Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стрежнева

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2016

Размер:

605.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Таким образом, из всех коэффициентов ak

отличным от нуля

оказался только коэффициент a0 :

α+T

(x)sin kwxdx =

bk =

∫ f

∫5 1

sin kwxdx =

∫udv = uv - ∫ vdu

×5 1

u =

du = -

= -

cos kwx

T kw

cos kwx

dv = sin kwxdx v = -

1 [0 -1] - 2 ×25 ×

∫ cos kwxdx =

2 ×5 × 1

× 1 ∫ cos kwxdx = - 2 ×5 ×

T kw T 0

3 kw

3 kw 0

2 ×5 1

w×3 = 2p

2 ×5 1

2 ×5

sin kwx

sin 2pk =

3 kw

3 (kw)

sin0 = 0

3 kw

2pk

Ряд Фурье, согласно (5.1), запишется в виде

∞

sin k

f (x) = 5 1

∑

(8.1)

p k =1

На интервале (0,3) функция f (x) непрерывна. Поэтому во всех внутренних точках этого интервала сумма ряда равна

f(x ) = 5 1- x .

В граничных точках, т.е. при

x = 0

x = 3,

имеем sin 0 = 0,

∞

sin k

sin kw×3 = sin k 2p = 0 ,

следовательно

∑

= 0

k=1

x=0

∞

sin k

и ∑

= 0 .

k=1

x=3

f (0) = f (3) =

Поэтому (см.формулу (8.1))

, что соответст-

вует теореме Дирихле:

f (0 - 0) + f

(0 + 0)

f (0 - 0)

= 0

0 + 5

f (0)

;

f (0 + 0)

= 5

(3 - 0)

f (3 - 0) + f

(3 + 0)

= 0

0 + 5

f (3)

(3 + 0)

= a

Функция j(x)

есть периодическое продолжение функции

f (x)

с периодом T = 3.

Следовательно,

во всех

точках x ¹ nT

(n = 0, ±1, ± 2, ...)

функция j(x)

непрерывна и сумма ряда в этих

точках равна j( x). В точках x = nT (n = 0, ±1, ± 2, ...)

(точки разры-

ва первого ряда) сумма ряда равна 5/2.

Приближения функции f (x) отрезками ряда Фурье имеют вид

P1 (x) =

P2 ( x)

sin

sin 2

x , … ;

P5 (x )

sin

sin 2 ×

+ ... +

sin 5

x .

Комплексную форму ряда Фурье (5.3) можно получить двумя способами:

1)с помощью формул (5.4);

2)с помощью формул (3.1), если вещественная форма уже

известна.

Найдем коэффициенты комплексной формы ряда Фурье с помощью (5.4), применяя метод интегрирования по частям:

T = 3

α+T

2π

−ik

∫

f (x)e−ikωx dx = ω =

∫5 1

−

3 dx =

α = 0

∫ udv = uv − ∫ vdu

1 −

du = −

2π

−ik

dv = e−ik

x dx v =

−ik

2π

e−ik

−

∫

−

2π

−ik

2π

−ik

2π

∫ e

1−

3 dx =

2π

−ik

3 03

2π

e−ik

(0 − 1) +

2π

−ik 2π

−ik

2π

−ik

= {i2 = -1} =

(0 -1) +

(ik 2p)

-ik 2p

-ik

ik 2p

−ik 2π

5 i

= cos(2pk ) - i sin(2pk )

(e−ik 2π -1)

cos(2pk ) = 1

ik 2p i

k 2 4p2

sin(2pk ) = 0

= -

(1- i ×0 -1) = -

k = ±1, ± 2, ± 3 ...;

2pk

2pk 4p2k 2

α+T

(x )dx =

T = 3

∫ f

a =

1 x2

∫5

1 -

dx =

x -

3 2

Следовательно,

ряд Фурье в комплексной форме для рас-

∞

2π

сматриваемой функции имеет вид

f (x ) = ∑ ck eik

x ,

где

;

k=−∞

= -

k = ±1, ± 2, ± 3 ...

2pk

Аналогичный результат можно было получить по формулам (3.1), учитывая, что вещественные коэффициенты ряда Фурье были найдены.

