Эквивалентность формул логики высказываний

x ((P(x) (Q(x) & R(x))) ↔ ((P(x) Q(x)) & (P(x) R(x)))

(a (b & c)) ↔ ((a b) & (a c))

Эквивалентность формул с теоретико-множественными операциями

(a (b & c)) ↔ ((a b) & (a c) a=x A, b=x B, c=x C

A (B C) = (A B) (A C)

x ((x A (x B & x C)) ↔ ((x A x C) & (x A x C)))

Использование диаграмм Венна для проверки эквивалентности формул логики высказываний и теоретико-множествненных формул

Еще о кванторах и некоторые дополнительные обозначения

Пересечения и объединения по семейству множеств

Бинарные предикаты, бинарные отношения и структурированные (составные) объекты

= { (x, y) | P(x, y) }

Здесь P – бинарный предикат, - бинарное отношение (множество из упорядоченных пар), (x, y) – подстановочный символ для представления упорядоченной пары, рассматриваемой как структурированный объект.

прямое произведение множеств А B = { (x, y) | x A & y B }

Представление бинарных отношений диаграммами ориентированных графов

A A

(x, y)

Инфиксная форма записи формул (высказываний) с бинарными отношениями

x y = ((x, y) )= { (x, y) | x y }

Примеры

– отношение принадлежности между элементами и множествами некоторой предметной области. Множество всех подмножеств или булеан некоторого подмножества обозначается как (A) = {X | X A}. Принадлежность можно рассматривать как бинарное отношение между U и (U).

и = – отношения включения и равенства множеств как отношения на (U).

и – отношения логического следования и логической равносильности на множестве всех возможных высказываний математической логики вообще либо некоторого множества формул

Символ = использовался тремя различными способами:

1.Для задания определений, например A B = { x | x A & x B }.

2.Для обозначения отношения равенства логических значений высказываний (общезначимость логической эквивалентности), например, u v = ( u & v).

3.Для обозначения отношения равенства множеств, например, (A = B) (x A x B) .

Что имеется ввиду под равенством элементов множеств?

равенство элементов множеств есть некоторое бинарное отношение на предметной области.

Допустим, инфиксному символу = для обозначения этого отношения соответствует множество = { (x, y) | x = y }.

Бинарный предикат E, определяющий это отношение как множество пар= { (x, y) | E(x, y) } удовлетворяет следующим условиям:

В терминах множеств упорядоченных пар эти свойства могут быть записаны так:

2. x ( (x, x) )

2. x y ((x, y) → (y, x) )

2.x y z (( (x, y) & (y, z) ) → (x, z) )

Винфиксной форме:

x (x = x)

x y ((x = y) → (y= x))

x y z (( (x = y) & (y = z) ) → (x = z) )