Специальные операции над бинарными отношениями
Дополнение
={ (x, y) | ((x, y) ) }
Обращение
-1 = { (x, y) | (y, x) }
Обращение функции
( f BA & f -1 AB ) ( x A !y B (x, y) f ) & ( y B !
x A (x, y) f )
Множества А и B называют эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие
A~B ( f BA ( f -1 AB ))
Композиция бинарных отношений
определяется как
o = { (x, y) | z (x, z) & (z, y) }
Если f BA и g CB то f o g CA
z = f(x), y = g(z), y = g ( f (x) )
Композиция бинарных отношений: интерпретация для ориентированных графов
A А
A={a, b, c, d}
=
(b, c) & (c, b) (b, b)
= =
( ) = ( )
Композиция – ассоциативная операция:
p (q r) = (p q) r
(A = B) (x A x B)
(x, y) p (q r) (x, y) (p q) r
Левая часть (x, y) p (q r) (x, y) (p q) r По определению :
(x, y) p (q r) z ((x, z) p & (z, y) (q r))
Еще раз применяем определение для раскрытия условия (z, y) (q r):z ((x, z) p & (z, y) (q r)) z ((x, z) p & t ((z, t) q & (t, y) r))
Правая часть:
(x, y) (p q) r u ((x, z) (p q) & (z, y) r)
u ((x, u) (p q) & (u, y) r) u ( v ((x, v) p & (v, u) q) & (u, y) r)
Имеем две формулы, равносильность которых необходимо проверить:
z ( (x, z) p & t ((z, t) q & (t, y) r))
и
u ( v ((x, v) p & (v, u) q) & (u, y) r)
a & ( x P(x)) равносильно x (a& P(x))
По аналогии с a&(b c) = (a&b) (a&c) так как
Имеем две формулы (предваренные):
z t ((x, z) p & (z, t) q & (t, y) r)
и
v u ((x, v) p & (v, u) q & (u, y) r)
Степень бинарного отношения по композиции
В арифметике k степенью числа называют результат k раз выполненного умножения числа на себя:
Аналогично для бинарных отношений k степенью бинарного отношения назовём k раз выполненное вычисление композиции с самим этим отношением:
Ассоциативность: ((( ) ) …) = (… ( ( )))
Рекуррентное определение для степени
1=k+1= k
Алгоритм вычисления степени
1 =2 = 1 =
3 = 2 = ( )4 = 3 = (( ) )
…