Действительно,

= 0

- ib

) =

= -

, k = 1, 2,3,...

2pk

= -

, k = 1,2,3,...

;

2pk

= 0

+ ib

) =

, k = 1,2,3,....

b =

− k

2πk

πk

= −

, k = −1,−2,−3,...

;

2πk

c =

= {a = 5} =

c =

9. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть функция f (x) задана на всей числовой оси Ox или ин-

тервале, симметричном относительно начала координат.

Функция f (x) называется четной, если f (− x ) = f ( x), x ,

и нечетной, если f (− x) = − f (x ), x.

График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy (рис. 9.1, а), график нечетной функции – относительно начала координат O(0,0) (рис. 9.1, б).

Рис. 9.1

Произведение двух четных функций или произведение двух нечетных функций является четной функцией. Произведение четной функции на нечетную является нечетной функцией.

Обозначим через τ произвольное число из области определения функции f (x). Из свойств определенного интеграла по симметричному промежутку интегрирования следует, что:

τ	τ
∫ f	(x )dx = 2∫ f (x )dx, если f ( x) − четная;
− τ	0
τ	(x )dx = 0, если f ( x) − нечетная.
∫ f	(x )dx = 0, если f ( x) − нечетная.
− τ
Запишем ряды Фурье для четной и нечетной функций:
а) функция f (x) – четная периодическая с периодом T или
четная функция, заданная на отрезке −			T	,	T	, длина которого
четная функция, заданная на отрезке −			2	,		, длина которого
			2		2
равна T .	Функция cos kωx	является четной,			а функция sin kωx –
нечетной.	Тогда функция	f (x )cos kωx будет четной, а функция

f (x )sin kωx –

нечетной. Коэффициенты вещественной формы ряда

Фурье найдем по формулам (5.2). Полагая в них α = −

, получаем:

f (x )cos kωxdx =

f (x )cos kωxdx;

(9.1)

∫

−

b =

f (x )sin kωxdx = 0,

k = 1,2,3,...

(9.2)

∫

−

Врезультате ряд Фурье для четной функции получается

вследующем виде:

f (x ) =	a0	∞
		+ ∑ak cos kωx ;	(9.3)

2		k =1

б) функция f (x) – нечетная периодическая с периодом T

или

нечетная функция,

заданная на отрезке

−

. В этом случае

2 2

f (x )cos kωx –

нечетная, а f (x )sin kωx –

четная функция.

Соответственно, по формулам (5.2) имеем

∫

f (x)cos kωxdx = 0,

k = 0, 1, 2, ...;

(9.4)

−

b =

f (x )sin kωxdx =

2 f (x)sin kωxdx, k = 1,2,3,...

(9.5)

∫

−

В результате ряд Фурье для нечетной функции выходит в виде

∞

f (x ) = ∑bk sin kωx .

(9.6)

k =1

Таким образом, ряд Фурье для четной функции состоит из свободного члена и косинусоидальной части, а ряд Фурье для нечетной функции – только из синусоидальной части.

Примечание. Напомним, что равенство в формулах (9.3) и (9.6) следует принимать в смысле теоремы Дирихле.

10. Примеры решения задач разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций

Пример 1. Разложить в ряд Фурье в вещественной форме

( ) − x, x [−π,0];

функцию, заданную соотношением f x = x, x [0, π].

Функция f (x) – четная. График этой функции приведен на рис. 10.1, там же дается график функции ϕ( x) – периодического продолжения функции f (x) с периодом 2π.

