Задание множеств перечислением элементов
A = { a, b, c }
рассмотрим как сокращенную форму от задания множества предикатом
A = { x | x=a x=b x=c }
Пример: область логических значений как множество
= { 0, 1 }.
При этом на равенство это связка ↔
Ее список пар это {(0,0), (1,1)} ↔ = {(x,y) | (x,y)=(0,0) (x,y)=(1,1)}
Вообще равенство пар определи так: ( (x, y) = (p, q) ) ( (x=p) & (y=q) )
Еще пример бинарного отношения
множество чисел A={1,2,3} с отношением ≤ (меньше или равно)
1≤1, 1≤2, 1≤3, 2≤2, 2≤3, 3≤3
= { (x, y) | x≤y } = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) }
Еще о формулах с кванторами
Формула, отражающая, что некоторое свойство P выполняется только для одного объекта в предметной области, записывается так:
!x P(x)
Читается «Существует единственный x такой, что P(x)». Это сложное высказывание, его проще понять как состоящее из двух:
1.Утверждение, что объект с данным свойством существует.
2.Утверждение о единственности такого объекта.
!x P(x) = ( x P(x)) & ( x y ( P(x) & P(y) ) → (x=y) )
Используемые сокращения
x A (x) для формулы x ((x A) → (x))
x A (x) для формулы x ((x A) & (x))
!x A (x) для формулы !x ((x A) & (x))
Функциональные отношения
(функции между множествами)
BA = { f | f A B & ( x A ! y B (x, y) f )}
y = f(x) (x, y) f
Представление функций ориентированными графами
Здесь A = { a, b, c }, B = { p, q, r, s }, f = { (a, p), (b, p), (c, r) }, f B
классификационные признаки, вводимые для функций:
•Функция f BA называется сюръективной, если
y B x A y = f(x). В этом случае множество B полностью покрыто значениями функции.
•Функция f BA называется инъективной, если разным аргументам она ставит в соответствие разные результаты. По иному это можно сформулировать так: из равенства результатов логически следует равенство аргументов: ( f(x)=f(y) ) ( x=y ).
В определении инъективной функции, таким образом, полагается заданным равенство на обоих множествах, A и B.
Примеры наличия/отсутствия признаков у функции
Взаимно-однозначные соответствия
Функция, являющаяся одновременно инъективной и сюръективной, называется
биективной.
Биективная функция f BA устанавливает
взаимнооднозначное соответствие между множествами А и B:
( x A !y B (x, y) f ) & ( y B ! x A (x, y) f ).
Сюръективная функция существует тогда и только тогда, когда в A элементов больше или равно, чем в B.
Инъективная функция существует тогда и только тогда, когда в B элементов больше или равно, чем в А.
Биективная функция существует тогда и только тогда, когда число элементов во множествах A и B совпадает.