Дегтярёв Оптимальное управление

42

противоречит тому, что u00 - управление, минимизирующее J (4.3).

Таким образом, остается, что

T T

( y,u00 )dt ( y,u0 )dt ,

и если оптимальное управление единственное, то u0 (t) u00 (t), t ( ,T ) .

Кратко принцип оптимальности можно сформулировать так: последний участок оптимальной траектории является оптимальным независимо от предыстории процесса.

4.2. Основное уравнение метода динамического программирования Применим принцип оптимальности к решению вариационной задачи

(4.1), (4.2). Для этого сначала рассмотрим функционал J (4.3). Наименьшее значение его при связях (4.1) обозначим:

а от управления u и его вариаций функция ( y, t) не зависит. Она вполне определяется значениями y(t) .

Согласно принципу оптимальности последний участок также является оптимальным:

43

Обозначим:

определяется согласно уравнениям движения (4.1). Подставляя ( y y,t t)

из (4.10) в равенство (4.9), получим:

получим основное уравнение метода динамического программирования:

Это соотношение состоит из двух утверждений:

нулю. Утверждение служит для определения функции ( y,t) .

после подстановки u0 (t) становится нелинейным. Согласно определению

(4.8) при t T должно выполняться конечное условие

( )t T 0 .

45

В случае бесконечного интервала при T процесс должен быть

асимптотически устойчивым, т.е. lim 0.

t

В том случае, когда рассматривается функционал Больца

4.3. Две задачи оптимального управления

В теории оптимального управления различают задачи двух типов:

программного управления и синтеза. В первой задаче оптимальное управление u0 строится в виде функции времени t для конкретных начальных и конечных

Построение такой зависимости является целью задачи синтеза. Значение второй задачи в том, что зависимость u0 u0 ( y,t) дает уравнение обратной связи или оптимального регулятора, замыкающего систему. Она применяется при оптимальном управлении переходным процессом.

Программное управление и управление по обратной связи осуществляются технически по-разному. Первое может осуществляться программным часовым механизмом, по жесткому закону, как функция времени t . Это управление никак не реагирует на возможные отклонения состояний объекта от идеального, желательного. Управление по обратной связи

46

осуществляется при помощи регулятора, который по результатам измерения реального состояния фазовых координат вырабатывает сигнал, согласно которому отклоняется управляющий орган.

Обе задачи взаимосвязаны. Решение одной можно выразить через другое.

Однако отметим, что принцип максимума обычно приводит к представлению управления в виде программы, а метод динамического программирования – в

виде синтеза.

Значительное развитие получила задача синтеза оптимального управления процессами, описываемыми линейной системой дифференциальных уравнений, при минимизации интегральных квадратичных функционалов. Она называется задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), или задачей А.М.Летова.

4.4. Задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов Предположим уравнения возмущенного движения системы имеют вид

в качестве своих элементов известные функции aij (t), bkm (t) .

Предполагается также, что состояние системы (4.18) в каждый момент

времени t известно.

В качестве критерия оптимальности рассматривается квадратичный

функционал Больца

где Gi (t) - симметричные неотрицательно определенные матрицы, G2 (t) -

положительно определенная матрица; *) - индекс транспонирования.

Требуется найти оптимальное (минимизирующее функционал 4.19)

управление, являющееся функцией текущего состояния y(t) .

49

получить невозможно, для реализации оптимального управления используются оценки состояния, получаемые на основе имеющейся неполной информации.

4.5. Синтез локально-оптимального управления При проектировании систем управления часто бывает необходимо, чтобы

поведение системы было оптимальным в некотором смысле в любой текущий

момент времени.

Рассмотрим непрерывный управляемый процесс, описываемый системой дифференциальных уравнений (4.18).

Пусть задан функционал (функция) J (t) J[ y,u(t),t] параметрически зависящий от времени t и определенный на множестве функций y(t) и u(t) .

Требуется найти уравнение u0 (t) , минимизирующее J (t) , где t -

текущий момент времени. Такое управление называется локально-

оптимальным.

В качестве критерия оптимальности рассмотрим функционал

50

Учитывая далее, что силу симметричности матрицы G3 (t)

Из выражения (4.30) следует, что локально-оптимальное управление полностью определяется матрицами G1(t), G2 (t) , а для реализации его необходима полная информация о состоянии процесса y(t) . Задаваясь различными матрицами весовых функций G1(t), G2 (t) , можно обеспечить те или иные свойства управляемого процесса, в частности свойства устойчивости или асимптотической устойчивости.

Потребуем, например, чтобы на локально-оптимальном управлении

выполнялось условие

Из условия (4.32) следует, что оно будет выполнено, если матрица G3 (t)

будет определена из условия