Дегтярёв Оптимальное управление

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M Y (t)W T (t)

(t, t0 ) M Y 0 W T (t)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

1.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

					61
	d (t, )				A (t, )
	d t				A (t, )
	d t
с начальными условиями
				,		0	.
		1		,		0	.
		0				1
Отсюда следует, что матрица (t, ) имеет вид:
						t			.
(t, )			1			t			.		(5.41)
			0		1
Этот же результат получается, если искать матрицу (t, )											в виде ряда:
(t, ) E A(t ) A2								(t )		...
(t, ) E A(t ) A2										...
					2!

Рассмотрим поведение системы (5.40) через равные промежутки времени T в моменты tk , т.е. tk T k .

На основании соотношений (5.3I) - (5.33), полагая, что W (t) постоянно на шаге дискретности, получим следующую эквивалентную дискретную систему:

						tk 1 tk	1	T
A(k 1, k) (t	k 1	,t	k	)	1	tk 1 tk	1	T	;
	k 1		k		0	1	0	1
					0	1	0	1

tk 1

C(k 1, k)

(tk 1, )C( ) d

(k 1) T

(k 1)T

...

T 2

W ,

tk 1				0	d
tk 1				0
	1			1
				1
				J
			2	(k 1) T
		1
		1
		0	2
		0	2	kT
				kT

k 0,1, 2,...

(5.42)

T 2		(5.43)
2J		;
T
	J

(5.44)

В дальнейшем необходимо получить зависимость Yk 1 не только от Yk и Wk , но от Y0 и всех предшествующих W0 , ..., Wk . Используя соотношения (5.33), для различных k можно записать:

62
Y1 A(1,0)Y0 C(1,0)W0 ;
Y2 A(2,1)Y1 C(2,1)W1 A(2,1)[ A(1,0)Y0 C(1,0)W0 ]
C(2,1)W1 A(2,1) A(1,0)Y0 A(2,1)C(1,0)W0 C(2,1)W1 ;
Y3 A(3, 2)Y2 C(3, 2)W2 A(3, 2)[ A(2,1)	A(1,0)Y0
A(2,1)C(1,0)W0 C(2,1) W1 ] C(3, 2)W2
A(3, 2) A(2,1) A(1,0)Y0 A(3, 2) A(2,1)C(1,0)W0
A(3, 2)C(2,1)W1 C (3, 2)W2 .
Продолжая соответствующие выкладки, можно получить соотношение
n 1
Yn A(n,0)Y0 A(n, j 1)C( j 1, j)W j ,		(5.45)
j 0
где матрица A(n, j) определяется следующим образом:
	n
A(n, j) A(n,n 1) A(n 1, n 2)... A( j 1, j) A(r, r 1) ,		(5.46)

r j 1

причем A(n, j) E при j n 1.

Полученные соотношения (5.45), (5.46) будут использованы при статистическом анализе дискретных систем.

5.3. Уравнения моментов для линейных систем

Сначала рассмотрим непрерывные системы. Пусть уравнения движения

имеют вид;

d Y	A(t)Y (t) C(t)W (t), Y (t		) Y .	(5.47)
		0
d t			0

Относительно возмущающих воздействий W (t) и начального состояния Y0

будем предполагать, что они удовлетворяют условиям (5.28).

При получении соотношений для математического ожидания состояния

системы Y(t) , усредним уравнение (5.47):


		d		d Y
M	d Y		M[Y (t)]		M[ A(t)Y (t) C(t)W (t)

d t		d t		d t

A(t) M[Y (t)] C(t) M[W (t)].

Учитывая (5.28), получим:

d Y

A(t)Y

(t), Y (t

) Y .

(5.48)

d t

На основании (5.47), (5.48) уравнение для центрированной составляющей

Y (t) Y (t) Y

(t) имеет вид:

Y (t0 ) Y

0 .

(5.49)

d Y A(t)Y (t) C(t)W (t),

d t

Теперь

найдем

уравнение

для

дисперсионной

матрицы

(t))]T . Дифференцируя

P (t) M[(Y (t) Y

(t))(Y (t) Y

по t

матрицу

P (t) и

учитывая, что матрицы A(t) и C(t)

не случайные, получим:

d Py (t)

M Y (t)Y (t)

(Y (t)Y (t))

d t

0 T

d Y

Y (t) Y (t)

A(t) M Y (t)Y (t)

d t

M Y (t)Y

(t) AT (t) C(t) M W (t)Y

(t)

(5.50)

M Y (t)W T (t) CT (t) A(t) p y (t) Py (t) AT (t)

C(t) M W (t)Y (t) M

Y (t)W T (t) CT (t).

