Стрежнева

Пусть точка (a,b) ÎIV лежит в четвертой четверти (рис. 13.1 б). Обозначим через α угол ÐBAC в прямоугольном треугольнике ABC . Пусть a = -j, j < 0, т.е. угол ϕ отсчитывается по часовой

стрелке от оси Ox (рис. 13.1, б). Тогда в прямоугольном треугольнике DABC длины катетов равны: | AB |= a, | BC |= -b, а гипотенуза

принимая во внимание четность функции косинус и нечетность функции синус, имеем:

Доказали справедливость соотношений (13.1) для четверти IV.

доказывает (13.2).

Проведем аналогичные рассуждения для четверти II (рис. 13.2, а).

Рис. 13.2

угол ϕ отсчитывается от оси Ox против часовой стрелки (рис. 13.2, а). Следовательно,

т.е. угол ϕ отсчитывается от оси Ox по часовой стрелке (рис. 13.2, б). Следовательно,

Доказаны формулы (13.1). Найдем тангенс угла в прямоугольном треугольнике DABC :

42

Последнее соотношение доказывает формулы (13.2) для четверти III.

Теорема 13.1 доказана.

Замечание. Теорема 13.1 формулировалась для точки (a,b), лежащей в координатных углах. Если точка (a,b) лежит на координатных осях, т.е. хотя бы одна из координат обращается в ноль, соотношения (13.1) остаются справедливыми, но вместо формулы (13.2) имеет место другое соотношение, определяющее угол ϕ:

Ñ

Действительно, если a ³ 0 , b = 0, то j = 0 и, следовательно, cos j = 1, sin j = 0. Это равносильно соотношениям (13.1), так как

ϕ(– π, π]

Рис. 13.3

Согласно следствию 13.1, существует такой угол ϕk (−π,π],

формулам (13.2) или (13.3). Следовательно, соотношение (13.5), используя формулу тригонометрии cos(α − β) = cos α cosβ +

+sin αsin β , можно записать в следующем виде:

известном в разнообразных приложениях как гармоническое колебание (гармоника) с амплитудой Ak , частотой ωk и фазой ϕk . Таким

образом, разложение периодической функции в ряд Фурье (5.1) эквивалентно представлению ее в виде бесконечной суммы гармоник

амплитуды которых Ak и фазы ϕk определяются коэффициентами Фурье ak и bk , при этом

14. Спектральные характеристики вещественной формы ряда Фурье

Дадим определения спектров вещественной формы ряда Фурье для периодической функции f (x) с периодом T .

Определение. Частотными спектрами называются последо-

Определение. Амплитудно-частотным спектром (АЧХ – амплитудно-частотной характеристикой) называется последова-

Определение. Фазово-частотным спектром (ФЧХ – фазово-

частотной характеристикой) называется последовательность {ϕk }1∞, где ϕk определяются соотношениями:

46

Заметим, что все введенные ранее спектры являются линейчатыми.

Пример 14.1. Разложить в ряд Фурье в вещественной форме функцию

и построить ее спектральные характеристики.

Решение. График функции дан на рис. 14.1, там же приведен график функции j(x) – периодического продолжения функции f (x) с периодом T = 3.

Рис. 14.1

Круговая частота равна w = 2p = 2p . Найдем коэффициенты

T 3

ряда Фурье по формулам (5.2):

47

Таким образом, разложение в ряд Фурье в вещественной форме для функции f (x) на отрезке [–2,1] принимает вид

(k = 1,2,3...) (рис. 14.2).

48

Рис. 14.2

Найдем несколько линейчатых спектров и изобразим их на рис. 14.3.

Рис. 14.3

b3 = 2cos 4π + 3cos 2π − 5 = 0. 18

49

Найдем несколько значений АЧХ, ФЧХ и изобразим их на рис. 14.4.

Рис. 14.4