Конечные и бесконечные множества
Конечное множество |
A={a1, a2, … an} |
K , f AK, A~K
K = {1, 2, 3}
ai=f(i)
a1=p, a2=q, a3=r A={a1, a2, a3}.
Представление бинарных отношений матрицами (на конечных множествах)
A B, A={a1, a2, … an}, B={b1, b2, … bm}.
C
A={a1, a2, a3, a4}, a1=a, a2=b, a3=c, a4=d
Вычисление композиции бинарных отношений в матричной форме
Логическое умножение матриц
Пример вычисления степенного ряда
Отношение достижимости
(x, y) 1 (x, y) 2 (x, y) 3 …
Достижимость по s на
={(x, y) | x & y & x<y}
x<y (x, y) 
Пример (2<4):
(s(1), s(s(1))) s & (s(s(1)), s(s(s(1)))) s (s(1), s(s(s(1)))) sos (s(1), s(s(s(1)))) 
Еще о конечных множествах
Kx = { y | y & ((y, x) ŝ (x=y)) }
«множество A имеет n элементов»:
A~Kn
(множество A эквивалентно множеству Kn)
Отношения эквивалентности
Диагональное отношение множества A
A = {(x, x) | x A}
- эквивалентность на множестве A ( A & -1 = & )
Классы эквивалентности
Если это эквивалентность, то
[x] = {y | (x, y) } = {y | (y, x) }
Свойства классов эквивалентности
Каждый элемент принадлежит своему классу эквивалентности
x A x [x] A x A (x, x) x A x [x]
Каждый элемент из класса образует в точности тот же самый класс
y [x] [y] = [x] |
y [x] (y, x) & (x, y) |
|
|
[y] [x] |
z [y] z [x] |
(z, y) & (y, x)
(z, x) z [x] Аналогично покажем [x] [y]
Каждый класс эквивалентности представляет собой в точности множество всех своих образующих элементов