(t)

Для вычисления

математического

ожидания

M Y (t)W T

используем

формулу Коши (5.27):

Y (t) (t, t0 )Y 0

(t, )C( )W ( ) d .

(5.51)

Умножив выражение (5.51)

справа на W T (t) ,

осреднив и

учитывая (5.28),

получим:

(t, )C( ) M [W ( )W T (t)]d

t0	(5.52)

(t, )C( )Q( ) ( t) d

12 (t, t)C(t)Q(t) 12 C(t)Q(t).

С учетом того, что

		T					T
	M W (t)Y		(t) M Y (t)W T (t)					1	Q(t)CT (t) ,		(5.53)
	M W (t)Y		(t) M Y (t)W T (t)						Q(t)CT (t) ,		(5.53)
							2
							2

уравнение (5.50) примет вид;
	d Py (t)	A(t) P (t)		P (t) AT (t) C(t)Q(t)CT (t)							(5.54)


	d t		y			y
	d t
с начальным условием P (t				0	) P .
			Y	0		0
Теперь пусть поведение системы описывается дискретным уравнением
	Yk 1 A(k 1, k)Yk C(k 1, k)Wk ,									k 0,1,2,... .	(5.55)

Будем полагать, что начальное условие Y0 и возмущающие воздействия Wk

удовлетворяют соотношениям (5.37). Найдем уравнения для математического

ожидания и дисперсионной матрицы.
Осредняя (5.55) и учитывая (5.37), получим:

Yk 1 A(k 1, k)Yk ,		k 0,1,2,...		(5.56)

Уравнение для центрированной составляющей Y k			Yk Yk	имеет вид:

	Y k 1 A(k 1, k)Y k C(k 1, k)Wk .			(5.57)

Используя (5.57) и (5.37), найдем уравнение для дисперсионной матрицы

	T
Pyk M Y k Y k :

		T
Py k 1	M Y k 1	Y k 1	M [( A(k 1, k)Y k C(k 1, k)Wk


( A(k 1, k)Y k C(k 1, k)T ] A(k 1, k) M	Y k Y T
		k

T			T	C	T	(k 1, k)
A (k 1, k) A(k 1, k) M Y k Wk				C		(k 1, k)

		T
C(k 1, k) M W Y k AT (k 1, k)
	k

C(k 1, k) M W W T CT (k 1, k)
	k	k
A(k 1, k) P	AT (k 1, k) C(k 1, k)Q CT (k 1, k)
yk						k
		W T CT (k 1, k)
A(k 1, k) M Y k		W T CT (k 1, k)
		k

		T
C(k 1, k) M W Y k AT (k 1, k).
	k

							T
Определим математическое			ожидание M Y k Wk					,

(5.58)

используя

соотношение (5.45) и свойства (5.37):

k 1

A(k, j) C( j 1, j)W

M Y k W

M A(k, 0)Y 0

j 0

(5.59)

k 1

A(k, 0) M Y0 WkT A(k, j) C( j 1, j) M W j WkT 0.

j 0

Аналогично

W T 0 .

M W Y k M Y k

Таким образом, уравнение для определения матрицы Pyk имеет вид:

A(k 1, k) P

AT (k 1, k)

y k 1

y k

(5.60)

C(k 1, k)Q CT (k 1, k),

k 0,1, 2,... P

P .

5.4. Задача оптимальной фильтрации и ее решение методом Калмана

Как было показано раньше, для оптимального управления по принципу обратной связи необходимо иметь полную информацию о состоянии системы.

Однако измерению доступны лишь некоторые функции состояния или их комбинации. Кроме того, наблюдаемый сигнал содержит погрешности измерений. В такой ситуации важной является задача получения наилучшей оценки состояния системы по результатам измерений – задача оптимальной фильтрации.

Предположим, что динамический процесс описывается совокупностью дифференциальных уравнений

dY (t)	A(t)Y (t) CW (t),	Y (0) Y	,	(5.61)

dt		0

где Y(t) - n -мерный вектор состояния, W (t) - q -мерный вектор возмущающих воздействий, A(t) и C(t) матрицы соответствующих размерностей.

