Тема 8. Маршруты и циклы в простом графе.

Отношение связности и компоненты связности.

Рассмотрим далее понятия, необходимые для анализа некоторых полезных свойств графов.

Для графов различных видов обычно определяют маршруткакпоследовательность чередующихся вершин и рёбер

v₀, e₁, v₁, e₂, v₂, e₃, …, e_k, v_k,

где v_iV & e_iEисоседние элементы последовательности инциденты:

(v_i, e_i+1) & (e_i, v_i)^‑1.

Такое представление полезно для мультиграфов, когда вершины могут соединяться более чем одним ребром (названия e_iуказывают, по какому именно ребру проходит маршрут). Дляпростых графовтакое представлениеизбыточно. Достаточно указать только последовательность вершин. Вершины при этом должны бытьсмежными:

S – маршрут длиныkв простом графеG(V, E)

S=(v₀, v₁, v₂, …, v_k) & i (0≤i<k  {v_i, v_i+1}E) & v_kV

При этом e_i+1={v₁, v_i+1}E называют ребром маршрутаS. Элементы последовательности обычно нумеруют от числа 0, так чтобы номер последнего элемента совпадал с количеством рёбер в маршруте. Это число называютдлиной маршрута.

Последовательность только из одной вершины называется маршрутом нулевой длины.

Маршрут в простом графе можно представить как функцию f(i)=v_iиз множества номеров элементов последовательности вершин в множество вершин, на которую наложено ограничение (f(i), f(i+1))– отношению смежности графа.

Нумерацию элементов последовательности S=(v₀,v₁,v₂, …,v_k) следует отличать от нумерации элементов конечного множестваA={a₁, a₂, …, a_k}. При нумерации множества задаётсявзаимнооднозначноесоответствие номеров (индексов) и элементов. В этом случае можно также говорить и о последовательности элементов множества (a₁, a₂, …, a_k) – упорядоченного набора или вектора. Обратное не верно. Функция, задающая последовательностьS,не обязательно инъективна– в ней могут быть повторения. При рассмотрении графов повторения означают, что маршрут несколько раз проходит через некоторую вершину.

Если в маршруте нет повторяющихся вершин (то естьSинъективна), то маршрут называют простым маршрутом.

Маршрут ненулевой длины, соединяющий вершину саму с собой (v₀=v_k) и не содержащий повторяющихся ребер называется циклом.

Цикл без повторяющихся вершин, кроме начальной и одновременно конечной вершины (v₀=v_k) называется простым циклом.

Рассмотрим тот же пример, на котором иллюстрировались способы задания графа (приведём как напоминание только диаграмму):

Здесь маршрут abcdbeне является простым маршрутом, так как два раза проходит через вершинуb.

Маршрут abcявляется простым маршрутом.

Последовательность cdeвообще не является маршрутом (вершиныdиeне смежные).

Последовательность abcdbeaявляется циклом, но не является простым циклом (есть повторениеb, отличное от начальной и конечной вершиныa).

Цикл bcdbeabтакже не будет простым циклом. Здесь вершинаbповторяется не только в начале и в конце, но и в середине маршрута.

Цикл abeaбудет простым циклом.

Маршрут abaне будут циклом, так как, несмотря на то, что единственное повторение здесь это начало и конец маршрута, в маршруте имеется повтор рёбер (ребро {a, b} присутствует дважды:e₁=e₂={a, b}).

Маршрут aциклом не является – имеет нулевую длину.

Две вершины в простом графе G(V, E) x и y называются связанными, если между ними существует маршрут S=(v₀,v₁,v₂, …,v_k),такой, чтоv₀=x&v_k=y.

Отношение связанности вершинEEявляется бинарным отношением на множестве вершин простого графа. Его можно вычислить, объединив все степени отношения смежности и дополнив его до рефлексивного отношения:

, где={(x, y) | {x, y}E} – отношение смежности,– отношение достижимости по– объединение степеней.

Добавление _Vнеобходимо, чтобы учесть пути нулевой длины. Ранее мы рассматривали только натуральные степени для бинарных отношений. Чтобы записывать формулу вида, где, более компактно, иногда определяют и нулевую степень отношения как диагональное отношение (в данном случае можно написать⁰=_V). В таком случае считают, что_Vи==_V¹²³….

Отношение связанности вершин является отношением эквивалентности. Действительно,_Vрефлексивно.=^‑1&_V=(_V)^‑1i (ⁱ)^‑1=ⁱ ^‑1=симметрично. ()²²транзитивно.

Классы эквивалентности по отношению связности вершин называют компонентами связности графа.

В пределах такого класса [x]_={y | (x, y)} между всеми вершинами существуют маршруты. Между вершинами разных классов маршрутов нет.

Следующая диаграмма дает пример графа с тремя компонентами связности ={{a, b, c, d}, {e, f}, {g}}.

Каждый класс эквивалентности (компонент связности) может рассматриваться в качестве отдельного графа. Поэтому часто при рассмотрении графов рассматривают только связныеграфы.Граф называют связным, если для каждой пары вершин существует маршрут между ними(xV yV(x, y)). В этом случае отношение связности – полное отношение=VV.

Выделить компонент связности из несвязного графа в отдельный граф можно, если в качестве множества вершин взять выделяющий класс эквивалентности, а множества рёбер – множество рёбер, инцидентных выбранным вершинам: G([x]_,).