Стрежнева

T

T = 2p

2π

4

2

4

2

bk

=

∫ f (x )sin kwxdx =

=

∫

f (x )sin(k ×1× x)dx =

T

2p

0

w = 1

0

2

π

2a

π

(kx) =

2a

(

-cos kx )

π

2a

=

∫ asin kxdx =

∫sin kxd

=

(-cos kp +1) =

p

0

pk

0

pk

0

pk

(-1)

k

2a

k

2a

k

cos kp =

-

(-1)

+1

1- (-1)

.

=

=

=

pk

= 1

pk

cos0

Ряд Фурье записывается в виде (9.6):

sin kx =

f (x ) = ∑bk sin kwx = 2a ∑1- (-1)

k

∞

∞

k =1

p k =1

k

2a

2sin x

2sin 3x

2sin 5x

=

+

+

+ ...

p

3

5

1

4a

∞

f ( x) =

∑

sin (2k -1) x

.

p

k =1

2k -1

b =

2α

(− cos kπ + 1) =

4α

1 − cos kπ

=

4α

sin2

kπ

.

πk

πk

2

πk

k

2

∞

4α

∞

kπ

f (x ) = ∑bk

sin kωx =

∑

1

sin2

sin kx

k =1

π k =1 k

2

f (x ) =

4α

∞

1

kπ

∑

sin2

sin kx

.

π k =1

k

2

В точке x = 0 сумма ряда равна:

f (0 − 0) + f (0 + 0)

= −α + α = 0.

2

2

На концах отрезка [−π,π]

сумма ряда равна

f (−π) + f (π)

=

2

на ϕ( x). В точках разрыва первого рода

x = nπ (n = 0, ± 1, ± 2, ...)

сумма ряда равна

(ϕ(nπ − 0) + ϕ(nπ + 0)) = −α + α = 0.

2

2

Пусть функция f (x) задана на 0,

T

и удовлетворяет на этом

2

виям Дирихле, и с ее помощью продолжим f (x) на 0,

T

. Получим

2

функцию

g

(x), x −

T

,0 ;

F (x ) =

2

f (x ), x 0,

T

.

2

Функция F (x )

задана на отрезке

−

T

,

T

и удовлетворяет

условиям Дирихле. Запишем для F (x )

2 2

ее коэффициенты Фурье

в вещественной форме (5.2):

T

2

2

(k = 0,1,2,...);

ak

=

∫ F (x)cos kωxdx

T

T

−

2

(11.1)

T

T

2

∫

bk

=

2

F (x )sin kωxdx

(k = 1,2,...)

T

−

2

и ряд Фурье (5.1)

∞

a0

F (x ) =

+ ∑(ak cos kωx + bk sin kωx).

(11.2)

2

k =1

Ряд (11.2) сходится на 0,

T

к

f (x )

в смысле теоремы Ди-

2

рихле, что и требовалось доказать. Но на −

T

,0

тот же ряд (11.2)

2

сходится к функции

g (x ). Продолжение

g (x ),

вообще говоря,

33

цательный интервал −

T

,0

делает F (x ) четной функцией, то

2

f (x ) =

a0

∞

T

2

+ ∑ak cos kωx, x 0,

.

k =1

2

Если же продолжение g (x)

делает F (x )

нечетной функцией,

∞

T

f (x ) = ∑bk sin kωx,

x 0,

.

k =1

2

2

T

Пример. Разложить функцию

f (x) = x

, заданную на

0,

2

g (x) = x2 при x −

T

,0

. Получим четную периодическую функцию:

2

34

g

(x) = x2 , x −

T

,0

;

2

F (x ) =

f

(x ) = x

2 , x 0,

T

.

2

График функции F (x )

дан на рис. 12.1а.

Поскольку F (x )

– четная функция,

все коэффициенты bk = 0,

согласно (9.2). Коэффициенты ak , k = 0,1,2,3,...

вычисляем по фор-

мулам (9.1):

T

T

T

a =

4

2 f

(x)dx =

4

2 x2dx =

4

x3

2

=

4

T 3

=

T 2

.

0

T ∫

T ∫

T 3

0 3T 8

6

0

0

Применяя формулу интегрирования по частям, имеем

T

T

ak =

4

2 f

(x)cos kωxdx =

4

2

x2 cos kωxdx =

T

T

∫

∫

0

0

∫udv = uv − ∫ vdu

u = x2 du = 2xdx

=

=

sin kωx

dv = cos kωxdx

v =

ωk

35