Пусть измерению поддается m -мерный вектор некоторых комбинаций

функций состояния (5.25)
Z(t) N(t)Y (t) V (t) ,	(5.62)

где V (t) - погрешность измерения.

Относительно свойств случайных процессов W (t),V (t) и начального состояния Y (0) будет предполагать, что они удовлетворяют условиям (5.28),

т.е. будет предполагать, что это случайные процессы типа белого шума, не

коррелированные друг с другом и начальным состоянием системы.
Математически задача оптимальной фильтрации	ставится как задача
ˆ	на основе имеющейся
отыскания оценки Y (t) состояния системы (5.61) Y(t)

информации Z(t) .

Калман предложил искать уравнение фильтра в виде линейной системы на вход которой подается наблюдаемый сигнал Z(t) . Тогда уравнения движения такой системы можно описать совокупностью уравнений

ˆ
dY	ˆ
dt	F (t)Y (t) K (t) Z (t),

ˆ	ˆ	(5.63)
Y (0)	Y0	(5.63)

где матрицы F (t) и K(t) подлежат определению, т.е. структура фильтра задается, а параметры структуры и начальное состояние определяются из

дополнительных условий.

ˆ
Так как Y (t) Y (t) , то всегда будет ошибка оценки
ˆ
E(t) Y (t) Y (t) .
Тогда для определения искомых матриц F (t) и G(t) можно использовать
условие несмещенности оценки
M E(t) 0	(5.64)
и условие ее оптимальности
J (t) M ET (t) (t) E(t) min ,	(5.65)
F (t ) K (t )

где (t) - симметричная положительно определенная матрица.

Для того, чтобы использовать условия (5.64) и (5.65) найдем уравнение

для ошибки оценивания. Вычитая (5.63) из (5.61) с учетом (5.62), получим

	d Y		ˆ
	d Y		d Y					ˆ
	dt		dt	A(t)Y (t) C(t)W (t) F (t)Y (t) K (t) N (t)Y (t) K (t)V (t)
или
		d E(t)						ˆ
			dt		( A(t) K (t) N (t) )Y (t) F (t)Y (t) C(t)W (t) K (t)V (t) .
			dt
Если теперь положить, что
							F(t) A(t) K(t) N(t) ,		(5.66)
то уравнение для ошибки оценки E(t) примет вид:
						d E(t)	F (t) E(t) C(t)W (t) K (t)V (t)		(5.67)
						dt	F (t) E(t) C(t)W (t) K (t)V (t)		(5.67)
						dt
с начальным условием
								ˆ	(5.68)
							E(0) Y0 Y0 .		(5.68)
Из (5.67), (5.68) следует, что условие несмещенности оценки (5.64) будет
выполнено, если положить
							ˆ		(5.69)
							ˆ
							Y0 Y0 .

Чтобы убедиться в этом, достаточно взять математическое ожидание от выражений (5.67), (5.68)

dM[ E(t)]	F (t) M [E(t)],	M [E(0)] 0 .
dt

т.е. получили однородное линейное уравнение с нулевыми начальными условиями, откуда непосредственно следует, что M[E(t)] 0 для любого t .

Остается определить матрицу K(t) из условия минимума критерия (5.65).

Примем для простоты выкладок, что (t) - постоянная единичная матрица,

тогда

	n
J M ET (t) E(t) SpM E(t) ET (t) M Ei2 (t) .		(5.70)
Здесь M E(t) ET (t)	1
	- корреляционная матрица ошибки оценивания (матрица

вторых центральных моментов ошибок оценки компонент вектора состояния системы). Обозначим ее через P(t) , тогда критерий оптимальности есть сумма диагональных элементов этой матрицы. В соответствие с условием локальной оптимальности будем искать оптимальное значение матрицы K(t) из условия минимума производной критерия по времени:

dJ (t)

dP(t)

(5.71)

Нетрудно показать, что минимизация производной критерия

обеспечивает минимум и для самого критерия [6]

Запишем выражение

dP(t)

, опуская для простоты время t :

dM EET

ET E

dET

(5.72)

Подставив в (5.72) выражение для

из (5.67) и соответствующее

выражение для

dET

, получим:

		69
	dP	( A KN ) M E ET CM WET RM VET
	dt	( A KN ) M E ET CM WET RM VET
	dt	(5.73)

M EET ( A KN )T M EW T CT M EV T K T .

