9 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1. Тематика заданий текущего контроля

Примерный вариант контрольной работы.

1. Сколькими способами можно разделить 7 одинаковых яблок и 6 одинаковых груш между тремя детьми?

2. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова «колокольня»?

3. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды 52 карт таким образом, чтобы среди них были карты всех четырех мастей?

4. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по четыре человека, если в каждую команду должен входить хотя бы один юноша?

5. В многочлене найти коэффициент при.

6. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 3950 и не делящихся

ни на одно из чисел 6, 14, 21 ?

Примерный вариант домашней контрольной работы.

1. Найти число решений уравнения

где ,,,целые числа такие, что

5 ≤ ≤ 15, 6 ≤≤ 16, 2 ≤≤ 13, 7 ≤≤ 19

2. Найти последовательность , удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям

33,

3,= 27

3. Используя производящую функцию, найти последовательность , удовлетворяющую рекуррентному соотношению и начальным условиям

,2,

4. Даны графы. Доказать, что эти графы не изоморфны.

5.Дан граф. Определить является ли этот граф эйлеровым или полуэйлеровым. Если да, то найти соответствующие эйлеров цикл или эйлерову цепь.

6. Найти максимальный поток и минимальный разрез в следующей сети (сеть явно указывается).

9.2. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.

1. Метод математической индукции. Привести примеры использования метода математической индукции.

2. Дать определение инъективного, сюрьективного и биективного отображений. Привести примеры.

3. Сформулировать правила суммы и произведения. Привести примеры.

4. Дать определение размещения без повторений. Вывести формулу для числа размещений без повторений. Перестановки. Привести примеры.

5. Дать определение сочетаний без повторений. Вывести формулу для числа сочетаний без повторений. Привести примеры.

6. Дать определение размещения с повторениями. Вывести формулу для числа размещений с повторениями. Привести примеры.

7. Дать определение сочетаний с повторениями. Вывести формулу для числа сочетаний с повторениями. Привести примеры.

8. Разбиение конечного множества на подмножества. Вывести формулу для числа разбиений. Дать определение перестановки данного состава. Вывести формулу для числа перестановок данного состава. Привести примеры.

9. Раскладки. Вывести формулу для числа способов размещения различных предметов по различным ящикам. Привести примеры.

10. Раскладки. Вывести формулу для числа способов размещения одинаковых предметов по различным ящикам. Привести примеры.

11. Ввести формулу для числа целочисленных неотрицательных решений уравнения

12. Дать определение биноминальных коэффициентов. Вывести бином Ньютона. Вывести формулы для биноминальных коэффициентов. Дать определение треугольника Паскаля. Ввести свойства треугольника Паскаля.

13. Дать определения пересечения, объединения, дополнения множеств. Вывести формулу включений и исключений. Привести примеры.

14. Привести решение задачи о “беспорядках”.

15. Привести решение задачи подсчета числа “счастливых билетов”.

16. Вывести формулу для числа сюрьективных отображений.

17. Дать определение производящей функции последовательности. Формальные степенные ряды и действия с ними. Алгебра Коши.

18. Доказать свойства производящих функций: линейность, сдвиг начала, подобие. Привести примеры.

19. Доказать свойства производящих функций: дифференцирование, интегрирование, свертка. Привести примеры.

20. Вывести формулы из таблицы производящих функций.

21. Вывести формулу для производящей функции последовательности числа сочетаний с повторениями.

22. Дать определение рекуррентного соотношения. Рассмотреть пример подсчета числа “правильных скобочных структур”. Изложить способ подсчета чисел Каталана.

23. Рациональные производящие функции. Доказать теорему о рациональных производящих функциях.

24. Вывести следствие из теоремы о рациональных производящих функциях. Изложить метод решения однородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами.

25. Применить метод решения однородных линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами для нахождения членов последовательности Фибоначчи.

26. Изложить на примерах метод нахождения последовательностей заданных неоднородными рекуррентными соотношениями с использованием производящих функций.

27. Дать определения графа, петли, кратного ребра, простого графа, степени вершины, изолированной и висячей вершин. Привести примеры.

28. Доказать лемму о рукопожатиях. Вывести следствие из этой леммы.

29. Дать определение полных, двудоль­ных, полных двудольных, циклических графов. Граф Пе­терсена, платоновы графы, регулярные графы.

30. Дать определения смежных вершин графа, инцидентности. Матрица смежности. Привести примеры.

31. Дать определения маршрута, замкнутого маршрута, цепи, простой цепи, цикла, простого цикла в графе. Привести примеры.

32. Дать определение изоморфизма графов. Привести примеры изоморф­ных и неизоморфных графов. Привести необходимые условия изоморфизма графов.

33. Привести связь между матрицами смежности изоморфных графов. Описать все простые графы с тремя и четырьмя вершинами с точностью до изоморфизма.

34. Дать определения связного графа, компоненты связности. Привести примеры. Дать определение подграфа, дополнения, самодополнительного графа. Привести примеры.

35. Дать определения эйлерова и полуэйлерова графов. Рассказать о задаче Эйлера о “Кенигсбергских мостах”.

36. Доказать лемму о достаточном условии наличия цикла в графе.

37. Доказать теорему Эйлера (критерий эйлеровости графа). Вывести из этой теоремы критерий полуэйлеровости графа.

38. Изложить алгоритм построения эйлерова цикла в графе. Привести примеры использования этого алгоритма.

39. Дать определение гамильтонова цикла, гамильтоновой цепи, гамильтонова и полугамильтонова графа. Привести примеры. Показать, что платонов граф додекаэдра являются гамильтоновым.

40. Вывести необходимое условие гамильтоновости двудольного графа (достаточное условие не гамильтоновости). Привести пример.

41. Сформулировать достаточные условия гамильтоновости графа.

42. Доказать, что граф Петерсена не гамильтонов (но полугамильтонов).

43. Доказать, что любой граф может быть уложен в R³.

44. Дать определения планарного графа. Доказать теорему Эйлера о многогранниках.

45. Вывести из теоремы Эйлера о многогранниках неравенство Р≤ 3В-6 для простого связного графа. Вывести из этого результата, что в любом простом планарном графе существует вершина, степень которой не превосходит пяти.

46. Доказать, что графы К₅ и К_3,3 не планарны.

47. Дать определение го­меоморфных графов. Сформулировать теорему Понтрягина – Куратовского (критерий планарности). Привести примеры.

48. Доказать, что граф Петерсена не планарен.

49. Дать определение k – раскрашиваемого графа и хроматического числа графа. Привести примеры.

50. Найти хроматические числа платоновых графов.

51. Доказать теорему об оценке хроматического числа графа через максимум степеней его вершин.

52. Доказать теорему раскраски простого планарного графа в шесть цветов.

53. Сформулировать гипотезу о четырех красках. Объяснить связь раскраски графа с раскраской плоских карт.

54. Дать определения ориентированного графа, сети, потока в сети, разреза, пропускной способности разреза, минимального разреза, максимального потока.

55. Доказать теорему Форда – Фалкерсона. Изложить алгоритм нахождения максимального потока и минимального разреза. Привести примеры его использования.