Ряд степеней и функция следования

B ={x | k x= k

}

x B s (x)=x

1= , 2=s ( )= = , 3= s (s ( ))=( ) = =

4=s (s ( s ( )))=(( ) ) = =

4= 2 5 = 4 = 2 = 3

Функция следования на конечном множестве

Формальная арифметика

на некотором множестве N задана функция s NN

(и соответствующее отношение равенства, обозначаемое символом =)

1 N

s – инъективная функция: x N y N (( s(x)=s(y) ) → ( x=y )) Элемент 1 не покрыт значениями s: x N (s(x)=1)

Пример рекуррентных определений арифметических операций:

сложение

Пример: сложим число 2 (представлено как s(1)) и число 3 (s(s(1)))

Принцип индукции в формальной арифметике

1.База индукции: P(1)

2.Индукционный переход: x N ( P(x) → P(s(x)) )

Пример: докажем ассоциативность +: (a+b)+c=a+(b+c): P(x) = ( (a+b)+x=a+(b+x) )

P(1) = ( (a+b)+1=a+(b+1) )

( P(x) P(s(x)) ) = ( (a+b)+x=a+(b+x) (a+b)+s(x)=a+(b+s(x)) )

Надо доказать x N P(x), или подробнее x N ( (a+b)+x=a+ (b+x) ).

Докажем первое утверждение (a+b)+1=a+(b+1), используя правила, определяющие операцию +:

По правилу (A) (a+b)+1 = s(a+b). По правилу (A) a+(b+1) = a+s(b). По правилу (B) a+s(b) = s(a+b).

Получили, что и левая и правая части равенства равны s(a+b).

Аналогично докажем второе утверждение:

(a+b)+x=a+(b+x) (a+b)+s(x)=a+(b+s(x)) Аргументы s совпадают

по предположению P(x):

(a+b)+x=a+(b+x)

Интерпретация принципа индукции: алгоритм выписывания правил подстановки для

генерации текста доказательства для некоторого элемента N

пример (a+b)+c=a+(b+c) для c=s(s(1)):

И далее по базе индукции оба выражения есть s(s(s(a+b)))

Еще примеры

x·1=x x·s(y)=(x·y)+x

x1=x xs(y)=xy·x