Найдем M EW T , для чего запишем уравнение Коши для (5.67):

E(t) (t,t0 ) E(t0 ) (t, ) C ( )W ( ) K ( )V ( ) d ,

где (t, ) - весовая матричная функция. Тогда

M E(t)W T (t) t (t, )C( )M W ( )W T (t) d t (t, )C( )Q( ) (t )d .

t0 t0

Используем свойство дельта-функции:

		b			f (t 0) f (t 0)
		f ( ) (t )d			f (t 0) f (t 0)				,
		f ( ) (t )d							,
		a						2
		a
если f имеет разрыв в точке t .
		I ,	t 0					,
Поскольку (t, )			t 0					,
		0,	t 0
то
		M E(t)W T (t)			1		C(t)Q(t) .			(5.74)
		M E(t)W T (t)					C(t)Q(t) .			(5.74)
			2
Аналогично можно найти M E(t)V T (t) :
		M E(t)V T (t)		1		K (t) R(t) .				(5.75)
		M E(t)V T (t)				K (t) R(t) .				(5.75)
			2						M EW T , M EV T и
Подставив		полученные	выражения для						M EW T , M EV T и
соответственно транспонированные выражения для M WET , M VET в (5.73)
получим:
	dP	( A KN ) P P( A KN )T CQC T KRK T .								(5.76)
	dt	( A KN ) P P( A KN )T CQC T KRK T .								(5.76)
	dt

Следующее тождество легко проверить, раскрыв в правой части скобки и использовав симметрию матрицы P(t) :

KRK T KNP PN T K T (K PN T R 1) R(K PN T R 1)T PN T R 1NP .

(5.77)

С учетом тождества приведем уравнение (5.76) к виду:

dPdt AP PAT CQCT PN T R 1NP (K PN T R 1) R(K PN T R 1)T . (5.78)

В правой части (5.78) от коэффициента K(t) будет зависеть лишь

последнее слагаемое, причем оно представляет собой положительно определенную матрицу. Очевидно, что для минимизации критерия (5.71)

нужно выбрать K(t) в следующем виде:

		K0 (t) P(t) N T (t) R 1 (t)	(5.79)
		При этом последний член в уравнении (5.78) обращается в нуль и
уравнение приобретает вид
	dP(t)	A(t)P(t) P(t) AT (t) C(t)Q(t)CT (t) P(t)N T (t)R 1	(t)N (t)P(t). (5.80)
	dt	A(t)P(t) P(t) AT (t) C(t)Q(t)CT (t) P(t)N T (t)R 1	(t)N (t)P(t). (5.80)
	dt

с начальным значением P(t0 ) P0 .

Итак, можем записать уравнение фильтра

	ˆ
	dY (t)		ˆ	ˆ	ˆ
	dY (t)		ˆ	ˆ	ˆ
	dt	A(t)Y (t) K0 (t) Z (t) N (t)Y (t) ,			Y (t0 ) Y .	(5.81)
	dt
Уравнения (5.79),			(5.80),	(5.81) представляют собой уравнения фильтра

Калмана-Бьюси.

Система оценивания (фильтр) схематически представлена на рис. 16.

Следует отметить, что уравнение фильтра и его параметры не зависят от матрицы (t) , однако последняя должна быть положительно определенной.

Для стационарной системы (A(t) A,C(t) C, N(t) N) при стационарном возмущающем воздействии M W (t)W T (t') Q (t t') и стационарном шуме измерителя M V (t)V T (t') R (t t') после окончания переходных процессов матричный коэффициент усиления в фильтре Калмана становится постоянным (K (t) K T const) , а уравнение Риккати (5.80) вырождается в

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.08.2019156.16 Кб1ГЭК2012.doc
#
23.05.2015341.14 Кб68ДP с АГНИ.docx
#
27.11.201914.32 Mб78Данилаев лекции САЭУ.doc
#
12.03.2015411.14 Кб31Двухтактный_цикл.doc
#
12.03.201566.05 Кб19девник практики для всех.doc
#
22.03.20161.68 Mб63Дегтярёв Оптимальное управление.pdf
#
07.09.2019149.5 Кб6Декларирование соответствия.doc
#
12.03.201572.7 Кб307Дерево отказов - пожар.doc
#
12.03.20153.92 Mб57Детали машин - пояснительная записка.doc
#
08.05.201910.31 Mб49ДЕТАЛИ МАШИН.doc
#
12.03.2015987.69 Кб34детмаш.docx