4.7. Асимптотически наилучший метод (метод о.Б. Лупанова)

Асимптотически наилучший метод синтеза схем предложен О.Б. Лупановым в 1958 г.

Теорема 3. L(n)  (1 + O()).

Доказательство теоремы строится из двух частей.

1. Специальное представление функций

Функция f(x₁, …, x_n) может быть задана таблицей 1, в которой значение f(₁,…,_n) функции f на наборе (₁,…, ,,…,_n) помещается на пересечении столбца, соответствующего (₁,…,_n-k), и строки, соответствующей (,…,_n):

₁ 1 x₁

0













_n-k x_n-k

x_n-k+1 … x_n

0

1

0 … 0

S

S

  

_n-k+1 … _n

  

S S

1 … 1

f(₁, …, _n-k, _n-k+1, …, _n)

_,

Таблица 1

Разобьем строки таблицы 1 на полосы A,…,A по S строк в полосе (последняя полоса может содержать меньшее число строк). Ясно, что

p +1.

Пусть f – функция, совпадающая с f на полюсе Aи равная 0 вне этой полосы. Очевидно, что f(x₁, …, x_n) = f(x₁, …, x_n) =

=

. (6)

Заметим, что в (6) каждая из функций f(₁,…, ,) задается одним столбцом таблицы для функции fи поэтому принимает значение 1 не более чем на S наборах, так как функция fсовпадает с функциейf только на полосе Aи равна нулю вне этой полосы. Таким образом, число различных функций f(₁,…,,) (при фиксированном i) не превосходит 2.

2. Метод синтеза

Схема S для функции f (x₁, …, x_n), заданной таблицей 1, строится на основе её представления (6) и состоит из 6 блоков (рис. 6):

1) Блок А реализует Q(x,…,x), причем L(A)(n-k)2.

2) Блок B реализует Q(x,…,x), причем L(B) k2.

3) Блок C реализует все различные функции f(₁,…, ,), тогда L(С) pS2.

4) Блок D реализует все функции =, тогда L(D)  p 2.

5) Блок G осуществляет умножение , поэтомуL(G)=2

6) Наконец, блок F реализует функцию f(x₁, …, x_n) как дизъюнкцию функций, реализованных блоком G. L(F)  2.

S:

Рис. 6

Итак, L(S) = L(A)+L(B)+L(C)+L(D)+L(G)+L(F)(n-k)* 2+ k*2+ +p*S*2+ p* 2+2= (n-k+1)* 2+k*2+ p*S*2+ p* 2=

= (n-k+1)*2+k*2+p*(2+S*2)(n-k+1)*2+k*2+(+1)*(2+ S*2).

Положив k = [3 log n], s = [n-5 log n] получим L(S) (1 + O()) и L(n) (1 + O()). Теорема полностью доказана.

Т



еорема 4(без доказательства). L(n) > .

Теорема 5 (как следствие теорем 3 и 4). L(n)  .

Замечание. Описанный метод синтеза в теореме 3 является асимптотически наилучшим.