Рис. 10.1

Условия Дирихле для функции ϕ( x) выполнены, следовательно, она разлагается в ряд Фурье. Согласно (1.1) находим кру-

говую частоту ω =	2π	=	2π	= 1. Функция ϕ(x) – четная, следова-

	T 2π			bk = 0, согласно (9.2). Коэффициенты
тельно, все коэффициенты

ak , k = 0, 1, 2, 3, ... вычисляем по формулам (9.1), применяя формулу интегрирования по частям:

ak = 4 T

= 2 πk

∫ f (x)cos kωxdx =

π2 π

xsin kx 0 − πk ∫0 sin

πk 2

		∫udv = uv − ∫vdu
4 π		∫udv = uv − ∫vdu
4 π
	x coskxdx =	x = u dx = du		=
2π ∫0	x coskxdx =	x = u dx = du		=
2π ∫0			sin kx
	dv = cos kxdx v =		sin kx
	dv = cos kxdx v =		k
			k

	sin kπ = 0				2		π
kxdx =				= 0 −			sin kxdx (kx ) =
kxdx =				= 0 −	πk		sin kxdx (kx ) =
	sin 0 = 0				πk	2	∫0
	π	2	(cos kπ − 1) =
	π
cos kx	=
cos kx	=	πk 2
	0
	0

1, если k - четное

cos kp =

= (-1)k

-1, если k -нечетное

(1-1) = 0,

если k - четное,

((-1)k -1) = pk

pk 2

(-1-1) =

×(-2),

если k -нечетное;

(x)dx =

∫ f

∫ xdx =

= p.

p 2

Ряд Фурье для четной функции строим по формуле (9.3):

w = 1

∞

= p

f (x ) =

+ ∑ak

cos kwx =

k 1

ak =

((-1)

-1)

= p +

∞

((-1)k -1) cos kx

∑

p k =1

cos3x

cos5x

cos7x

-2

× cos x + 0 - 2 ×

+ 0 - 2 ×

+ 0

2 ×

+ ...

cos3x

cos5x

cos7x

cos x +

+ ...

f (x) =

4 ∞

cos(2k -1) x

∑

(2k -1)

p k =1

Замечание. При нахождении коэффициентов ak , k = 1,2,3,...

можно было использовать формулу понижения степени sin2 x = = 1- cos 2x :

2
a =	2	(cos kp -1) = -	4		1- cos kp	= -	4	sin	kp	.
	pk 2		pk 2	2			pk 2
k								2

Тогда ряд Фурье можно записать в эквивалентной форме:

	a	∞		ω = 1
f (x ) =
	0	+ ∑ak	cos kωx =	= −	4			kπ	=
	2						sin
		k=1	ak
					πk	2
								2

∞

cos kx

kπ

−

∑

sin

π k =1

f (x) =

4 ∞

cos kx

kπ

−

∑

sin

π k =1

Во всех внутренних

точках

отрезка

[−π,π] функция f (x)

непрерывна и сумма ряда равна f (x). Функция ϕ(x) всюду непре-

рывна, поэтому сумма ряда равна ϕ(x) во всех точках числовой оси. Пример 2. Разложить в ряд Фурье в вещественной форме

( ) −α, x [−π,0];

функцию, заданную соотношением f x = [ ]α, x 0, π .

Функция f (x) – нечетная. На рис. 10.2 дан график f (x) и график ее периодического продолжения – функции ϕ(x) с периодом

T = 2π. На отрезке [−π,π] функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, функция ϕ(x) также удовлетворяет условиям Дирихле и разложима в ряд Фурье по формулам (9.4) – (9.6).

Согласно (1.1) находим круговую частоту ω = 2π = 2π = 1. Функ-

T 2π

ция ϕ(x) – нечетная, следовательно, все коэффициенты ak = 0, согласно (9.4).

Вычислим коэффициенты bk , k = 1,2,3,...

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2019167.42 Кб2СТО СМК 01-2012.doc
#
12.03.201521.5 Кб9стр 12 (Задача 2.1).doc
#
12.03.201525.09 Кб23стр 13 (Задача 2.2 и 2.3).doc
#
12.03.201523.55 Кб15стр 7 (Задача 1.1).doc
#
24.11.2019130.05 Кб2стратег планир Залакова.doc
#
22.03.2016605.49 Кб19Стрежнева.pdf
#
27.09.201993.25 Кб1Структура философии.docx
#
12.03.20151.81 Mб348Структуры и алгоритмы обработки данных.doc
#
12.03.2015835.7 Кб18Сттатистические методы управления качеством.pdf
#
19.12.20186.64 Mб14СУсЧПУ_1201_Ведерников.doc
#
22.07.2019377.85 Кб5СУХТП_Венера.docx