфны, так как каждый из них может быть подразделен до графа Г.
5.13. Теорема Понтрягина-Куратовского
Теорема
3
(Понтрягина-Куратовского).
Для того чтобы граф G
был планарным, необходимо и достаточно,
чтобы он не содержал ни одного подграфа,
гомеоморфного графам
или
.
Доказательство.
1)
Необходимость. Пусть G
– планарный. Допустим, что он содержит
подграф
,
гомеоморфный графу
или
.
Рассмотрим планарную реализацию графаG.
Удалив лишние вершины и рёбра, мы получим
планарную реализацию подграфа
.
Но
геометрически
– это граф
или
с точками на рёбрах. Если проигнорировать
эти точки, то мы получим планарную
реализацию графа
или
.
Но это невозможно по следствиям 2 и 3.
2) Достаточность доказывается тяжело, и здесь мы это доказательство опустим. Доказательство можно найти, например, в книге Ф. Харари «Теория графов» (под ред Г.П. Гаврилова. М. : Изд-во «Мир», 1973).