Два класса либо не имеют общих элементов, либо полностью совпадают

Разбиение множества на классы эквивалентности

= { [x] | x A }

Пример: A = {{x, y, z}, {u, v}}

разбиением некоторого множества A

называют семейство множеств (множество S из множеств C), таких, что они

•не пустые

•в объединении покрывают всё множество A

•попарно либо не пересекаются, либо полностью совпадают

( C S C ) & & ( C1 S C2 S ((C1 C2= ) (C1=C2)))

Примеры отношений эквивалентности

Отношение сравнимости по модулю n x=a n+b так, чтобы 0≤b и b<n:

b=Rn(x)

n = {(x, y) | Rn(x)=Rn(y) } x y (mod n)

Классы вычетов по модулю n – классы эквивалентности n

Пример для n=3. Возможны три вида остатков: 0, 1, 2. Множество всех классов вычетов по модулю 3 будет {[0], [1], [2]}. Число 7 и число 13 оба дают остаток от деления на 3, равный 1. Поэтому пишут 7 13 (mod 3), при этом 7 [1] и 13 [1].

Множество всех целых чисел обычно обозначают символом , а множество всех классов вычетов по модулю n обозначают n.

Например, 3={[0], [1], [2]}.

Для операции сложения целых чисел + такое разбиение на классы эквивалентности обладает важным свойством:

a b (mod n) & c d (mod n) a+c b+d (mod n)

Получается, что данное отношение эквивалентности «согласовано» с некоторой операцией на разбиваемом множестве.

Конгруэнция

Отношение эквивалентности, согласованное с некоторой ассоциативной

операцией на разбиваемом им на классы множестве,

называется конгруэнцией:

(a, b) & (c, d) (a c, b d) ,

где – некоторая ассоциативная бинарная операция

Алгебра классов

[x] [y] ={ u v | u [x] & v [y] }

Для конгруэнции имеет место следующее представление:

[x] [y] = [x y]

Пример: кольцо классов вычетов по модулю 3:

Пример эквивалентности – эквивалентность (равномощность) множеств

A~B ( f BA ( f -1 AB ))

Мощность множества – класс эквивалентности по ~

|A| = { B | A~B }